相似三角形模型(全)
相似三角形的常见模型
初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【基本模型】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DEBC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DEAB AC BC．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2： 如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CDAC AB BC．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例1】如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走2米到达B 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于_________．【变式1-1】有一块直角三角形木板，∠B ＝90°，AB ＝1.5m ，BC ＝2m ，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式1-2】（2022•衢州二模）已知菱形ABCD ，E 是BC 边上一点，连接AE 交BD 于点F （1）如图1，当E 是BC 中点时，求证：AF ＝2EF ；（2）如图2，连接CF ，若AB ＝5，BD ＝8，当△CEF 为直角三角形时，求BE 的长； （3）如图3，当∠ABC ＝90°时，过点C 作CG ⊥AE 交AE 的延长线于点G ，连接DG ，若BE ＝BF ，求tan ∠BDG 的值．初中数学 ︵九年级 ︶培优篇 ③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB∽△CJD ⇔A B JA C D JC【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC 、BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式2-1】如图，在△ABC 中，BC ＝6，AEA F EBFC，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP ＋BP 的值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24【变式2-2】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD 于点F ，当AD =CD 时，求CE 的长．【变式2-3】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD的中点．求AN:NC的值．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BEEG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【变式3-1】（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例4】如图，在△ABC 中，45ABC ，AB A D A E ，D A E 90 ，C E，则CD 的长为______．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-1】矩形ABCD 中，AD ＝9，AB ＝12，点E 在对角线BD 上（不与B 、D 重合），EF ⊥AE 交CD 于F 点，连接AF 交BD 于G 点． （1）如图1，当G 为DE 中点时． ①求证：FD ＝FE ； ②求BE 的长．（2）如图2，若E 为BD 上任意点，求证：AG 2＝BG •GE ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-2】如图，ABC 中，,,AB AC AB AC 点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．（1）求证：2AE FE BE ；（2）求A F C 的大小；（3）若DF=1，求△ABF 的面积．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇结论：AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，GF AHBC AM【例5】如图1，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上． （1）求正方形DEFG 的边长；（2）如图2，在BC 边上放两个小正方形DEFG 、FGMN ，则DE= ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式5-1】有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120cm ，高AD ＝80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示． （1）求矩形纸片较长边EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇 ②拓展：（1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【例6】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是（ ） A.15B ．215C ．17D ．217初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式6-1】如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，垂足分别为D 、E 两点，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式6-2】如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且AD AC ＝ACAB． （1）求证 △ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【变式6-3】ABC 中，90ABC ，BD AC ，点E 为B D 的中点，连接A E 并延长交B C 于点F ，且有AF CF ，过F 点作FH AC 于点H ． （1）求证：AD E CD B ∽； （2）求证：=2A E EF ； （3）若FHB C 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇②如图所示，BDE 和ABC 则ABD CBE ∽△△，且相似比为总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例7】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ） A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【变式7-1】如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，相似比是：2，连接EB ，GD ．（1）求证：EB ＝GD ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝2，求GD 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式7-2】如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，90MQN ，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上．（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：1132DN BM BC ；（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若:3:1M B M C ，N Q ，求EF 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 补充：其他常见的一线三等角图形【例8】【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B D PC ．若4PD ，8P C ，6BC ，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，8AC BC ，12A B ，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-1】如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠AEB 43，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当A P D △是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-2】（2022秋•温州校级月考） 【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ． （1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF ，9C E ，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC ，45HD HF ，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形12种基本模型证明
