数学建模之状态转移问题

人、狗、鸡、米过河
• 状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中， 摆一次渡即可改变现在状态。为此引入一个四 维向量（称为转移向量）来反映摆渡情况。 • 向量分量取值也是0，1两个，意义如下： • （1，1，0，0）表示人带狗过河 • （1，0，1，0）表示人带鸡过河 • （1，0，0，0）表示人自己过河 • 依题意，转移向量只能有下面4个 （1，0，0，0）（1，1，0，0）（1，0，1，0） （ 1， 0 ， 0， 1）
人、狗、鸡、米过河
• 但依题意，并非所有状态都是允许的，分析 知，可取状态向量如下： • 人在此岸 人在彼岸 • （ 1， 1 ， 1， 1） （ 0， 0， 0， 0 ） • （ 1， 1 ， 1， 0） （ 0， 0， 0， 1 ） • （ 1， 1 ， 0， 1） （ 0， 0， 1， 0 ） • （ 1， 0 ， 1， 1） （ 0， 1， 0， 0 ） • （ 1， 0 ， 1， 0） （ 0， 1， 0， 1 ）
状态转移问题
1.人、狗、鸡、米过河 2.夫妻过河
状态转移问题
• 主要讨论在一定条件下，系统由一状态 转移到另一状态是否可能，如果可能的 话，应如何具体实现。
人、狗、鸡、米过河
• 某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需 要人划外，最多只能载一物过河，而当 人不在场时狗要咬鸡，鸡要吃米。问此 人应如何过河才能保证不发生狗咬鸡， 鸡吃米现象。
人、狗、鸡、米过河
• • • • • [分析]：我们用一个四维向量来表示状态 向量的分量取值如下： 一物在此岸时分量取为1 一物在彼岸时分量取为0 第一分量表示人，第二分量表示狗，第三分 量表示鸡，第四分量表示米。 • 如（ 1 ， 0 ， 1 ， 0 ）表示人和鸡在此岸，狗和 米在彼岸。 • 由排列组合知共有24=16种状态。
夫妻过河
1 m, 1 n
i i
m, n可取0,1,2且1 m+n 2
• 当i为奇数时表示过河 • 当i为偶数时表示由对岸回来。 • 运算规则：同普通向量的加法。
夫妻过河
• 问题归结为： • 由状态（3，3）经奇数次转移，转化为 （0，0）是否可能。
夫妻过河
• 推广： • ①按此规则4对夫妻能否过河（不能） • ②规则中船载人数为三人，其它不变， 5对可过河，6对不行 • ③规则中船载人数为四人，如何变化？ （总可过，让一对做船夫）
夫妻过河
• 可取状态：用 H 和 W 表示此岸的男子和 女子数，用二维向量（ H ， W ）表示状 态。分析知可取状态为
0, i , i, i , 3, i
0i 3
夫妻wk.baidu.com河
• 转移向量：过河方式可以是一对夫妻， 两个男人或两个女人，也可以是一人过 河。从而转移向量可取成
1,1 , 2, 0 , 0, 2 , 1, 0 , 0,1
人、狗、鸡、米过河
• 在实际应用时，只考虑由可取状态到可 取状态的转移。从而我们的问题化为 • 由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇 数次上述运算转化为（0，0，0，0）的 转移过程。
夫妻过河
• 有三对夫妻要过河，船最多可载两人。 约束条件是依据阿拉伯法律：任一女子 不得在其丈夫不在场的情况下与另外男 子在一起。问此时这三对夫妻能否过河。
人、狗、鸡、米过河
• 为实现本题的状态转移，规定一个状态向量 与转移向量之间的运算： • ①状态向量与转移向量之和为一新的状态向 量 • ②对应分量相加 • ③相加方法为0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0 • 例：（1，1，1，1）+（1，0，1，0）=（0， 1， 0， 1） • 实际意义是：人、狗、鸡、米均在此岸，人 带鸡过河，转变为新状态（0，1，0，1）