实际问题中导数的意义

数学上称这个瞬时变化率为 y = f (x) 在 导数， 表示， 导数，用 f ′(x0 ) 表示，记作 f ′(x) = lim ∆y ∆x→0 ∆ x
x0点的
复习回顾
用导数求函数的单调区间： ＊ 用导数求函数的单调区间： 的符号； （1）求 f ′(x )，并判断 f ′(x ) 的符号； ） （2）解不等式 f ′( x ) > 0 得 f (x ) 的单调增区间； ） 的单调增区间； 的单调减区间。 解 f ′( x ) < 0 得 f (x ) 的单调减区间。
解： 变到120时，y 关于 x 的平均变化率为： 的平均变化率为： （1）x 从100变到 ） 变到 时
120 100 (12 + + 0.3) − (10 + + 0.3) f (120 ) − f (100 ) 10 10 = 120 − 100 20
≈ 0.105(万元 / m 2 )
当建筑面积从100平米增加到 平米增加到120平米时，每增 平米时， 当建筑面积从 平米增加到 平米时 平米，成本平均约增加1050元。 加 1 平米，成本平均约增加 元
功与功率
某人拉动一个物体前进，他所做的功 单位 单位： 某人拉动一个物体前进，他所做的功W (单位：J) 单位： 的函数 的函数， 是时间 t (单位：s)的函数，设函数为 单位
W = W (t ) = t 3 − 6t 2 + 16t
的平均变化率， （1）求 t 从 1s 到 3s 时，W 关于 t 的平均变化率， ） 并解释其实际意义； 并解释其实际意义； 意义 解释其实际意义。 （2）求 W ′(1) ，W ′( 2)，解释其实际意义。 ） 解析
复习回顾 的平均变化率为： 函数 y = f ( x ) 中 y 关于 x 的平均变化率为：
∆y f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = ∆x x1 − x0 ∆x
当 x1 → x0 即 ∆x → 0 时，若平均变化率趋于一 个固定值 ，则称这个值为函数 y = f (x) 在 时变化率。 时变化率。 点的瞬 x0点的瞬
1 1 （2）求导得 f ′( x ) = + ） 10 20 x
∴ f ′(100) = 1 + 1 ≈ 0.105(万元 / m 2 )
10 200
当建筑面积为100平米时，成本增加的速度为 平米时， 当建筑面积为 平米时 即面积为100平米时，每增加 平米的 平米时， 平米时 每增加1平米的 1050元 / m 2 ，即面积为 建筑面积，成本就要增加1050元。 建筑面积，成本就要增加 元 练习
（ ） 解： 1）当 t 从 1s 变到 3s 时，功 W 关于 t 的平均 变化率为 变化率为
W ( 3) − W (1) 21 − 11 = = 5 ( J / s) 3 −1 3 −1
它表示从 1s 到 3s 这个人平均每秒做功 5J 。 它表示从 （2）求导可得 W ′(t ) = 3t 2 − 12t + 16 ） ∴ W ′(1) = 7 J / s 功为 7J 和 4J 。
W ′( 2) = 4 J / s
W’(1)，W’(2)表示 t = 1 和 t = 2 时这人每秒做的 ， 表示 问题 2
解： 1）t 从0变到 时，和从 变到 时，降雨量 变到10时 和从50变到 变到60时 （ ） 变到 y 关于时间的变化率分别为： 关于时间的变化率分别为： 降雨强度
y(10) − y( 0) 10 − 0 = = 1( mm / min) 10 − 0 10 − 0
动手做一做
在自行车比赛中， 单位： 在自行车比赛中，运动员的位移 s (单位：m) 单位 单位： 的函数关系是 与比赛时间 t (单位：s)的函数关系是 单位
s = 10t + 5t
2
求 s′( 20) 并解释其实际意义。 并解释其实际意义。
s′(20) = 210(m/ s)
它表示第20秒时的瞬时速度是 它表示第 秒时的瞬时速度是 210 m/s。 。
建筑成本 万元， 建造一幢面积为 x m 2的房屋需要成本 y 万元，y 的函数， 是 x 的函数，设函数为 x x y = f ( x) = + + 0.3 10 10 变到120时，建筑成本 y 关于建 （1）当 x 从100变到 ） 变到 时 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 筑面积 x 的平均变化Βιβλιοθήκη Baidu是多少？它代表什么实际意义？ 并解释其实际意义。 （2）求 f ′(100) 并解释其实际意义。 ） 解析
降雨强度
下表为一次降雨过程中某段时间内记录下的降雨 量数据： 单位 单位： 单位： 量数据：t (单位：min) ，y(单位：mm) 单位
降雨量 y 是时间 t 的函数 y = f (t)， ， （1）分别计算当 t 从0到10，从50到60时，y 关于 ） 到 ， 到 时 t 的平均变化率，比较它们的大小，并解释实际意义； 的平均变化率，比较它们的大小，并解释实际意义； （2）假设得到降雨量 y 关于时间 t 的函数近似表达 ） 并解释其实际意义 意义。 式为 f (t ) = 10t ，求 f ′( 40)并解释其实际意义。 解析
引言
前面主要学习利用导数帮助我们研究了函数的 单调性和极值，导数的应用不止这些， 单调性和极值，导数的应用不止这些，它在日常生 活工作和科学研究中有着广泛的应用。 活工作和科学研究中有着广泛的应用。 我们在日常生活和科学领域中遇到的许多量， 我们在日常生活和科学领域中遇到的许多量， 都可以用导数的概念来理解。比如在物理中， 都可以用导数的概念来理解。比如在物理中，速度 是路程关于时间的导数， 是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的 导数，功率是功关于时间的导数等等；在生活中， 导数，功率是功关于时间的导数等等；在生活中， 降雨强度是降雨量关于时间的导数…… 降雨强度是降雨量关于时间的导数
5 （2）求导得 f ′(t ) = ） 10t
∴
5 5 f ′(40) = = = 0.25( mm / min) 10× 10 × 40 20
分这一时刻， 它值得是 t = 40 分这一时刻，降雨量 y 关于 t 的 瞬时变化率， 瞬时变化率，即降雨强度为 0.25 mm/min。 。 问题 3
小结
导数在实际问题中的意义： ＊ 导数在实际问题中的意义： 具体问题具体分析 导数表示瞬时变化率，实际中可表示功率， 导数表示瞬时变化率，实际中可表示功率，速度 和降雨强度等。 和降雨强度等。 在讨论实际问题时： 在讨论实际问题时： 为正数时， 当导数 f ′(x ) 为正数时，实际意义是自变量每增 加一个单位时，函数值增加（或升高） 个单位； 加一个单位时，函数值增加（或升高）f ′(x ) 个单位； 为负数时，自变量每增加一个单位， 当 f ′(x )为负数时，自变量每增加一个单位，则函数 值减小（或降低） 个单位。 值减小（或降低） f ′(x ) 个单位。 结束
y(60) − y (50) 24 − 22 = = 0.2( mm / min) 60 − 50 60 − 50
它们分别表示从0到10分和从 到60分两个时 它们分别表示从 到 分和从50到 分两个时 分和从 间段内，平均每分降雨量为 间段内，平均每分降雨量为1 mm和0.2 mm。 和 。 分钟的降雨强度比后10分钟的大 前10分钟的降雨强度比后 分钟的大，这说明 分钟的降雨强度比后 分钟的大， 刚开始的10分钟比后 分钟的雨下得大。 刚开始的 分钟比后10分钟的雨下得大。 分钟比后 分钟的雨下得大