相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。
在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
相似三角形一般用比例关系表示。
下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。
证明：三角形的三个角之和为180度。
如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。
2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。
由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。
因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。
3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。
4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。
5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。
由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。
6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。
相似三角形的20种模型
相似三角形的20种模型三角形是数学中最基本的形状之一，它由三条线段相互连接而成，具有十分重要的意义。
一般而言，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形，但实际上，三角形的种类远远不止三类，有许多比较特殊的三角形，其中相似三角形是最为常见的一类，今天就来探究一下相似三角形的模型。
相似三角形定义为：“在三角形中，如果彼此之间关于某个点连续旋转一定角度，得到的两个三角形就是相似三角形”。
也就是说，相似三角形是关于某个点旋转一定角度后得到的两个三角形，它们具有相同的形状，但可能具有不同的大小。
相似三角形具有十分特殊的性质，其中最重要的就是：它们的各内角的度数，以及同一外角的两个内角的度数之比，是完全一样的。
这表示，只要掌握了一组相似三角形的度数，就能够立即推断出另一组相似三角形的度数。
目前关于相似三角形，已经有许多种模型，有小学、初中、高中乃至大学级别的，其中最基本的模型有20种，具体如下：1.AB等腰相似，CA/CB=A/B2.AB等边相似，CA=CB3.AB等比例相似，CA/CB=A^2/B^24.AB相似，且BD平分CA角，则CD/DC=A/B5.AB相似，且CD平分AB角，则BD/DC=A/B6.ABC三边相似，则CA/CB=A/B，CD/DC=B/C，BD/DC=A/C7.AB等腰相似，且BD平分AC角，则CD/DC=A/B8.AB等腰相似，且CD平分AB角，则BD/DC=A/B9.AB等边相似，且BD/DC=1/210.AB等边相似，且CD/DC=1/211.AB等比例相似，且BD/DC=A/B12.AB等比例相似，且CD/DC=A/B13.ABC三边相似，且BD/DC=A/B14.ABC三边相似，且CD/DC=B/C15.ABC三边相似，且BD/DC=A/C16.ABC三边等边相似，且BD/DC=1/217.ABC三边等边相似，且CD/DC=1/218.ABC三边等腰相似，且BD/DC=A/B19.ABC三边等腰相似，且CD/DC=B/C20.ABC三边等腰相似，且BD/DC=A/C上面是相似三角形的20种模型，其中有一些模型是非常常见的，例如AB等腰相似，CA/CB=A/B，即比较常见的模型，也可以看出一个相似三角形可以分解多种不同的模型，而这些模型的具体定义也有一定的差别。
专题07 相似三角形的五种模型(老师版)
专题07 相似三角形的五种模型相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。
模型一、A 字型A 字型（平行） 反A 字型（不平行）例.如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】见解析【详解】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵，，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴,，∴．【变式训练1】已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．ABC ∆,E F ,AB AC AE ABAF AC=AEF ABC ∆∆:D BC AD EF G EG FGBD CD=EAF BAC ∠=∠AE ABAF AC=EG AG BD AD =FG AGCD AD =EG FG BD CD=【答案】见解析【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC =CECB，∵CD2＝CF•CA．∴CDAC =CFCD，∴CFCD=CECB，∴EF∥BD；（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∵AC•CF＝BC•CE，∴ACBC =CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD =BDDE∴BD2＝BA•DE【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ =PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ =APAQ，同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ【变式训练3】如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．【答案】（1）4；（2）【解析】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．（3）∵点是线段的中点，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．模型二、8字型与反8字型相似Rt ABC∆90ACB∠=︒60BAC∠=︒6AC=AD BAC∠BC D D CA AB E DE AD MBM DE F BM AC GEFDF23EFDF=AD BAC∠60BAC∠=︒30DAC∠=︒Rt ACD∆90ACD∠=︒30DAC∠=︒6AC=CD=Rt ACB∆90ACB∠=︒60BAC∠=︒6AC=BC=BD BC CD=-=//DE CA BDE BCAV V∽23DE BDCA BC==4DE=M ADDM AM=//DE CA DFM AGM△∽△DF DMAG AM=DF AG=//DE CA BEF BAG△∽△23EF BE BDAG BA BC===23EFDF=例.如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【答案】见解析【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ，∵BA •BC ＝BD •BE ．即ABBC =BDBE ，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ，∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ，∴△AED ∽△ABD ，∴ADBD =DEAD ，即AD 2＝BD •DE ．