工程数学期末考试题

2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型 1. 直解法

例 1. 用列主元素Gauss 消去解下列线性方程组（结果保留5位小数） ⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=++=++0000

.11000.12100.13310.18338.00000.10000.10000.16867.09000.08100.07290.0321321321x x x x x x x x x

例2. 设线性方程组b Ax =,其中 1

123

1

112341113

4

51

A ⎡⎤⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求)(A Cond ∞

，并分析线性方程组是否病态 ?

2.迭代法

例1. 设线性方程组b Ax =为 ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡-----2212

2

11

22

321x x x ααα ， 0≠α 写出求解线性方程组的Jacobi 迭代格式，并确定当α取何值时Jacobi 迭代格式收敛. 例2. 写出求解线性方程组b Ax =的Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中

b Ax =为

⎪⎩

⎪

⎨

⎧=++-=+=-5

22826

2332

13231x x x

x x x x 3.插值

例 1. 已知,12144,11121,10100===

（1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位） （2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位）

例 2. 由下列插值条件

4. Runge —Kutta 格式

例 写出标准Kutta Runge -方法解初值问题 ⎩

⎨⎧==+-=1)0(,1)0(s i n 2'

2'''y y x y xy y 的计算格式

5. 代数精度

例 1. 数值求积公式形如

)1()0()1()0()()(321010

f A f A f A f A x S dx x xf '+'++=≈⎰

试确定其中参数,,,,4321A A A A 使其代数精度尽量高, 并确定代数精度. 例 2. 验证数值求积公式

20120

()(1(1)(1f x dx A f A f A f ≈-

+++

⎰

是Gauss 型求积公式. 6．Romberg 方法 例 对积分⎰

+10

2

1dx x ，

用Romberg 方法计算积分的近似值，误差不超过5

10-并将结果填

入下表（结果保留至小数点后第五位）.

7（1）设)(x ϕ为],[b a 上关于权函数)(x ρ的n 次正交多项式，以)(x ϕ的零点为节点建立

Lagrange 插值基函数)}({x l i ，

证明：⎰⎰

==

b

a

b a

i i n

i dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2

ρρ

证明: 设n 次正交多项式()x ϕ的零点为12,,n x x x ，则以这n 个零点为节点建立的

Lagrange 插值基函数{()},1,2,i l x i n = 是n-1次多项式，[]2

()i l x 是2n-2次多项式. 故

当()f x 取()i l x 和[]2

()i l x 时Gauss 型求积公式

1

()()(

)

n

b k

k a

k x f x dx A

f x ρ=≈

∑⎰

等号成立, 即

1

()()()n

b i k i

k

i

a

k x l x dx A l x

A ρ==

=∑⎰

2

2

1

()()()n

b i k i k i

a

k x l x dx A l x A ρ==

=∑

⎰

则有 ⎰

⎰

==

b a

b a

i i n

i dx x l x dx x l x ,,2,1,)]()[()()(2

ρρ

（2）对线性方程组b Ax =，若A 是n 阶非奇异阵，0≠b ，*x 是b Ax =的精确解，x 是

b Ax =的近似解。记Ax b r -=

证明：

b

r CondA

x

x x ≤-*

*

证明：由于*x 是b Ax =的精确解，则 A x b *

=，()r b Ax Ax Ax A x x **=-=-=-

又A 是n 阶非奇异阵，则 1x x A r *--=

11x x A r A r *---=≤，且b Ax A x **=≤，则 b x A

≥

故 *

1

1

*x x A r r r A

A

C ondA

b

A

b

b

x

---≤

==

（3）初值问题0)0(,=+='y b ax y 有解bx ax

x y +=

2

2

1)(，若nh x n =，n y 是用Euler

格式解得的)(x y 在n x x =处的近似值，证明：n

n n ahx

y x y 2

1)(=- .

证明：记 n n n f y x f b ax y x f =+=),(,),(，且0)0(=y ，nh x n = Euler 格式为

),(1n n n n y x hf y y +=+ 则有

=++=+=-----12211)(n n n n n n hf hf y hf y y

n

n n n n n bx ahx ax nhb ah

hb

ah

n hb ah hb ah hb b ax h b ax h b ax h hf hf hf y +-=

+=

+-+++++=++++++=++++=---212

212

2

)1(2

2

21101

100)1(2)()()(

n n n n n n n n ahx ahx bx ax bx ax y x y 21

2

12

212

2

1)()(=-+-+=-.

（4）设n

n C A ⨯∈为非奇异阵，试证：线性方程组b Ax =的数值解可用Seidel 迭代方法求

得.