二次函数图像性质表格

二次函数的图象 1、二次函数的性质

函数

二次函数y ax bx c =++

2

a、b、c为常数，a≠0y a x h k

=-+

()2（a、h、k为常

数，a≠0）

a＞0a＜0a＞0a＜0图

象

(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并

向下无限延伸

(1)抛物线开口

向上，并向上无

限延伸

(1)抛物线开口

向下，并向下无

限延伸

性

(2)对称轴是x＝-

b

a2，

顶点是

（-

-

b

a

ac b

a

2

4

4

2

，

）

(2)对称轴是x＝

-

b

a2，

顶点是

（

-

-

b

a

ac b

a

2

4

4

2

，

）

(2)对称轴是x＝

h，顶点是（h，k）

(2)对称轴是x＝

h，顶点是（h，k）

质

(3)当x

b

a

<-

2时，y随

x的增大而减小；当

x

b

a

>-

2时，y随x的

增大而增大(3)当

x

b

a

<-

2时，y随

x的增大而增大；当

x

b

a

>-

2时，y随x的

增大而减小

(3)当x h

<时，y

随x的增大而减

小；当x＞h时，

y随x的增大而

增大。

(3)当x＜h时，y

随x的增大而增

大；当x＞h时，

y随x的增大而

减小

(4)抛物线有最低点，当

x

b

a

=-

2时，y有最小

值，y

ac b

a

最小值

=

-

4

4

2

(4)抛物线有最高点，当

x

b

a

=-

2时，y有最大

值，

y

ac b

a

最大值

=

-

4

4

2

(4)抛物线有最

低点，当x＝h时，

y有最小值

y k

最小值

=

(4)抛物线有最

高点，当x＝h时，

y有最大值

y k

最大值

=

2、 二次函数解析式的几种形式：

①一般式：

y ax bx c =++2

（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 2

0++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

3、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

①配方法：将解析式y ax bx c =++2

化为y a x h k =-+()2

的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x h =，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，y k

最小值=；若a ＜0，y 有

最大值，当x ＝h 时，

y k

最大值=。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（--b a ac b a 2442

，），求其顶点；对称轴是直线x b

a =-

2，若a y x b a y ac b a >=-=-02442，有最小值，当时，；最小值若a <0，y 有最大值，当x b a y ac b a =-=

-2442

时，最大值

4、抛物线与x 轴交点情况：

对于抛物线

y ax bx c a =++20()≠ ①当∆=->b ac 2

40时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。

②当∆=-=b ac 2

40时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 ③当∆=-

5、求根公式：

a

ac

b b x 242-±-=