【变式训练1】如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【答案】【解析】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OBOC =AODO ，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ．（2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴AEDF =OEOF ，BECF =OEOF ，∴AEDF =BECF ．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．【变式训练2】如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GEED 的值【答案】32【解析】∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AGBD =AFBF =12，∵BCCD =2，∴CD =13BD ，∴AGCD =32，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴GEED =AGCD =32．【变式训练3】如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，．∴，．又∵点是中点，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．模型三、AX 型（A 字型及X 字型两者相结合）例.如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若DF ＝2，求FC 的长度．【答案】见解析【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴ADAB =AEAC =13，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ；:3:1:2BP PQ QR =PC DR ∥PCQ RDQ ∠=∠PQC RQD ∠=∠PCQ RDQ △∽△ABCD ACED BC AD CE ==//AC DE PB PR =12PC RE =R DE DR RE =PCQ RDQ △∽△12PQ PC PC QR DR RE ===2QR PQ =3BP PR PQ QR PQ ==+=::3:1:2BP PQ QR =（2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AD AB =13，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DFCF =DECB ，即2CF =13，∴FC ＝6．【变式训练1】如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME，若＝，AF ＝2，求的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ，又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF和△CDE 中，，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵＝，AF ＝2，∴，解得x ，∴BE ＝BF ，∵＝，且CE ＝AF ，∴＝＝，∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴，∴，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．【变式训练2】如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD =12，BF CF =12．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴ABCD =BEED =12，CE BE CDCEME ADF CDF AD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩CE BE CD CE 222x x +=11CE BE CD CE CE BE CD CE CDAFCD CMAF AM=CD CM CEAF AM BE==∵BF CF =12，∴BE ED =BFFC ，∴EF ∥CD ，∴AB ∥EF ．（2）设△ABE 的面积为m ．∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴S △ABES △EDC =（ABCD ）2=14，∴S △CDE ＝4m ，∵AECE =ABCD =12，∴S △BEC ＝2m ，∴S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ＝m ：2m ：4m ＝1：2：4．【变式训练3】如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长；（2）求FG 的长．【答案】见解析【解答】解：（1）∵EG ∥AD ，∴△BAD ∽△BEF ，∴BEBA =EFAD ，即BE BE+6=26，∴EB ＝3．（2）∵EG ∥∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EGBC =AEAB ，即EG8=66+3，∴EG =163，∴FG ＝EG ﹣EF=103．模型四、共边角模型（子母型）例.在中，，垂足为，求的长【答案】4【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，Rt ABC V 90,ACB CD AB ∠=︒⊥,8,2D AD DB ==CD CD AB ⊥90ADC CDB ∠=∠=︒90ACD A ∠+∠=︒90ACB ∠=︒90ACD BCD ∠+∠=︒A BCD ∠=∠∴，∴，∴，∴．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，ADAB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵ADAB =12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC ∴a 2＝CE •5a ，4a 2＝AE •5a ，∴CE =5a5，AE=45a5，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CEAE ）2=116，故选：A ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：13D ．2：13．【答案】B【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ，∴ACBC =CDBD =64=32∴BCAC =23，故选：B ．【变式训练3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP •BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【答案】见解析【解析】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ．∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，∴∠BAP=∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴，∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ；ADC CDB V V ∽CD ADBD CD=28216CD AD BD =⋅=⨯=4CD =BP ABCD CP=（2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ．∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA，∴．∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．模型五、手拉手模型例.如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ）A ．5：3B ．4：3C ．5：2D ．2：3【答案】A【解析】∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，ACAB =AEAD ，∵∠BAC +∠BAE ＝∠DAE +∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ，∵ACAB =AEAD ，∴△ACE ∽△ABD ，∴BDCE =AB AC ，∵AC ：BC ＝3：4，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5，∴BD ：CE ＝5：3，选A ．