2.3一元二次方程根的判别

k
1 9
1 3
2k
。.
提示：先利用判别式求 k 的范围，再化简。
3k 2 3
动不如 动
已 知 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 m x2 3 ( m 1 )x 2m 3 0 (m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的值.
（1）解： b2 4ac 3(m 1)2 4m(2m 3) (m 3)2
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ (m 3)2 0 且 m 0 ∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3 且 m 0
（2）证明：由求根公式 x b
（3）因为△= b2 4ac=(4k+1)2 11 0 ， 所以原方程有两个不等的实根。
问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。 二次方百度文库 2mx2 8m(x 1) x ，当 m 为何值时，
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。 提示：先把方程变形：2mx2 (8m 1)x 8m 0 ，再看△。
结束寄语
同学们：
学无止境！ 没有最好,只有更好！！！
再见
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ； （3） x2 4kx 2k 3。 提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0,
所以原方程无解。
（2）因为△ = b2 4ac=1 0 ，所以原方 程有两个不等的实根。
吗？
用配方法变形上述方程得到：a(x b )2 b2 c ，
2a 4a
即 (x b )2 b2 4ac 。
2a
4a2
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
提升 2：方程 x2 ax b 0 与 x2 bx a 0 只有一个相等的实 数根，求此根。
提示：先降幂，将一元二次方程转化为一元一次方
程，再求 x。
当a+b≠0时，x=-1
提升 3：若方程 3x2 4x k 1 0 无实数根，化简：
k2
2 3
解：因为 =b2 4ac 16m 1 ，所以
（1）当 16m1 0，即 m 1 时，方程有两
16
个不等的实数根；
（2）当 16m1 0，即 m 1 时，方程有两
16
个相等的实数根；
（3）当
16m1 0，即 m 1
16
时，方程没有
实数根.
问题三：解含有字母系数的方程。
解方程： ax2 5x 5 0 。
b2 4ac 3(m 1) (m 3)
2a
2m
∴
x1
3m
3m 2m
3
2m m
3
2
3 m
3m 3 m 3
x2
2m
1
∴无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
（3）∵ m 为整数，且方程的两个根均为正整数
3
∴ x1 2 m 必为整数 ∴ m 1 或 m 3 当 m 1时 ， x1 1 ；当 m 1时， x1 5； 当 m 3 时， x1 1 ； 当 m 3 时， x1 3. ∴ m 1 或 m 3
有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数
的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a 0)
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法
因式分解法
公式法
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 一定有解
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的 判别式，通常用“△”表示。 当△>0 时，方程有两个不等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△<0 时，方程没有实数根。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x 5 0
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
在中考中，代数占 60-65 分，统计与概率占 15 分左右，几何占 40-45 分，其中一元二次方程占 10 分左右。一元二次方程的内容包括一元二次方程的解 法、一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系， 今天我们主要学习一元二次方程的根的判别式。
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行