二项分布应用举例

二项分布及其应用
知识归纳
1•条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做 来表
示，其公式为 P(B|A) = _______ .
在古典概型中，若用 n(A)表示事件A 中基本事件的个
C 2
+ 1 4 2 1 1 10 1
P
(A
)=CCr=140=2, P(AB)
= CT W ，" P(B
A )
= 7書
5
2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 次时停止，设停止时共取了
E 次球，则P(E = 12)等于(
)
.
“0 3
10 5
2
C ^9
3
9 5
2^ ^9
5
9 3
2
A. C 12
8 8 B
. C 11 8 8 8 C. C 11
8 8 解：事件｛E= 12｝表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P(E= 12) = C 1i
弓9.弓2
£
8 8 8
3. (2011广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢 两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
(
)
，用符号
数，则 P(B|A)= ______ . (2)
条件概率具有性质： ① ________________________ ；
②如果B 和C 是两互斥事件，则 P(B+ C|A) = ______________________________________ 2. 相互独立事件
(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 A 、B 是相互独立事件.
⑵若A 与B 相互独立，则 P(B|A) = ____________________ , P(AB)= P(B|A) • (A)= _____ (3) 若A 与B 相互独立，则. (4) 若 P(AB)= P(A)P(B)，则
3. 二项分布
(1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次 试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样
的. (2)
在n 次独立重复试验中，事件 A 发生k 次的概率为
(P 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量 记为 .
自我检测
1. (2011辽宁高考，5)从123,4,5中任取 取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=( C 1 C 2 B.7 C
也都相互独立.
X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为n, P 的二项分布, 2个不同的数，事件 A=取到的2个数之和为偶数”，事件 ) 代8
D.2
解析：条件概率 P( B|A) =
P A
10
Q 3 Q 5 O
D. C
11 8 9 8 2
C.f
D.4
解析：•••甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，.••每场比赛甲、乙赢的概率均为 1113
记甲获冠军为事件 A ，则P(A)= 1
+ 2号=3
4.
(2010福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5个问题中，
两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是
结果相互独立，则该选手恰好回答了
4个问题就晋级下一轮的概率为 __________
解析：由题设分两种情况：(1)第 1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得 P1 = 0.8 X 0.2X 0.8X 0.8= 0.102 4. (2)第1、2个错误，第 3、4个正确，由互斥事件的概率公式得 P2= 0.2X 0.2X 0.8X
0.8= 0.025 6. ••• P = P1 + P2 = 0.128. 5.
(2011上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月
份出生的概率是 每个月的天数相同，结果精确到 0.001).
解析：设事件A 为 至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为 所有人出生月份均不相同” 则 P(A)= 1 — P(^) = 1 —告=1 — 12 X1 X0
Mgg“
~1— 0.015 5= 0.984 5 〜0.985.
题型讲解
例1.(2011湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地 扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 内”，则(1)P(A)= ________ ;
选手若能连续正确回答出
0.8,且每个问题的回答
(默认
129
EFGH 内” B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)
S 正方形
2
••• P
(A)=(r=
P AB
P(A)和 P(AB)，得 P(BA)= P
A
.这
A 包含的基本事件数
n(A)，再在事件
A 发生的条件下求事件
B 包含的基本事件数，即
n(AB)，得P(BA)= ； AB . 练习1 .抛掷红、蓝两颗骰子，设事件
A 为“蓝色骰子的点数为
3或6”事件B 为“两颗骰子的点 数之和大于8”. (1)求P(A), P(B), P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为
3或6时，求两颗骰子的点数之
［规律方法］
??条件概率的求法:
(1)利用定义，分别求 是通用的求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件
［解析］
和大于8的概率.
2 1
解析：（1）①P （A ）=-=-.②•••两个骰子的点数之和共有
36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有
6 3
10 5
10个.••• P（B ）= 36= 18.③当蓝色骰子的点数为 3或6时，两颗骰子的点数之和大于
8的结果有5个，故
_5_
5
P AB 36
5
P(AB)= 36. (2)由(1)知 P(B|A)= P A =〒=12.