【变式训练1】如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB 与DE 交于点O ，AB ＝4，AC ＝3，F 是DE 的中点，连接BD ，BF ，若点E 是射线CB 上的动点，下列结论：①△AOD ∽△FOB ，②△BOD ∽△EOA ，③∠FDB +∠FBE ＝90°，④BF =56AE ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④【答案】D【解析】∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADO ＝∠OBE ，∵∠AOD ＝∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ，∴ODOB =OAOE ，∴ODOA =OBOE ，∵∠BOD ＝∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确，BA BPBC BA=101210BP =253∵△AOD ∽△EOB ，△BOD ∽△EOA ，∴∠ADO ＝∠EBO ，∠AEO ＝∠DBO ，∵∠ADO +∠AEO ＝90°，∴∠DBE ＝∠DBO +∠EBO ＝90°，∵DF ＝EF ，∴FD ＝FB ＝FE ，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴∠FDB +∠FBE ＝∠FBD +∠FBE ＝90°，故③正确，在R t △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴BC =32+42=5，∵△ABC ∽△ADE ，∴DEAE =BCAC =53，∵BF =12DE ，∴2BFAE =53，∴BF =56AE ，故④正确，∵∠ADO ＝∠OBE ，∴∠ADO ≠∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．选D ．【变式训练2】已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵AD ＝AF ，∴∠ADF ＝∠F ，∵AE •CE ＝DE •EF ，∴AEDE =EFCE ，又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ，∴∠F ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ．（3）∵AE •BD ＝EF •AF ，∴AEAF =EFBD ，∵AD ＝AF ，∴AEAD =EFBD ，∵∠AEF ＝∠EAD +∠ADE ，∠ADB ＝∠EAD +∠C ，∴∠AEF ＝∠ADB ，∴△AEF ∽△ADB ，∴∠F ＝∠B ，∴∠C ＝∠B ，∴AB ＝AC ．【变式训练3】已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；V BFAE【答案】（1）1；（2）不成立，，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值＝sinα【解析】（1）连接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．（2）不成立，结论：．证明：连接BF，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．课后训练1.如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为 A．B．C．D．【解答】B【解析】，是的中点，，，即，同理可得，，，，、分别是边、的中点，，，，AEBFDFDCBFAEAEBFACBCCECFAEBFACBCABCDY E F BC CD AE AF BD G HABCDY()7:127:2413:3613:72//BE AD E B∽∴∆∆BEG DAG∴BG12==BEDG DA13=BG BD13=DH BD13∴=GH BD1136四边形∆∆∴==AGH ABD ABCDS S SE F BC CD//∴EF BD12=EF BD∽∴∆∆CEF CBD，，图中阴影部分图形的面积，即图中阴影部分图形的面积与的面积之比为.2.如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC 为（ ） A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：2【答案】D【解析】过D 作BF 的平行线，交AC 边于G ，如下图所示：∵D 为BC 中点，DG ∥BF ，∴∠CGD ＝∠CFB ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CDG ∽△CBF∴CG CF =CD CB =12，即：CG =12CF ＝FG又E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，DG ∥BF同理可得：△AEF ∽△ADG ，∴AE AD =AF AG =12，即：AF =12AG ＝FG∴AF ＝FG ＝GC ，∴AF FC =AF 2AF =12=1：2，选D ．3.如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ．【答案】2:9【解析】如图，连接∵四边形是平行四边形，，，为中点，，，，，，，∴211()24∆∆==CEF CBD S S 1148四边形∆∆∴==CEF BCD ABCD S S S ∴1176824四边形四边形⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ABCD ABCD S S Y ABCD 7:24=ABCD F BC AD E :1:3DE AD =EF DC G :DEG BGC S S ∆∆=BGABCD //∴AD BC =AD BC ∴∠=∠E CFG F BC 1122∴==FC BC AD :1:3= DE AD :1:3∴=DE BC :2:3∴=DE CF ∠=∠ E CFG ∠=∠DGE CGF ∽∴∆DGE CGF :4:9∆∆∴=DEG CFG S S为中点，，.4.如图，等边三角形ABC 中，AB ＝3，点D 是CB 延长线上一点，且BD ＝1，点E 在直线AC 上，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为 ．【分析】分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可．【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝3，∴∠ABD ＝120°，①当点E 在边AC 上时．作EF ∥AB 交BC 于F ，如图1所示：则△EFC 是等边三角形．∴∠CFE ＝60°，EF ＝CF ＝CE ，∴∠BFE ＝120°＝∠ABD ，∵∠BAD ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△DFE ，∴AB BD =DF EF ，即31=DF EF ，∴DF ＝3EF ，∴DF ＝3CF ，∴CD ＝4CF ，∵BC ＝3，BD ＝1，∴CD ＝BC +BD ＝4，∴CF ＝1，∴CE ＝1，∴AE ＝AC ﹣CE ＝2；②点E 在AC 的延长线上时．如图2所示：∵∠ABD ＝∠DCE ＝120°，∠BAD ＝CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AB CD =BD CE ，即34=1CE ，解得：CE =43，∴AE ＝AC +CE ＝3+43=133；综上所述，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为2或133；5.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC =DF CG ．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC =37，求AF FG的值． F BC 2∆∆∴=BGC CFG S S :4:182:9∆∆∴==DEG BGC S S【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵AD AC =DF CG ，∴△ADF ∽△ACG ；（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC =AF AG ，∵AD AC =37，∴AF AG =37，∴AF FG =34．