平面与平面平行垂直的判定与性质

15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质
【考纲要求】
1.了解平面与平面的位置关系；
2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系.
【命题规律】
本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几何体为载体考查面面平行、面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力，推理论证能力。

【知识回顾】
一.平面与平面的位置关系
→→⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩
两平面平行两平面没有公共点两平面斜交两平面相交两平面有一条公共直线两平面直交 二．二面角与二面角的平面角相关概念
1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。

2.二面角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。

该直线称为二面角的
棱，每个半平面称为二面角的面.
3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱
的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角
l αβ--的平面角.其范围为[0,180]o o
4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。

三．平面与平面平行
1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面α，平面β，若αβ=∅I ，则αβ∥.
2.平面与平面平行的判定定理（不要求证明）
文字语言
图形语言
符号语言
判定 定理1
如果一个平面内有两条相交．．的直线都．平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）
a b a b P a b α
αβ
βαβ
⊂⊂=⎫
⎪
⎪⎪
⇒⎬⎪⎪
⎪⎭
I ∥∥∥ 判定 定理2
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
l l αβαβ⊂⎫⎪⇒⎬⎪⎭
⊥∥
α
l
β
α
a
β
b
P β
α
O
A B
l
判定 定理3
平行于同一个平面的两个平面平行
αββαγγ⎫⎪
⇒⎬⎪⎭
∥∥∥ 注：判定定理1的推论：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线分别平行，则两平面平行
3.平面与平面平行的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质 定理1
如果两个平面平行，那么一个平面内的所有．．直线都平行于另一个平面（简记为“面面平行⇒线面平行”）
a a αββα⇒⊂⎫
⎬⎭
∥∥
性质 定理2
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简记为“面面平行⇒线线平行”）
a a
b b αβ
γαγβ=⇒=⎫
⎪
⎬⎪⎭
I I ∥∥ 性质 定理3
如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
l l αββα⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
∥ 问：如果两个平面平行，那么分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？ 4.两平面平行间的距离
（1）两个平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线. （2）两个平行平面的公垂线段：夹在两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段. （3）两个平行平面的距离：就是两个平行平面的公垂线段的长度. （4）两个平行平面的公垂线段都相等.
四．平面与平面垂直
1.定义：如果两个平面所成的二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直，记为αβ⊥.
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
α
l
β
α
b
γ
β
a
α
a
β
α
β
γ
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直（简记为“线面垂直⇒面面垂直”）
l l βααβ⎫⊥⎪
⎬⊂⎪⎭
⇒⊥ 注：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则两平面也垂直
3.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（简记为“面面垂直⇒线面垂直”）
l m m m l
ααβββα⊥⎫⎪=⎪
⇒⊥⎬⊂⎪
⎪⊥⎭
I
根据空间线线、线面、面面关系的判定及性质定理，可知它们的关系是可以互相转化的，这一种转化是解决位置关系的重要方法，是对立体几何中位置关系的深度体现，如图所示:
六．规律与技巧
1．平行中最重要的是线线平行的判定，当题目中给出中点条件时，往往隐含着中位线的信息因素，利用中位线很容易寻求线线平行．但不同三角形中的中位线效果也不一样，因此，寻求三角形的中位线也是解题的关键．对应线段成比例是平面几何中判断直线平行的重要依据，而线面平行的空间问题通过转化可变通为线线平行，因此，利用对应线段成比例寻求线线平行是一条行之有效的措施．
