再谈圆锥曲线对定点张直角的弦问题
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事实 上 ，若 ａｂ（ａ＋６）＞０，则 当 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）满 足
（ｐ＞ｏ）所 在平 面 内一 定 点．若 ｚ。＞ ～ ，则 点 Ｐ
厶
在其 张 直角 弦 ＡＢ 的射 影 Ｈ 的轨迹 ｃ 的方程 ：
（ｚ— （）一 ）。＋ 一 ２ｐｘｏ十 ｐ。（ ≠ ｚ。）．
事实上 ，当 。一一告，若直线 ＰＡ，ＰＢ与抛物
６２
数 学 通 报
２０１４年 第 ５３卷 第 １ １期
ｆ，＂），故 直 线 族 ：（ ～ ｃ） ７２＋ ｎｙ一Ⅱ。一 其 中
Ⅲ。＋ ＂ 一 ２．
由 上 式 消 去 ＩＴｔ整 理 可 得
（ 。＋ ２ｃｘ＋ ｃ ＋ Ｙ ）” 一 ２ｙ（ｆ ＋ “。）ｎ — ｎ。 （ ＋ Ｃ） ＋ （ｃ ＋ 口 ） 一 ０．
”（ｙ－”）一０．将 其 看作 关 于 的二 次 方 程 ，其 判 别 式 为 △。一 一 ２ｐｘ≥ ０． 因 此 ，直 线 族 ￡的 包 络 是 以 Ａ 为 焦 点 ，Ｃ 点 为 顶 点 的抛 物 线 ． ２．２ 有 心 圆 锥 曲 线 对 平 面 内 定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络
ＰＢ一 （一 （ｙｏ— ｎ）ｔ２＋ ｍ — ｚ０，
（ ０一 ） ２＋ － ｙｏ）．
因为 ＰＡ，ＰＢ满足 Ｊ＿商 ，、所以
［（ －ｎ） ＋（ （）－ｍ） ］ｔＩ ｚｚ＋ （
（ ｏ一 Ⅲ ）。一 ０．
） ＋
由 于 （．ｙ。一 ） ＋ （ 。～ ）。≠ ０，故 ｔ ￡２＋ １— ０．
设 Ｐ（ 。，ｙ。）为 圆 锥 曲 线 Ｃ１：ａｘ。＋ ｂｙ 一 １ （ａ，６≠ ０）所 在 平 面 内一 定 点 ．Ｃ 对 Ｐ 张 直 角 的 弦 ＡＢ 落 在 直线 上 ，从 Ｐ 到 ｚ之 上 的垂 直 射 影 点记 为 Ｈ（ＴＹｌ， ）．
由于 直线 ＡＢ 的法 向量 再＿声一 （ 。～ｍ， 。一 ”），故 直线 ｚ的参 数方 为 ：
结论 ２ 设 Ｐ（ｘ Ｙ。）为 抛 物 线 Ｃ ： 一２ｐｘ
圈 ３
命 题 １ 设 Ａ 为 圆 ０ 所 在 平 面 内一 点 ，圆 （．） 的半 径 为 ａ，Ｂ为 圆 上一 动点 ，ＡＢ垂 直 于动 直线 ｌ
于 Ｂ ．
（１）如 图 １所示 ，若 Ａ 为圆 ０ 内一 点 ，则 直线 族 ｌ的包 络为 一个 以 ０ 为 中 心 、Ａ 为 焦 点 、 为长 半 轴长 的一 个椭 圆 ；
所 以 当 ≠ ｚ。时 ，
一 ２９ｍ ＋
一 嘉 ’
由
＋ １一 。，整 理 可 得
（ — ｚｏ— ）。＋ ＝ ２ｐｘ０＋ ．
③
由③式可得，当ｚ。＞～要时，则数对（ ， ）存在，
故可 得 Ｈ 轨 迹 Ｃ 的方 程 为
（ｚ— ｌｚ。一 ｐ）。＋ 一 ２ｐｘｏ＋ （ｚ≠ ０）．