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE =23，求FE EG 的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ．∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF =BE DA ．又∵BC ＝BE +CE ，CE BE =23，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =83EF ．∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴GE GA =CE DA =22+3，∴GE =25GA ，∴GE =25−2AE =23×83EF =169EF ，∴FE EG =916．7．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．【解析】（1）∵是等边三角形 ∴，在中，∴∵点是线段的中点∴∴是等边三角形∴，∴∴∴∴四边形为平行四边形；（2）①如图，连接，交于点 ∵∴∴Rt ABC V 90ACB ∠=︒30CAB ∠=︒AB ABD E AB CE AD F BCFD CD AB M 6AB =BM MN AC ⊥N 111BC AD MN+=ABD △AD AB BD ==60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒Rt ABC V 30CAB ∠=︒60ABC ∠=︒E AB 12CE BE AE AB ===BCE V 60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒BC CE =60ABD CEB ∠=∠=︒//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒//BC FD BCFD CD AB M //BC FD BCM ADM ~V V BM BC AM AD=∵，∴ ∵∴；②如图，作，垂足为∵，，∴∴，∴，∴ ∴．8.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）AE【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，；，，，；（2）解：∵四边形是平行四边形，，，．，，．在中，，，，9.如图1，在矩形中，于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是边上一点，且．求证：．【答案】（1）见解析；（1）见解析12BC CE AB ==AB AD =12BM BC AM AD ==6AB BM AM =+=123BM AB ==MN AC ⊥N90ACB ∠=︒306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒MN AC⊥////BC MN DA AMN ABC V :V C CMN DA ~V V MN AN BC AC =MN CN DA CA=1MN MN AN CN AN CN AC BC DA AC CA AC AC ++=+===111BC AD MN+=ABCD A AE BC ⊥E DE F DE AFE B ∠=∠ADF DEC ∆∆∽8AB =AD =AF =AE ABCD //∴AD BC //AB CD ∴∠=∠ADF CED 180∠+∠=︒B C 180∠+∠=︒ AFE AFD ∠=∠AFE B ∴∠=∠AFD C ∽∴∆∆ADF DEC ABCD 8∴==DC AB ∽∆∆ ADF DEC ∴=AD AFDE DC =12∴=DE // AD BC ⊥AE BC ∴⊥AE AD Rt ADE ∆90∠=︒EAD 12=DE =AD ∴===AE ABCD AE BD ⊥E BE BC AE CD =g g P AD PE EC ⊥AE AB DE AP =g g【详解】证明：∵在矩形中，，，，，，，，，，，；（2）证明：，，，，，，，，，，.10.已知，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，若，的值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）四边形是正方形，，，又，，又，，，在和中，，，；（2）过点作，设，，如图2所示：ABCD =AB CD =AD BC 90∠=︒BAD ⊥ AE BD 90∴∠=∠=︒AEB AED ∴∠+∠=∠+∠BAE ABE BAE EAD ∴∠=∠ABE DAE ∽∴∆∆ABE DAE ∴=AB BE AD AE ∴=CD BE BC AE∴=g g BE BC AE CD ⊥ AE BD ⊥PE EC 90∴∠=∠=︒AED PEC ∴∠=∠AEP DEC 90∠+∠=︒ EAD ADE 90∠+∠=︒ADE CDE ∴∠=∠EAP EDC ∽∴∆∆AEP DEC ∴=AE AP DE CD= AB CD ∴=g g AE AB DE AP ABCD E BC DE B BF DE ⊥F BF CD G CG CE =BD BE =DG =cos DBG ∠cos ∠=DBG ABCD ∴=BC DC 90∠=∠=︒BCG DCE ⊥ BF DE 90∴∠=︒GFD 180∠+∠+∠=︒ GBC BGC GCB 180∠+∠+∠=︒GFD FDG DGF ∠=∠BGC DGF ∆BGC ∆DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCG DCE BC DCCBG CDE ()∴∆≅∆BGC DEC ASA ∴=CG CE G ⊥GH BD =CE x =HD y，，又，，，，，，解得：，在中，由勾股定理得：，同理可得：，又，，在中，由勾股定理得：，= CG CE ∴=CG x =+ BE BC CE =+DC DG GC =BC DC =BE =DG ∴=+x x =x ∴=BC Rt BCD ∆6===BD 2=HD =+ BD BH HD 624∴=-=BH Rt HBG ∆===BG cos ∴∠===BH DBG BG。
初中数学三角形相似模型大总结
初中数学三角形相似模型大总结三角形相似是初中数学里非常重要的知识点，是中考中一定会涉及的考点之一。
三角形相似的判定和应用题型千变万化，但“万变不离其宗”，常用的一共有以下8种模型。
1、8字形模型2、反8字形模型3、A字形模型4、反A字形模型5、共边反A字形模型6、剪刀反A字形模型7、一线三等角模型8、一线三垂直模型【模型总结】8种具体模型实际上可以分为三个大类，如下面表格所示：【应用提示】三角形相似的实际应用中遇到的模型基本上是属于上面8种模型的变化。
比如当三角形为直角三角形时的反A字形。
【应用举例】思路分析：通常来讲，题目中遇到线段成某个比例的已知条件，往往会和三角形相似结合起来。
因为三角形相似就能利用线段的比例。
本题中，△CEF和△EFD是对折关系，所以∠EDF=∠C=60度。
进而得到∠A=∠B=∠EDF=60度，一线三等角模型太明显不过了。
因此：△AED∽△DBF。
虽然，解题过程中还用到了设未知数解方程的代数思想，但是如果不能及时发现一线三等角模型，然利用相似比例列出2个方程，此题难度也不小。
【总结】三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。
因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。
口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。
有些同学相似三角形的判定方法明明都知道，却还是不会证三角形相似，在有些图形中甚至找不到谁和谁相似，完全无从下手。
这种情况，其中一个很大的原因就是——对相似的基本模型不熟悉。
本文就来说说相似的几种基本模型，让你能在复杂的图形中快速识别，迅速上手。
1、A字型（金字塔形）A字型分两种，一种上下平行的，一种上下不平行的。
注意两种A字型对应关系不同。
2、8字型（沙漏型）同A字型一样，8字型也有两种，一种上下平行，一种上下不平行，对应关系也不同。
3、子母型子母型相似可看作由非平行的A字型相似变化而来。
子母型相似的对应关系比较容易写错，为了避免出错可采用两种书写习惯：①仿照A字型写法，从公共点写起，△BAD∽△BCA；②按角的大小排序来写，小中大，△ABD∽△CBA.推荐第一种，更不容易错。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一：A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ． （1）求证： ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
相似三角形常见模型(总结)1
