中考数学旋转(大题培优 易错 难题)附详细答案

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（探索发现）

如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；

（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________；

（理解运用）

如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D .将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC ，交于点G .

（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；

（拓展迁移）

（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，连接MB ，若6AD =，2BD =，求MB 的长.

【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）13【解析】

【分析】

（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形； （2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，

BD=CF ，可得AC=CF+CD ；

（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；

（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．

【详解】

（1）证明：∵ABC ∆是等边三角形，

∴AB BC AC ==.

∵ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，

∴60CAE =︒，AC AE =.

∴ACE ∆是等边三角形.

∴AC AE CE ==.

∴AB BC CE AE ===.

∴四边形ABCE 是菱形.

（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=.

（3）四边形ADGF 是正方形.理由如下：

∵Rt ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，

∴AF AD =，90DAF ∠=︒.

∵AD BC ⊥，

∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=︒.

∴四边形ADGF 是矩形.

∵AF AD =，

∴四边形ADGF 是正方形.

（4）如图，连接DE .

∵四边形ADGF 是正方形，

∴6DG FG AD AF ====.

∵ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，

∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=.

∵将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，

∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =.

∴BAD EAM ∠=∠.

∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠.

∵AF AD =，

∴AM AD =.

在BAM ∆和EAD ∆中，AM AD BAM DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴()BAM EAD SAS ∆≅∆. ∴222

246213BM DE EG DG ==

+=+=.

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．

2．在Rt △ABC 中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC 或其延长线于E ，F 两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．

（1）三角板绕点O 旋转，△OFC 是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC 是等腰直角三角形时BF 的长）；若不能，请说明理由；

（2）三角板绕点O 旋转，线段OE 和OF 之间有什么数量关系？用图①或②加以证明； （3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P 处（如图③），当AP:AC=1:4时，PE 和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．

【答案】（1）△OFC 是能成为等腰直角三角形，（2）OE=OF ．（3）PE ：PF=1：3．

【解析】

【小题1】由题意可知，①当F 为BC 的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF 和OF 的长度，即可推出BF 的长度，②当B 与F 重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF 的长度，即可推出BF 的长度；

【小题2】连接OB ，由已知条件推出△OEB ≌△OFC ，即可推出OE=OF ；

【小题3】过点P 做PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，结合图形推出△PNF ∽△PME ，△APM ∽△PNC ，继而推出PM ：PN=PE ：PF ，PM ：PN=AP ：PC ，根据已知条件即可推出PA ：AC=PE ：PF=1：4．

3．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；②沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处，再折出PB 、PC ，最后用笔画出△PBC(图1)．

（1）求证：图1中的PBC是正三角形：

（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN．

①求证：IH=IJ

②请求出NJ的长；

（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12-63（3）33＜a＜43，a＞43

【解析】

分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由

Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、

QJ=3x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF

∴PB=PC

∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处

∴PB=BC

∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形：

（2）证明：①如图

∵矩形AHIJ

∴∠H=∠J=90°

∵△MNJ是等边三角形