将 直线 ｚ的参 数方 程代 入 曲线 ｃ 的方程 可 得
［６（ｚ０－ｍ）。＋ｎ（．ｙ（）一 ） ］ｆ ＋
２［６ （ｚｏ— ）一ａｍ（ 。一 ）］ｆ＋ｂｎ。＋（２７ｎ。
一 １，
①
故 当 ｂ（ 。一 ） ＋ｎ（ 一”） ≠０时 ，由韦 达定 理ｍ ＋
可 得
一
所 以
ｂ＂０＋ Ⅲ ２— １
厶
线 相切 ，则 直 线 ＰＡ，ＰＢ 的 夹 角 是 直 角 ．此 时 ，
＾
ｚ一一鲁 为该 抛 物线 的准 线． 厶
２ 圆 锥 曲 线 对 平 面 内定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 ２．１ 平面 内定 点 对 圆或 直 线 上 动点 连 线 的 垂线 的 包 络
笔者 发 现利 用上 述 的结论 讨论 圆锥 曲线 对 平 面 内定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 问 题 更 为 简 单 ．首 先 ，笔者 讨论 平 面 内定 点对 圆 或直 线 上 动 点 连 线 的垂 线 的包络 ，即有下 列结 论 ：
一
“＋ ６ “＋ ６ ｎ＋ ｂ
一 （ｎ ＋ 一２— １）·
所 以 ， （ｉ）当 Ｐ（ ｒ ．ｙ。）满 足 （２，Ｚ７ ＋ｂｙｊ＜ １时 ，定 点 Ｐ
张直角弦的包络为以（ ， ）为中心、Ｐ（ 。，
）为一 个焦 点 、
为 长半 轴 长
的椭 圆（如 图 ４所示 ，当 ａｂ＜ Ｏ时 ，该情 况下 ，定 点 Ｐ 张直 角弦 的包 络 ）；
一
２０１４年 第 ５３卷 第 １１期
数 学通报
６３
点 Ｐ 为 焦 点 以
为焦 准 距 的 抛 物 线
（如 图 ６所 示 ，定点 Ｐ张直 角 的弦 的包 络 ）．
Ｐ（ 。，ｙ。）分 别 满 足 ｙ：＜ ２ｐｘ。时 ，则 定 点 Ｐ 张直 角 的 弦 的 包 络 为 一 个 以 （ 。＋ Ｐ，０）为 中 心 、Ｐ（ ， Ｙ。）为一个焦点、￣／２ ｚ。＋Ｐ。为长半轴 长的椭 圆；
数 学 通 报
６１
若 Ｐ （ 。，Ｙ ）不 在 原 点 ，则 可 得 Ｈ 轨 迹 方 程 Ｌ ０为 ：
２ｂｘ【）ｚ＋ ２ａｙ｜１ ３，一６ｚｉ－Ｆａｙ 一 １． 结论 ｌ 设 Ｐ（ 。，Ｙ。）为 有 心 圆 锥 曲线 ｃ ： ｎ ＋ｂｙ。一 １所 在 平 面 内 一 定 点 ． （ｉ）当 ｄ＋６≠０时 ，若 Ｐ（ 。，Ｙ。）满 足 ａ＋ｂ— ａｂｘ 一ａｂｙ ＞ ０，则 点 Ｐ 在其 张直 角 的弦 ＡＢ 射影 的轨 迹 Ｃ。方程 为 ：
将 上 式看作 关 于 ”的二 次方 程 ，必有 其判 别式
△１— ４ｙ （ｆ ＋ ｎ。） 一 ４（３Ｆ ＋ ２ｃｘ＋ Ｃ ＋ ） ·
ｒ一“。（ ＋ｆ） ＋ （ｆ ＋ｎ ） ］≥ Ｏ， 化 简 可 得 （ ＋ｃ） Ｅ（ａ 一ｆ ）ｚ。＋“。ｙ 一ｎ （“ 一ｆ ）］≥０．
（ｉ）当 ｆ≠ｎ时 ，不难 验 证 ，动 直线 族 ｚ的包 络 方 程 为 （“ 一 Ｃ ）』 ＋“。ｙ －ａ （ｎ 一 Ｃ ）二＝＝０，即
６Ｏ
数 学 通 报