相似三角形第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）BDE（平行）BDE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型BDD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．A CDEBGMF EHDCBA2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一: A 字型】 特征 模型 结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB C BDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD【相似模型二: X 型】 特征 模型 结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D ③ 顺着比, 交叉乘 ④ △BOC∽△DOA【相似模型三: 旋转相似】 特征 模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE ② △ABD∽△ACE【相似模型四: 三平行模型】 特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=【相似模型五: 半角模型】 特征模型 结论ECD BAA BDC EEDCBA90度, 45度； 120度, 60度 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六: 三角形内接矩形模型】 特征模型 结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H GFED C BA【相似模型七: 十字模型】 特征 模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE, 则AF=BE,②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中, CE ⊥BD, 则△CDE ∽△BCD,平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中, AB ＝AC,AB ⊥AC, ①D 为中点, ②AE ⊥BD, ③BE ：EC ＝2：1, ④∠ADB ＝∠CDE, ⑤∠AEB ＝∠CED,⑥∠BMC ＝135°, ⑦ , 这七个结论中, “知二得五”【A 型, X 型, 三平行模型】1.如图, 在△ABC 中, EF ∥DC, ∠AFE=∠B, AE=6, ED=3, AF=8, 则AC=_________, _________．F E DCBABCDE FA2. 如图, AB ∥CD, 线段BC, AD 相交于点F, 点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF=∠C, 其中AF=6, DF=3, CF=2, 则AE=_________.3.如图, 在Rt △ABD 中, 过点D 作CD ⊥BD, 垂足为D, 连接BC 交AD 于点E, 过点E 作EF ⊥BD 于点F, 若AB=15, CD=10, 则BF:FD=_____________.FEBCD AN MEDCBA4.如图, 在□ABCD中, E为BC的中点, 连接AE, AC, 分别交BD于M, N, 则BM:DN=_____________.5.如图所示, AB∥CD, AD, BC相交于点E, 过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．F EDCBA图26.在△ABC中, AB=9, AC=6, 点M在边AB上, 且AM=3, 点N在AC边上.当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7.如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, D是边AB的中点, 现有一点P位于边AC上, 使得△ADP与△ABC相似, 则线段AP的长为.8.如图, 已知O是坐标原点, 点A.B分别在轴上, OA=1, OB=2, 若点D在轴下方, 且使得△AOB与△OAD相似, 则这样的点D有个.9.如图, 在Rt△ACB中, ∠C=90°, AC=16cm, BC=8cm, 动点P从点C出发, 沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发, 沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s, Q点的运动速度均为2cm/s, 那么运动几秒时, △ABC与△PCQ相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠, 使点B落地边AC上, 记为点B＇, 折叠痕为EF, 已知AB=AC=8, BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似, 那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图, 四边形中, 平分, , , 为的中点.（1）求证: ；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若, , 求的值.13.如图, 在中, 为上一点, , , , 于, 连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形, 并证明．14.如图, 在中, , 分别是, 上的点, , 的平分线交于点, 交于点.（1）试写出图中所有的相似三角形, 并说明理由（2）若, 求的值．15.如图, 在平行四边形ABCD中, 对角线AC.BD交于点O. M为AD中点, 连接CM交BD于点N, 且ON=1.（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2, 求四边形ABNM的面积.16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB = _________.19.如图所示, AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则=__________.20.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, OE⊥BC于点E, 连接DE交OC于点F, 作FG⊥BC于点G, 则线段BG与GC的数量关系是___.21.如图, 已知点C为线段AB的中点, CD⊥AB且CD=AB=4, 连接AD, BE⊥AB, AE是∠DAB的平分线, 与DC相交于点F, EH⊥DC于点G, 交AD 于点H, 则HG的长为 .22.如图1, 在△ABC 中, 点D.E 、Q 分别在边AB.AC.BC 上, 且DE ∥BC, AQ 交DE 于点P. （1）求证: ；（2）如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, 正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上, 连接AG 、AF, 分别交DE 于M 、N 两点. 如图2, 若AB=AC=1, 直接写出MN 的长；如图3, 求证MN2=DM【母子型】1.已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, S △ABC=20, AB=10。
相似三角形中的 基本模型 (共21张PPT)
连接BE并延长BE交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD=2，
ED BC
1 3
，求线段DC的长.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)求证:
EF BF
GE GB
.
(2)求证 EF GB BF GE .
AD AE ED AC AB BC
模型二：相交线型
例3 如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正
确的是：（C )
A. ∠ADE=∠C C. AE DE
AB CB
B. ∠AED=∠B D. AE AD
AB AC
模型二：相交线型
例4 如图，EC和BD相交于点A，且∠D=∠C, 则△EDA∽ △ BCA ; AD: AC = AE :AB
△BDC∽△CDA △BDC∽△BCA △CDA∽△BCA
练习4 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为
AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角（∠A、∠B）
向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，AD=3,BC=5，
则EF的长为
.
