样本方差的证明

样本方差为何除以n-1?

方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量，分别表示其数学期望和

方差，从中随机抽取n个样本，是样本均值，

是样本方差。那么为什么样本方差是除以而不是n

呢？

这里涉及到一个无偏估计的概念，是随机变量，同样也是随机变量，其中是对总体的一个估计，如果的期望分别等于的话，就说这种

估计是无偏的。容易证明，但是

的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记为的方差和期望。

证毕～～

这样看，x1,x2,...xn是n个可以自由变化的样本，互不影响。

而x1-xbar, x2-xbar,...xn-xbar是否也是n个自由变化的呢？不是……因为这n个统计量受到一个约束条件的影响就是之和等于0。如果我们记yi=xi-xbar,也就是说y1+y2+...yn=0,

这样我们可以任意变动其中n－1值，比如取定了y1,y2,...y(n-1)，那么yn就不能任意变化，yn=-(y1+y2+y(n-1))。

这个只是从自由变化的角度直观解释，实际上证明分布比较烦琐……

比如说让十跟人任意取十个数,很容易理解可以随便取.十个都是自由的.

如果我加一个条件,十个人取十个数,但是这是个书加起来必须得零.

第一个人可以随便取,第二个人也可以,第九个也可以,都是自由的,

但是第十个人不能随便自由取,只能取特定的数,才能保证这十个数的

和是零.所以加了一个条件就丢了一个自由度

自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。当平均数的值和其中n-1个数据的值已知时，另一个数据的值就不能自由变化了，因此样本方差无偏估计的自由度为n-1。