２０１４年 第 ５３卷 第 １１期
再谈 圆锥 曲线对定 点张直角 的弦 问题
高 文 启
（阜 阳第 五 中学 ２３６０００）
文 ［１］中 张忠 旺 老 师 讨 论 了 圆 锥 曲线 对 定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 问 题 ，得 到 了 其 包 络 也 是 圆 锥 曲线．而 文［１］的 证 明过 程 中主 要 借 助 于 二 次 曲 线 不 变量 理论 ，也 正如该 文所 说“在本 文成 稿 过程 中 ，遇 到 许 多繁 难 的 运 算 和 变形 ”．但 借 助 于 《几 何 画板 》，笔者发 现定 点在 其 张直 角 的弦射 影 的轨 迹是 一个 圆或 者 一 条 直 线 ，并 日‘在 此 基 础上 去 探 讨 定 点张 直角 的弦 的包 络更 简 单．本 文 主 要利 用 直线 的参 数方 程 ，首 先 对 圆锥 曲 线 的 各 种情 形 下 的定 点在 其张 直 角 的 弦 的 射影 的 轨迹 进 行 探 究 ； 进 一 步 ，对 圆锥 曲 线 的 定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 进 行讨 论． １ 圆锥 曲线 对 平面 内一 定 点 在 其 张 直 角 的 弦 射 影 的 轨 迹 １．１ 有 心 圆 锥 曲 线 对 平 面 内 一 定 点 在 其 张 直 角 的 弦 射 影 的 轨 迹
ｆ 一一‘ （）一”’ ＋ ’其中ｆ为参数．
１ｙ一 （ ｎ— ｍ ）ｔ十 ，
不 妨 设 Ａ （一 （Ｙ（，一ｎ）ｔｌ＋ｍ ，（ ）一 ｍ）ｔｌ＋ ＴＩ）， Ｂ（一 （ｙ ）一 ）ｔ２十 ，（ 。一 ）ｔ２＋ ｎ），所 以
一 （一 （ｙｏ一 ”）￡ ＋ ＿，，２一 ，
（－『ｏ— ）ｔ１＋ 一 Ｙｏ），
（ｉｉ）当 “ ：＋ｂｙ 一 １时 ，定 点 Ｐ 张 直 角 弦 恒
过点（ ａ－ｂ 。）；
（ｉｉｉ）当 Ｐ（ｏ７ｉ７。，Ｙｏ）满 足 ＆ ＋ ｂｙ：＞ １时 ，定 点
直触 “ 一
的包
络
为
以 …
ｂｏｇｏ一 ｂ ’＆ａ＋ｙｏｂ，， 为
’ｕ、、
Ａ（一等，０），Ｂ（Ｏ川）．则直线族 方程为等 ｒ＋
在 ｎ＋ ｂ≠ ０的 情 况 下 ，当 口＋ ｂ～ ａｂｘｉ— ａｂｙ： ＞Ｏ时 ，由命 题 １可知 ，讨 论 定点 Ｐ 张直 角 的弦 的 包 络 关 键 在 于 确 定 点 Ｐ 和 圆 Ｃ。的 位 置 关 系． 由 于
（ 。一 ） ＋（ 。一 ）
“＋ ６一 ａｂｘ：－ａｂｙ
一
—
—
（２）若 Ａ 为 圆 ０ 上一 点 ，则直 线族 川如 图 ２所 示 ，若 Ａ 为圆 ０ 外 一 点 ，则 直线 族 ｚ的包 络为 一个 以 ０ 为 中 心 、Ａ 为 焦 点 、ａ为实 半轴 长 的一 个双 曲线 ．
证 明 不妨 设 圆 ０ 的方 程 为 ＋ 。一ｎ。．设 Ｂ（ｍ ， ），Ａ（ｃ，０）（ｃ＞ ｏ），则 ｚ的 法 向 量 一 （ 一
（ 一 ｂｘｏ）。＋（ 一 ａｙｏ）