练习5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△EDF∽△CBF ∴DF:BF＝DE:BC 又∵ DE:BC＝ DE:AD= 2:5 ∴DF:BF＝2:5 而BF＝15 cm
∴DF＝6 cm
A B
ED F
C
模型二：相交线型
△AED∽△ACB AE AD ED AC AB CB
△AED∽△ABC
例4 如图，△ABC中，∠A=∠DBC，BC=3 ,CD=2,
9
则AC= 2 .
相似三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型考点一、A 字相似模型【例1】．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．➢变式训练 【变式1-1】．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，与DE 交于点G ．若，则＝ ．例题精讲【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM 并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值➢变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5➢变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．➢变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则P A+PB 的最小值为．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．➢变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．185．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是．8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．12．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝；②求的值．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a ≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．。
相似五个模型
D B
A E C
D
E
O
B
C
相似三角形基本概念及定义
• ③类似SAS：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
AB AC k A'B' A'C'
∠A＝∠A'
△ABC ∽ △A'B'C'
A
A'
B
C B'
C'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 夹角相等，那么这两个三角形相似．
模型三：字母型
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6， AD=5，则AE的长为（ ）
模型三：字母型
已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。 求证：ACgCF BCgDF
秒杀技巧： ∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C
模型四：一线三等角
已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点 重合)，∠ADE＝45°． (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式； (3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
模型四：一线三等角
y A
模型二：X型和反X型
弦AB和弦CD交于圆内一点P，求证
模型三：字母型
如图AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．
求证： AB CD AC BD
D A
O
B
C
模型三：字母型
如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2， CD=3，则AE的长为（ ）
相似三角形的八大基本模型
相似三角形的八大基本模型1、等腰三角形：等腰三角形是一种三角形，它的两条边长相等，称为等腰三角形。
它的三个角也是等角，每个角度都是60度，是一个等边三角形。
它也有着金字塔形状。
2、等边三角形：等边三角形是三角形中最常见的一种，它的三个边长都是相等的，因此得名等边三角形。
由于边长是相等的，因此三个角也是等角，每个角度都是60度。
此外，它也有着正三角形的特性。
3、直角三角形：直角三角形是一种三角形，它的一个角是90度，成为直角三角形。
直角三角形一般分为狭角三角形和钝角三角形两种，其中，狭角三角形的两个直角边都要大于第三条斜边，而钝角三角形则相反，其两个直角边都要小于第三条斜边。
4、相似三角形：相似三角形是指三角形中，由一条射线形成的两个三角形，三条边长的比值相等的三角形。
它的内角和外角相似，但是边长和面积都不同。
由此可以知道，如果两个三角形边长比值相同，则该两个三角形为相似三角形。
5、等分直角三角形：等分直角三角形是指一个直角三角形中，由底边一个端点引分出来的两条斜边上的各个点，连接起来后形成的直角三角形。
由于它的特点，两个边长和底边的面积比例也是相同的，每个等分点也和其他两个等分点是相等的。
6、正交三角形：正交三角形是指两个直角三角形中的一类，由其相似的三条边构成，两个斜边互相垂直相交，而三条边长分别是直角三角形中底边和邻边之和。
正交三角形属于相似三角形，具有和相似三角形一样的特性。
7、正三角形：正三角形是一种特殊的三角形，它的三个角都是60度，每个角度都相同，其三条边长也相等，为了符合这种特性，它也有其称之为正三角形的原因。
它有着明显的金字塔形状，但是每个角度都是60度，因此可以说它的金字塔形状是平行的。
8、稜角三角形：稜角三角形是一种特殊的三角形，它的其中一个角是60度，另外两个角都小于60度，一般不会大于60度，这种三角形因此也有着金字塔形状，但是由于角度上的不同，边长也不同。
其中，由三角形的垂足作为原点，内角和外角大小关系也要满足，且两个内角和一个外角和要等于180度。
(完整版)相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展B一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：．OE OA OC ⋅=2例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．ABC DEB ∠=∠求证：（1）； （2）．DA DE DB ⋅=2DAC DCE ∠=∠ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．EG EF BE ⋅=2相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：．FC FB FD ⋅=22、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB23、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCGBM90求证：∠=︒5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高A（第25题图）求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。