2．立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用．事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的．
3．空间垂直问题的证明不能把线孤立于面之外，要善于利用平行线平移构造，再利用线线垂直与线面垂直相互转化，完成题目的证明．
4.立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．
从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一定要依纲靠本，抓住基础，不要把过多的时间放在偏题、怪题上．
【例题精讲】
1.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,其棱长为1.
β
α
l
m
α β
l
线面关系
线线关系 面面关系
求证:平面1AB C ∥平面11A C D .
证明：方法一：1111111111AA B B AA BB AA CC BB CC BB CC ⎫
⎪=⎪
⇒⎬⎪⎪=⎭∥∥
∥⇒四边形11AA C C 为平行四边形 11
111111AC AC AC AC D AC AC D ⇒⎫⎪⊂⎬
⎪⊄⎭∥平面平面111111111AC AC D
AB AC D AB C AC D AC AB A ⇒⎫⎪⇒⎬⎪=⎭
I ∥平面同理，∥平面平面∥平面 方法二：易知11AA CC 和确定一个平面1AC ，于是，
11111111AC A C A C AC AC AC A C AC =⎫⎪=⎬⎪⎭I I 平面平面平面平面平面∥平面111111AC AC
AC AB C AC AB C ⇒⎫⎪
⊄⎬
⎪⊂⎭∥平面平面111111111111A C AB C A D AB C AB C A C D A C A D A ⇒⎫
⎪
⇒⎬⎪=⎭
I ∥平面∥平面平面∥平面 2.在正文体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B D C D A B C 的中点. 求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：如图，连接MF.
,M F Q 分别是1111,A B C D 的中点，且四边形1111A B C D 为正方形，
11MF A D ∴∥,又11,A D AD MF AD ∴∥∥,
∴四边形ADFM 为平行四边形， AM DF ∴∥.
又AM ⊄Q 平面EFDB ，同理可证，AN ∥平面EFDB. ,AM AN ⊂Q 平面AMN, AM AN A =I
∴平面AMN ∥平面EFDB .
3.如图所示，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面,ABC BD CE ∥,且2,CE CA BD M ==是EA 的中点. 求证：（1）DE=DA ；
（2）平面MBD ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA .
（1）方法一:如图,取EC 的中点F,连接DF.
EC ⊥Q 平面ABC, EC BC ∴⊥. 2,CE BD BD CF =∴=Q .
又,BD CE BD CF ∴Q ∥∥
. ∴四边形BDFC 是平行四边形.
,BC DF DF EC ∴∴⊥∥ 在Rt DEF ∆和Rt ADB ∆中,
1
,2
EF EC BD FD BC AB =
===Q Rt DEF Rt ADB DE DA ∴∆∆∴=≌.
方法二:如图,取AC 中点N,连接BN 、MN ABC ∆Q 是正三角形，∴BN ⊥AC 于点N. 又∵EC ⊥平面ABC ，EC ⊂平面CAE ，
∴平面ACE ⊥平面ABC ，交线为AC.∴BN ⊥平面ACE. 又∵M 、N 分别是AE 、AC 中点,
∴在△ACE 中，1
2
MN CE ∥,
又BD ∥CE 且2BD=CE,∴1
2
BD CE MN ∥∥
∴四边形BDMN 是平行四边形,
∴MD BN ∥ ∴DM ⊥平面ACE. 又AE ⊂平面ACE ，∴DM ⊥AE 于点M. 又∵M 是AE 中点，∴DA=DE.
(2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则1
2
MN EC ∥.
又∵BD ∥EC 且EC=2BD,∴MN DB ∥MN DB.
∴N 点在平面BDM 内.
∵EC ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，∴EC ⊥BN. ∵△ABC 为正三角形，∴BN ⊥AC.
又AC ∩EC=C ，EC ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE, ∴BN ⊥平面ACE. ∵BN ⊂平面MBN,
∴平面MBN ⊥平面ECA ，即平面MBD ⊥平面ECA. （3）DM ∥BN,BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA.
又DM ⊂平面DEA,∴平面DEA ⊥平面ECA.
4.
如图所示，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC. 求证：AB ⊥BC.
证明： 如图，作AH ⊥SB 于H ，连接EH 、AE ， ∵平面SAB ⊥平面SBC ， ∴AH ⊥平面SBC,∴AH ⊥BC.
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
SA AH 平面SAB, 又SA∩AH=A,,
∴BC⊥平面SAB.
∴BC⊥AB.。