ａ＋ｂ－ａｂｘ：－ ａｂｙ：
（“＋ ６） （６ （ｚ— ｚ０） ＋ 口 （ — （））。≠ ０）；
（ｉｉ）当 ａ＋６—０时 ，若 Ｐ 与 原 点不 重 合 ，则 点 Ｐ 在其 张直 角 的弦 ＡＢ 的射 影 的轨 迹 Ｌ。方程 为 ：
２ｂｘｏｚ＋ ２ａｙｏ — ｂｘ －Ｆａｙ 一 １．
在平 面 内一定 点 ．抛 物 线 Ｃ 对 点 Ｐ 在其 张直 角 的 弦所在 的直 线 ＡＢ 上 的射 影为 Ｈ （ ， ）．
类似 上 面讨论 将 直线 ＡＢ 的参数 方 程 代 入 曲 线 Ｃ。的方 程可 得
（ ｏ－ｍ）。ｔ。＋ ２［ （ 。一 ）＋ （ ０－ｎ）］ｔ一
２ｐｍ ＋ 一 ０．
－Ｌ ： 一 １
ｎ ２ ’ ＆ ２ 一 ｆ２ 一
故 当 ａ＞ ｃ时 ，其 包 络 为 椭 圆 ；当 ａ＜ Ｃ时 ，其 包 络
为 双 （ ｉｉ）当
直线族 ｆ一 “， ，直 线 族
ｌ ： ： ｎｙ 一 一 一
（
一 一
ａ） ）（ （，Ｔｇ ＋ ＋
ｆ），则其 恒 过点 （一ｃ，０）．
由上面讨 论 可得 ，Ｈ 轨 迹 方程 Ｃ。为 ：
（ 一 ） ＋（ ～ ａｙｏ）。
ａ￣ ｂ－ａｂｘ ～ａｂｙｊ
（ｎ＋ ６）
‘
（６ （ — 。）。＋ ＆ （ — Ｙｏ） ≠ ０）．
当 ａ＋ｂ：０时 ，则 曲线 Ｃ 表 示 等 轴 双 曲线 ，
２０１４年 第 ５３卷 第 １１期
ｊ＋．ｙ；一音＋吉时，过Ｐ的两条与曲线Ｃ 相切
的直线成直角，故圆 ＋ 一寺＋古是曲线Ｃ
的两 条相 互垂 直 的切 线 交 点 的轨 迹 ，它 叫做 该 曲 线 的准 圆． １．２ 抛 物 线 对 平 面 内 一 定 点 在 其 张 直 角 的 弦 的
图 １
图 ２
射 影 轨 迹 设 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）为 抛 物 线 Ｃ ：ｙ 一 ２ｐｘ（ｐ￣ Ｏ）所
命 题 ２ 如 图 ３所 示 ，设 Ａ 为 直 线 ｋ外 一
点 ，且 在 ｋ的射 影为 Ｃ，Ｂ 为直 线 ｋ上一 动点 ，ＡＢ
垂 直 于动 直 线 于 Ｂ．则 直线 族 的包 络是 以 Ａ
为 焦点 ，Ｃ点为 顶点 的抛 物线 ．
证 明 妨 设 ｋ的 方 程 一 ０． 设
旦蔓 一－ 一
设 Ｐ（ｘ。， 。）为 曲线 Ｃ ：ｎ 。＋ｂｙ ＝＝＝１所 在平 面 内一定 点．曲线 （ 对 定 点 Ｐ 张 直 角 的 弦所 在 的 直 线 为 ＡＢ．不 难 发 现 ，点 Ｐ 在 其 张 直 角 的 弦 的射 影 的轨迹 和该 弦 的包 络 是 共 生 的 ，故 它 们存 在 条 件 也 是 一 致 的 ．
’
一
～
（ ｂ
０一
） ＋ ａ （ 。一
”） ＋ …＿
ｏ．
整 理 可 得
（“＋ ６） ＋ （ａ＋ ｂ）ｎ 一 ２ｂｘ（）ｍ 一 ２ａｙｏ”＋
ｂｘｉ￣ ａｙｊ一 １＝ ０．
当 “＋６≠ ０，则 对 上 式 配 方 町得
（ａ＋６）
②