初中数学 相似三角形的8大模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
0 1 模型1：A字型相似
0 2 模型2:“8”字型相似
0 3 模型3：三平行倒数和模型
0 4 模型4：一线三等角
0 5 模型5：半角形似（两个字母型相似）
0 6 模型6：旋转型相似
0 7 模型7：与圆有关的简单相似
0 8 模型8：阿氏圆
知识需知：
阿波罗尼斯圆:在平面上给定两点A、B，设点P在同一平面上且满足PB/PA= λ ，当 λ ＞ 0 且 λ ≠ 1 时，P点的轨迹就是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆（ λ
=1 时P点的轨迹为线段AB是的中垂线）。
相似三角形是几何中重要的模型之一，从历年中考考情来看，相似三角形的应用广泛。
在选择题中，直接应用相似三角形的性质，考察线段或面积比，分值4分，题型简单。
但它其实更多的是作为一种计算工具，在图形的翻折中，利用相似可以更快更简单求解；利用圆中的相似，快速求得线段或角度；在压轴大题二次函数中，利用相似可以简化模型，减少计算量，节约做题时间。
由此可看出相似三角形的重要性。
因此，笔者编写初中常见的八大相似模型，从最简单的“A”字、“8”字相似，到旋转型、半角型相似，从易到难，大家可以有选择性的进行学习。
“喜欢我到什么程度？”绿子问。
“整个世界的老虎全部融化成黄油。
” ——村上春树《挪威的森林》。
相似三角形模型(全)
面积比等于相似比的平方
如果两个三角形相似，则它们的对应 角相等。
如果两个三角形相似，则它们的面积 比等于它们的相似比的平方。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应 边成比例。
相似三角形的判定条件
两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。
两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似。
两个三角形有一个对应的角相等，且这个角所对的两边成比例，则这两个三角形相 似。
射影定理还涉及到角度的关系，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$ 。
在两个相似三角形中，对应边的比例 相等，即$frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$。
03
相似三角形的应用
在几何作图中的应用
利用相似三角形确定未知长度
01
通过已知的边长比例关系，利用相似三角形来求解未知的边长
或角度。
确定未知角度
02
通过相似三角形的性质，可以确定未知的角度。
证明定理和性质
03
相似三角形在几何作图中常被用来证明定理和性质，如角平分
线定理、中线定理等。
在解决实际问题中的应用
泰勒斯定理还可以表述为：在任何三 角形中，半周长与内切圆半径之和等 于从三角形一边上的一点到另两边的 垂直距离之和。
THANK YOU
测量问题
在测量中，可以利用相似三角形 的性质来计算难以直接测量的距
离和高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三角 形来计算建筑物的尺寸和比例。
物理学应用
在物理学中，可以利用相似三角形 来解释和计算光学、力学等问题。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
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• 相似三角形判定的基本模型认识
• （一）A字型、反A字型（斜A字型）
•
A
A
D
E
D E
B
C
• （平行）
B
C
（不平行）
.
• （二）8字型、反8字型
A
B
O
•C
D
•
• （平行）
A
B
J
C
D （蝴蝶型）
（不平行）
.
• （三）母子型:
• 特点：有一个公共角，一个公共边，夹公 共角的另一边在同一条直线上，是反A字形 的特例；
.
• （四）一线三等角型： • 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等
腰梯形）或者等边三角形为背景
.
• 例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是 BC上动点，∠EDF=60°
• （1）求证：△BDE∽△CFD
• （2）当BD=1，FC=3时，求BE
A
E
F
BD
C
.
• （五）一线三直角型：
.
• 一线三直角型相似三角形
A
E
B
D
C
.
• 双垂型
• 1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、 CE分别是AC、AB上的高
• 求证：（1）△ABD∽△ACE；
• （2）△ADE∽△ABC；
A
• (3)BC=2ED
E D
B
C
.
七、共享性
A
D
B
C
E
B
A
E
F
G
C
.
• 1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一 条直线上,∠DAE= 12，0已知BD=1， CE=3，,求等边三角形的边长.
A
D
Q
B
C
P
.
•
例2、在中，是AB上的一点且
AO 2 AB 5
，
点P是AC上的一个动点，PQOP交线段BC于
点Q，（不与点B,C重合），设 AP x,CQ ，y
试求关于x的函数关系，并写出定义域
C
Q
P
B
O
A
.
六、双垂型：
A D
C
.
• 2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别 是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面 积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线 AC的距离。
• 例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，
点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，
过点P作 PE，交CP边AB于点E,
设 PD x,AE y，求y关于x的函数关系式，
并写出x的取值范围。
A
P
D
E
B
C
.
• 正方形ABCD 的边长为（如下图），点P、 Q分别在直线 CB 、DC上（点P不与点C、 B点重合），且保持 APQ 90.当CQ=1 时，求出线段BP的长.
A
A
D
D
B
C
B
C
.
• 、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC， ∠DAE=45°．
• 求证：（1）△ABE∽△DCA；
（2）． BC22BECD
A
B
D
.
EC
• 例2：已知：如图，△ABC中，DEBABC
点E在中线AD上, ． • 求证：（1）D2BDED（A2）∠DCE=∠DAC
•
B
E
D
A
C
A
D
B
C
E
.
• 2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC， ∠DAE=45°．
• 求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）．BC
.
EC