3
例2.（2012重庆高考，18）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到 1
有人获胜或每人都已投球
3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为
3,乙每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了
2个球的概率.
1 1
解析］设A k , B k 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中，则 P （A k ） = 3, P （B k ） = 2（k= 1,2,3）. （1）记 乙获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 =P( A 1
B 1 )+P( A 1
B 1 A 2 B 2) +P(A 1
B 1
A 2
B 2
A 3
B 3)
=P( A i )P(B i )+ P(A i )P( B i )P( A 2 )P(B 2)+ P( A i )P( B i )P( A 2 )P( B 2 )P( A 3 )P(B 3)
2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生
的概率计算公式知 P(D)= P( A 1 B 1 A 2 B 2) + P( A 1
B 1
A 2
B 2 A 3) =P( A I )P( B I )P( A 2 )P(B 2)+
P( A I )P( B I )P( A 2 )P( B 2 )P(A 3)
=2
2 1 2 , 2
2 1
2 1 =4 =
3 2 十 3 2 3 = 27.
［规律方法］… ... ??（1）相互独立事件是指两个试验中，
两事件发生的概率互不影响； 相互对立事件
是指同一次试验中，两个事件不会同时发生； （2）求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的
概率往往比较简单.
练习2 . （2011山东高考，18改编）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对 A , 乙对B ，丙对C 各一盘•已知甲胜 A,乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独 立.（1）求红队至少两名队员获胜的概率； ⑵用E 表示红队队员获胜的总盘数，求
B 的
事件为E,丙胜C 的事件为F.则D , E , F 分别表示甲不胜 P(D)= 0.6, P(E)= 0.5, P(F)= 0.5,由对立事件的概率公式知
P( D ) =0.4 , P( E )= 0.5, P( F )= 0.5.
DEF , D EF , DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的
1 2,
P(C)
=IE+ 孑12
+ I 3
2 （2）记投篮结束时乙只投了
3 = 13
27.
E 的分布列.
解析：（1）设甲胜A 的事件为D,乙胜 A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件.因为
红队至少两人获胜的事件有： DE F ,
P = P(DE F ) + P(D E F) + P( D EF) + P(DE F)= 0.6 0.5 )0.5 + 0.6 ：0.5 0.5 + 0.4 0.5 @5 + 0.6 ：0.5 砂5= 0.55 (2)由题意知E 可能的取值为0,123.
因此 P(E= 0) = P("D 巨 T)= 0.4 >0.5 )0.5 = 0.1,
P(E= 1)= P( D E F) + P( D E F ) + P(D E F ) = 0.4 0.5 0.5 + 0.4 0.5 0.5 + 0.6 0.5 0.5= 0.35, P( E
买一瓶若其瓶盖内印有
奖励一瓶"字样即为中奖，中奖概率为 -甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮
6
料.(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率, (2)求中奖人数X 的分布列.
P(A •©) = P(A)P(百)P(C) =1
0 6 2
= 炭.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是
炭 (2)X 的可能取值为
0,1,2,3. P(X = k)= C 3
1 k 5 3—k
，k= 0,1,2,3.所以中奖人数X 的分布列为
6 6
［规律方法］ ...... ??(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、
各次之间相互独立地进行的
一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次 试验中发生的
概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的.②
各次试验中的事件是相互独立的.③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.④随机变量 是这n 次独立重
复试验中事件发生的次数.
练习3. (2012四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 (简称系统)A 和B ，系统A
和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为
10和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49,求P 的值;
(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 解析：⑴设 至少有一个系统不发生故障 "
为事件C,那么1 - P(C) = 1—士卩=今解得p=-.
10 50
5
结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 又由(1)知 D E F 、D E F 、D E
F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立,
由对立事件的概率公式得 P( = 2) = 1 — P( E= 0) — P( = 1) — P(=
［解析］⑴设甲、乙、丙中奖的事件分别为
A 、
B 、C,那么 P(A) = P(B)= P(C) = 6.