由于 ｔ ｔｚ＝＝＝一１，则 当 ａ＋６一ａ６ ｊ—ａｂｙｊ＞Ｏ时 ，满 足方 程② 中的数 对 （ ，”）都 使 方 程 ① 必 有 解．因 此 ，方程 ② 中 的点 都 是 点 Ｐ 在 其 张 直 角 的 弦 的 射影 ．
（ｐ＞ｏ）所 在平 面 内一 定 点．若 ｚ。＞ ～ ，则 点 Ｐ
厶
在其 张 直角 弦 ＡＢ 的射 影 Ｈ 的轨迹 ｃ 的方程 ：
（ｚ— （）一 ）。＋ 一 ２ｐｘｏ十 ｐ。（ ≠ ｚ。）．
事实上 ，当 。一一告，若直线 ＰＡ，ＰＢ与抛物
６２
数 学 通 报
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ｆ，＂），故 直 线 族 ：（ ～ ｃ） ７２＋ ｎｙ一Ⅱ。一 其 中
Ⅲ。＋ ＂ 一 ２．
由 上 式 消 去 ＩＴｔ整 理 可 得
（ 。＋ ２ｃｘ＋ ｃ ＋ Ｙ ）” 一 ２ｙ（ｆ ＋ “。）ｎ — ｎ。 （ ＋ Ｃ） ＋ （ｃ ＋ 口 ） 一 ０．
”（ｙ－”）一０．将 其 看作 关 于 的二 次 方 程 ，其 判 别 式 为 △。一 一 ２ｐｘ≥ ０． 因 此 ，直 线 族 ￡的 包 络 是 以 Ａ 为 焦 点 ，Ｃ 点 为 顶 点 的抛 物 线 ． ２．２ 有 心 圆 锥 曲 线 对 平 面 内 定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络
ＰＢ一 （一 （ｙｏ— ｎ）ｔ２＋ ｍ — ｚ０，
（ ０一 ） ２＋ － ｙｏ）．
因为 ＰＡ，ＰＢ满足 Ｊ＿商 ，、所以
［（ －ｎ） ＋（ （）－ｍ） ］ｔＩ ｚｚ＋ （
（ ｏ一 Ⅲ ）。一 ０．
） ＋
由 于 （．ｙ。一 ） ＋ （ 。～ ）。≠ ０，故 ｔ ￡２＋ １— ０．
设 Ｐ（ 。，ｙ。）为 圆 锥 曲 线 Ｃ１：ａｘ。＋ ｂｙ 一 １ （ａ，６≠ ０）所 在 平 面 内一 定 点 ．Ｃ 对 Ｐ 张 直 角 的 弦 ＡＢ 落 在 直线 上 ，从 Ｐ 到 ｚ之 上 的垂 直 射 影 点记 为 Ｈ（ＴＹｌ， ）．
由于 直线 ＡＢ 的法 向量 再＿声一 （ 。～ｍ， 。一 ”），故 直线 ｚ的参 数方 为 ：
结论 ２ 设 Ｐ（ｘ Ｙ。）为 抛 物 线 Ｃ ： 一２ｐｘ
圈 ３
命 题 １ 设 Ａ 为 圆 ０ 所 在 平 面 内一 点 ，圆 （．） 的半 径 为 ａ，Ｂ为 圆 上一 动点 ，ＡＢ垂 直 于动 直线 ｌ
于 Ｂ ．
（１）如 图 １所示 ，若 Ａ 为圆 ０ 内一 点 ，则 直线 族 ｌ的包 络为 一个 以 ０ 为 中 心 、Ａ 为 焦 点 、 为长 半 轴长 的一 个椭 圆 ；
所 以 当 ≠ ｚ。时 ，
一 ２９ｍ ＋
一 嘉 ’
由
＋ １一 。，整 理 可 得
（ — ｚｏ— ）。＋ ＝ ２ｐｘ０＋ ．
③
由③式可得，当ｚ。＞～要时，则数对（ ， ）存在，
故可 得 Ｈ 轨 迹 Ｃ 的方 程 为
（ｚ— ｌｚ。一 ｐ）。＋ 一 ２ｐｘｏ＋ （ｚ≠ ０）．
将 直线 ｚ的参 数方 程代 入 曲线 ｃ 的方程 可 得
［６（ｚ０－ｍ）。＋ｎ（．ｙ（）一 ） ］ｆ ＋
２［６ （ｚｏ— ）一ａｍ（ 。一 ）］ｆ＋ｂｎ。＋（２７ｎ。
一 １，
①
故 当 ｂ（ 。一 ） ＋ｎ（ 一”） ≠０时 ，由韦 达定 理ｍ ＋
可 得
一
所 以
ｂ＂０＋ Ⅲ ２— １
厶
线 相切 ，则 直 线 ＰＡ，ＰＢ 的 夹 角 是 直 角 ．此 时 ，
＾
ｚ一一鲁 为该 抛 物线 的准 线． 厶
２ 圆 锥 曲 线 对 平 面 内定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 ２．１ 平面 内定 点 对 圆或 直 线 上 动点 连 线 的 垂线 的 包 络
笔者 发 现利 用上 述 的结论 讨论 圆锥 曲线 对 平 面 内定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 问 题 更 为 简 单 ．首 先 ，笔者 讨论 平 面 内定 点对 圆 或直 线 上 动 点 连 线 的垂 线 的包络 ，即有下 列结 论 ：
一
“＋ ６ “＋ ６ ｎ＋ ｂ
一 （ｎ ＋ 一２— １）·
所 以 ， （ｉ）当 Ｐ（ ｒ ．ｙ。）满 足 （２，Ｚ７ ＋ｂｙｊ＜ １时 ，定 点 Ｐ
张直角弦的包络为以（ ， ）为中心、Ｐ（ 。，
）为一 个焦 点 、
为 长半 轴 长
的椭 圆（如 图 ４所示 ，当 ａｂ＜ Ｏ时 ，该情 况下 ，定 点 Ｐ 张直 角弦 的包 络 ）；
一
２０１４年 第 ５３卷 第 １１期
数 学通报
６３
点 Ｐ 为 焦 点 以
为焦 准 距 的 抛 物 线
（如 图 ６所 示 ，定点 Ｐ张直 角 的弦 的包 络 ）．
Ｐ（ 。，ｙ。）分 别 满 足 ｙ：＜ ２ｐｘ。时 ，则 定 点 Ｐ 张直 角 的 弦 的 包 络 为 一 个 以 （ 。＋ Ｐ，０）为 中 心 、Ｐ（ ， Ｙ。）为一个焦点、￣／２ ｚ。＋Ｐ。为长半轴 长的椭 圆；
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６１
若 Ｐ （ 。，Ｙ ）不 在 原 点 ，则 可 得 Ｈ 轨 迹 方 程 Ｌ ０为 ：
２ｂｘ【）ｚ＋ ２ａｙ｜１ ３，一６ｚｉ－Ｆａｙ 一 １． 结论 ｌ 设 Ｐ（ 。，Ｙ。）为 有 心 圆 锥 曲线 ｃ ： ｎ ＋ｂｙ。一 １所 在 平 面 内 一 定 点 ． （ｉ）当 ｄ＋６≠０时 ，若 Ｐ（ 。，Ｙ。）满 足 ａ＋ｂ— ａｂｘ 一ａｂｙ ＞ ０，则 点 Ｐ 在其 张直 角 的弦 ＡＢ 射影 的轨 迹 Ｃ。方程 为 ：
将 上 式看作 关 于 ”的二 次方 程 ，必有 其判 别式
△１— ４ｙ （ｆ ＋ ｎ。） 一 ４（３Ｆ ＋ ２ｃｘ＋ Ｃ ＋ ） ·
ｒ一“。（ ＋ｆ） ＋ （ｆ ＋ｎ ） ］≥ Ｏ， 化 简 可 得 （ ＋ｃ） Ｅ（ａ 一ｆ ）ｚ。＋“。ｙ 一ｎ （“ 一ｆ ）］≥０．
（ｉ）当 ｆ≠ｎ时 ，不难 验 证 ，动 直线 族 ｚ的包 络 方 程 为 （“ 一 Ｃ ）』 ＋“。ｙ －ａ （ｎ 一 Ｃ ）二＝＝０，即
６Ｏ