=3) = P(DEF)= 0.6 >0.5 X).5= 0.15.
例3.(2010四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有
奖励一瓶”或 谢谢购买”字样，购
解析：由题意知 P(A) = 11= 3, P(AB)= 36= 18，. P(B|A)=-
2. (2010 •宁高考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为
(2)设 系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数 耐 / c/f 、z^2 1 1 2 " 1 3 972 243
那么 P
(D)=
—而 +(1
-而=1000=面.
”为事件D,
243 250-
例4.(2013苏州模拟)一个袋中装有黑球、白球和红球共 n(n € N *)个，这些球除颜色外完全相同.已 2
知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 2
.现从袋中任意摸出2个球.
5
故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为
(1)若n = 15,且摸出的2个球中至少有1 4
个白球的概率是-，设E 表示摸出的2个球中红球的个数，求随
机变量E 的概率分布列；
(2)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有 1个黑球的概率最大，最大概率为多少? ［解析］(1)设袋中黑球的个数为 x 个，记 x 2
从袋中任意摸出一个球，得到黑球
”为事件A,则P(A) = 15 = 5.
x= 6.
设袋中白球的个数为 y 个，记 从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球 ”为事件B,则P(B) = 1-CCF
=7. y 2
— 29y+ 120 = 0,••• y= 5或y= 24(舍)..红球的个数为 15-6-5= 4(个) •••随机变量 E 的取
值为0,1,2,分布列为
2
⑵设袋中有黑球 z 个，贝y z= 5n(n = 5,10,15 ,…).
设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球
”为事件C,则
C 2-3
n
P(C)
==S+25芯,
当n= 5时，P(C)最大，最大值为
Z 10.
强化训练
1.抛掷甲、乙两枚骰子，若事件 6”，则P(BA)的值等于(
)
B 丄 B
.18
A:甲骰子的点数小于 3 ”, 事件B:甲、乙两枚骰子的点数之和等于
D"9
AB = 18= 1 PA = 1 = 6.
3
2 3
2和^,两个零件是否加工 3 4
则恰有一个一等品的概率 P= P(A n B ) + P( A AB) 一 一 2 I I 3
5
=P(A) = P( B) + P( A )P(B)= 3为+ i
%=-
3.
(2011湖北高考)如图，用K 、A i 、A 2三类不同的元件连接成一个 常工作且A i 、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正
常工作的概率为 (
A . 0.960
B . 0.864
C . 0.720
解析：A i 、A 2同时不能工作的概率为 0.2 ：0.2 = 0.04，所以A i 、 =0.96，所以系统正常工作的概率为 0.9 >0.96 = 0.864.故选B.
4.
位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向
为向上或向右，并
为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 I c 5 J 込
F
c
.4
解析：设事件A: 一个实习生加工一等品”，事件B ： ( )
D ，1
另一个实习生加工一等品”，由于A 、B 相互独立,
且向上、向右移动的概率都是2•质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()
系统，当K正
A i、A2正常工
_S—
D. 0.576
A2至少有一个正常工作的概率为1-0.04
A. 1 5 B . C2 1 5 C. & 1 3 D. c5c5(i)5
解析：质点在移动过程中向右移动 2次，向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为C2 1
2 1 -2 3,故选 B.
5.如果汁B(i5, 4)，则使P(K k)取最大值的k值为( )
1 3 1 3
解析：(特殊值法)••• P(E= 3) = C I5 4 3 4 12， P(K 4) = C45 1 4 3 11
1 3
P(E= 5)= C i5 4 5 4 10从而易知 P(K 3) = P(片 4)>P(E= 5).
6. (2012重庆高考，15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节间接法，分两，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 _________ (用数字作答解析：使用间接法，分两类：①某两节文化课之间间隔
2节艺术课方法数为 C2A2 C1 C1A3= 216种.②
某2节文化课之间间隔3节艺术课方法数为：C2 A3A3= 72种，故所求事件概率为
=3
=5.