数 学 通 报
２０１４年 第 ５３卷 第 １１期
再谈 圆锥 曲线对定 点张直角 的弦 问题
高 文 启
（阜 阳第 五 中学 ２３６０００）
文 ［１］中 张忠 旺 老 师 讨 论 了 圆 锥 曲线 对 定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 问 题 ，得 到 了 其 包 络 也 是 圆 锥 曲线．而 文［１］的 证 明过 程 中主 要 借 助 于 二 次 曲 线 不 变量 理论 ，也 正如该 文所 说“在本 文成 稿 过程 中 ，遇 到 许 多繁 难 的 运 算 和 变形 ”．但 借 助 于 《几 何 画板 》，笔者发 现定 点在 其 张直 角 的弦射 影 的轨 迹是 一个 圆或 者 一 条 直 线 ，并 日‘在 此 基 础上 去 探 讨 定 点张 直角 的弦 的包 络更 简 单．本 文 主 要利 用 直线 的参 数方 程 ，首 先 对 圆锥 曲 线 的 各 种情 形 下 的定 点在 其张 直 角 的 弦 的 射影 的 轨迹 进 行 探 究 ； 进 一 步 ，对 圆锥 曲 线 的 定 点 张 直 角 的 弦 的 包 络 进 行讨 论． １ 圆锥 曲线 对 平面 内一 定 点 在 其 张 直 角 的 弦 射 影 的 轨 迹 １．１ 有 心 圆 锥 曲 线 对 平 面 内 一 定 点 在 其 张 直 角 的 弦 射 影 的 轨 迹
ｆ 一一‘ （）一”’ ＋ ’其中ｆ为参数．
１ｙ一 （ ｎ— ｍ ）ｔ十 ，
不 妨 设 Ａ （一 （Ｙ（，一ｎ）ｔｌ＋ｍ ，（ ）一 ｍ）ｔｌ＋ ＴＩ）， Ｂ（一 （ｙ ）一 ）ｔ２十 ，（ 。一 ）ｔ２＋ ｎ），所 以
一 （一 （ｙｏ一 ”）￡ ＋ ＿，，２一 ，
（－『ｏ— ）ｔ１＋ 一 Ｙｏ），
（ｉｉ）当 “ ：＋ｂｙ 一 １时 ，定 点 Ｐ 张 直 角 弦 恒
过点（ ａ－ｂ 。）；
（ｉｉｉ）当 Ｐ（ｏ７ｉ７。，Ｙｏ）满 足 ＆ ＋ ｂｙ：＞ １时 ，定 点
直触 “ 一
的包
络
为
以 …
ｂｏｇｏ一 ｂ ’＆ａ＋ｙｏｂ，， 为
’ｕ、、
Ａ（一等，０），Ｂ（Ｏ川）．则直线族 方程为等 ｒ＋
在 ｎ＋ ｂ≠ ０的 情 况 下 ，当 口＋ ｂ～ ａｂｘｉ— ａｂｙ： ＞Ｏ时 ，由命 题 １可知 ，讨 论 定点 Ｐ 张直 角 的弦 的 包 络 关 键 在 于 确 定 点 Ｐ 和 圆 Ｃ。的 位 置 关 系． 由 于
（ 。一 ） ＋（ 。一 ）
“＋ ６一 ａｂｘ：－ａｂｙ
一
—
—
（２）若 Ａ 为 圆 ０ 上一 点 ，则直 线族 川如 图 ２所 示 ，若 Ａ 为圆 ０ 外 一 点 ，则 直线 族 ｚ的包 络为 一个 以 ０ 为 中 心 、Ａ 为 焦 点 、ａ为实 半轴 长 的一 个双 曲线 ．
证 明 不妨 设 圆 ０ 的方 程 为 ＋ 。一ｎ。．设 Ｂ（ｍ ， ），Ａ（ｃ，０）（ｃ＞ ｏ），则 ｚ的 法 向 量 一 （ 一
（ 一 ｂｘｏ）。＋（ 一 ａｙｏ）
ａ＋ｂ－ａｂｘ：－ ａｂｙ：