7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落. 将3次遇到黑色障碍物，最后落入 A袋或B袋中•已知小球每次遇到黑色小球在下落的过程
中，
左、右两边下落的概率都是2，则小球落入A袋中的概率为
111 1 1
解：小球落入 A袋左侧的概率为2>2>=F同理落入右侧的概率为 -, ••• P
/
=3 =4.
& (2010安徽高考，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有 4个红球，3个白球和3个 黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A 1, A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球
的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是
________ (写出所有正确结论的编号) 2
5
①P(B) = 5②P(B|A 1)=
③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1, A 2，A 3是两两互斥的事件；
⑤ P(B)的值不能确定，因为它与 A 1, A 2, A 3中究竟哪一个发生有关. 解析：对①，P(B)=烹■+舗吿=寻；②，P(BA I )= C T 鲁；
1 9 5
③ ，由P(A 1) = 2，P(B) = —，P(A 1 B)=—知P(A 1 B) MP(A 1) P(B).故事件B 与事件A 1不是相互独立事件; ④ ，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥； 答案：②④
9. (2011大纲卷，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的
1种的概率；
(2) X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数•求 解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的 D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
(1)P(A)= 0.5，P(B) = 0.3，C= A + B ，P(C)= P(A + B)= P(A) + P(B)= 0.8. ⑵D = C , P(D) = 1— P(C)= 1 — 0.8= 0.2, X 〜B(100,0.2)，即X 服从二项分布，所以期望
EX= 100 >0.2 = 20.
10. (2011天津高考，16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 摸出的白球不少于 2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱 ).
(1) 求在1次游戏中；(i )摸出3个白球的概率；(i )获奖的概率； (2) 求在2次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 EX. (1)( i )设在1次游戏中摸出i 个白球"为事件A i (i= 0,1,2,3)，则P(A 3)= —5 C = f.
在 1 次游戏中获奖”为事件 B,贝y B =A 2U A 3.又 P (A 2)=C 3 +CCr C 3="2, 1 1 7
A 3 互斥，所以 P(B) = P(A 2) + P( A 3) = 2 + 5= 10.
(2)由题意可知X 的所有可能取值为
0,1,2.
P
(x =0)= 1
-10 2
=盘，P(X = 1)
=①和-W
所以X 的分布列是
⑤，由①可算得.
0.5,购买乙种保险但不购买 X 的期望.
B 表示事件：该地的
1位车主购买乙种保险但不 1种；
3个白球，2个黑球，乙箱子 2个球，若 解析:
(ii )设
且A
2,
=H ，P(X = 2)=和=舘
X 的数学期望 EX
= 0
侖 +唱+ 2
X
W0=7
.
11. （2012山东高考，19）现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 2
有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 3每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每 3
次射击的结果相互独立•假设该射手完成以上三次射击.
（1）求该射手恰好命中一次的概率； （2）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX. 3 2
解析：（1）记该射手命中 甲”、乙”靶分别为事件A, B.由已知P （A ） = 3 P （B ） = 2.
4 3 记 该射手恰好命中一次”为事件C,因为每次射击结果相互独立, ••• P(C) = P(A 石 目)+ P(瓦 B 石)+ P(T "B B) = 3
X 1— 2
4
3
⑵由已知，X 的可能取值有：0,1,234,5,
—————— 1 1 1 ——
P(X= 0) = P( A B B )= 4X 3 2
= 36； P(X= 1) = P(A B
3 2
1
P (X= 5) = P (ABB)= 3
X 32
= 3,
P(X = 2) = P( A B B) +P(A
12 11 B B)= 2 X4 X3 X3= 1；P(X= 3) = P(AB~B )+ P (Ap B) = 2>| 冷 x|= 3 ； P (X
3
命中得1分，没 4
2
+ 2X1X2 魯 36.
2=丄；
= 12；
1 2 =4) = P( A BB)= 1
X 2
2= 1.
9；。