（“＋ ６） （６ （ｚ— ｚ０） ＋ 口 （ — （））。≠ ０）；
（ｉｉ）当 ａ＋６—０时 ，若 Ｐ 与 原 点不 重 合 ，则 点 Ｐ 在其 张直 角 的弦 ＡＢ 的射 影 的轨 迹 Ｌ。方程 为 ：
２ｂｘｏｚ＋ ２ａｙｏ — ｂｘ －Ｆａｙ 一 １．
在平 面 内一定 点 ．抛 物 线 Ｃ 对 点 Ｐ 在其 张直 角 的 弦所在 的直 线 ＡＢ 上 的射 影为 Ｈ （ ， ）．
类似 上 面讨论 将 直线 ＡＢ 的参数 方 程 代 入 曲 线 Ｃ。的方 程可 得
（ ｏ－ｍ）。ｔ。＋ ２［ （ 。一 ）＋ （ ０－ｎ）］ｔ一
２ｐｍ ＋ 一 ０．
－Ｌ ： 一 １
ｎ ２ ’ ＆ ２ 一 ｆ２ 一
故 当 ａ＞ ｃ时 ，其 包 络 为 椭 圆 ；当 ａ＜ Ｃ时 ，其 包 络
为 双 （ ｉｉ）当
直线族 ｆ一 “， ，直 线 族
ｌ ： ： ｎｙ 一 一 一
（
一 一
ａ） ）（ （，Ｔｇ ＋ ＋
ｆ），则其 恒 过点 （一ｃ，０）．
由上面讨 论 可得 ，Ｈ 轨 迹 方程 Ｃ。为 ：
（ 一 ） ＋（ ～ ａｙｏ）。
ａ￣ ｂ－ａｂｘ ～ａｂｙｊ
（ｎ＋ ６）
‘
（６ （ — 。）。＋ ＆ （ — Ｙｏ） ≠ ０）．
当 ａ＋ｂ：０时 ，则 曲线 Ｃ 表 示 等 轴 双 曲线 ，
２０１４年 第 ５３卷 第 １１期
ｊ＋．ｙ；一音＋吉时，过Ｐ的两条与曲线Ｃ 相切
的直线成直角，故圆 ＋ 一寺＋古是曲线Ｃ
的两 条相 互垂 直 的切 线 交 点 的轨 迹 ，它 叫做 该 曲 线 的准 圆． １．２ 抛 物 线 对 平 面 内 一 定 点 在 其 张 直 角 的 弦 的
图 １
图 ２
射 影 轨 迹 设 Ｐ（ｘ。，Ｙ。）为 抛 物 线 Ｃ ：ｙ 一 ２ｐｘ（ｐ￣ Ｏ）所
命 题 ２ 如 图 ３所 示 ，设 Ａ 为 直 线 ｋ外 一
点 ，且 在 ｋ的射 影为 Ｃ，Ｂ 为直 线 ｋ上一 动点 ，ＡＢ
垂 直 于动 直 线 于 Ｂ．则 直线 族 的包 络是 以 Ａ
为 焦点 ，Ｃ点为 顶点 的抛 物线 ．
证 明 妨 设 ｋ的 方 程 一 ０． 设
旦蔓 一－ 一
设 Ｐ（ｘ。， 。）为 曲线 Ｃ ：ｎ 。＋ｂｙ ＝＝＝１所 在平 面 内一定 点．曲线 （ 对 定 点 Ｐ 张 直 角 的 弦所 在 的 直 线 为 ＡＢ．不 难 发 现 ，点 Ｐ 在 其 张 直 角 的 弦 的射 影 的轨迹 和该 弦 的包 络 是 共 生 的 ，故 它 们存 在 条 件 也 是 一 致 的 ．
’
一
～
（ ｂ
０一
） ＋ ａ （ 。一
”） ＋ …＿
ｏ．
整 理 可 得
（“＋ ６） ＋ （ａ＋ ｂ）ｎ 一 ２ｂｘ（）ｍ 一 ２ａｙｏ”＋
ｂｘｉ￣ ａｙｊ一 １＝ ０．
当 “＋６≠ ０，则 对 上 式 配 方 町得
（ａ＋６）
②
由于 ｔ ｔｚ＝＝＝一１，则 当 ａ＋６一ａ６ ｊ—ａｂｙｊ＞Ｏ时 ，满 足方 程② 中的数 对 （ ，”）都 使 方 程 ① 必 有 解．因 此 ，方程 ② 中 的点 都 是 点 Ｐ 在 其 张 直 角 的 弦 的 射影 ．