有限元分析方法课件

（6）参考书
计算机辅助工程. 郝静如等. 航空工业出版社, 2000 有限元法—原理建模及应用. 杜平安等. 国防工业出版社.2004 有限元法基础. 蒋友谅. 国防工业出版社,1990
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有限元分析方法
二、一维杆件的有限元法
（1）单元位移插值函数
假定
F K
构件整体刚度矩阵：
k1 k1 K k2 k k 1 1 k2 0
图示结点力f1、f2表示结点1、2对单元的作用力，其符号为：与坐标轴x方向相同为正， 相反时为负。
f1 F
则有：
EA EA (u2 u1) (u1 u2 ) l l
EA f2 F (u 2 u1 ) l
（8）
表示为矩 阵形式：
f1 EA 1 1 u1 f l 1 1 u 2 2
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（5）整体构件上结点荷载与结点位移的关系——构件整体刚度矩阵
结点载荷：把作用在构件上的外载荷（包括温度载荷、惯性载荷等）等效转化为作 用在结点上的载荷，定义为结点载荷。 在连续杆单元中，各结点载荷Fi为相应各结点力的代数和。则： 结点1： F 1 结点2：
f11 k1 (u1 u2 )
f 22 k 2 f k 23 2 f 32 k3 f 33 k3 k 2 u 2 k2 u3 k 3 u3 k3 u 2
单元2有：
单元3有：
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• • • 先将弹性连续体离散化，变为有限个三角形 单元在角点铰接的组合体； 分析每一个三角形单元受力与变形的关系， 列方程； 将各单元再进行组装，将全部关系式综合为 代数方程组。
现代有限元法的条件：计算机应用
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（3）有限元法应用的范围
弹性力学平面问题 → 空间问题和板壳问题（对拱坝、涡轮叶片、
飞机、船体等复杂结构进行应力、变形分析）
平衡问题 → 稳定问题与动力问题（对结构在地震力与波浪力作
用下的动力反应进行分析） 弹性问题 → 弹塑性与粘弹性问题，疲劳与脆性断裂问题 固体力学 → 流体力学、热传导与热应力问题（如焊接残余应力、 原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分 析），以及建筑声学与噪音问题。 工程力学 → 力学的其它领域（如冰川与地质力学、血管与眼球 力学等）
F2 f12 f 22
3
矩阵形 F1 式
结点3： F 即：
f 23 k2 (u3 u2 )
k1 k F 2 1 F3 0
（12）
k1 k1 k 2 k2
0 u1 u (11） k2 2 k2 u3

古代：圆周率的近似算法 近代：力学中的刚架位移法
要点：
刚架
拆
杆件
组合
刚架

将复杂刚架的计算问题转化为简单杆件的 分析与综合问题

现代有限元法： 上述思路
推广应用
弹性力学平面问题
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弹性力学：
外力 作用 物体 变形 产生 应力
外力去除 全部或部分恢复
分析过程：
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一、绪论
问题的提出
均态连续变化的、复杂几何形状等问题难以用传统解析法、实验法解决
有限元法——数值解法
研究对象 离散 多个单元体 分析 代数方程组 求解
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（1）有限元法特点
整体
离散
单元
综合
整体
多至成千上万
（2）有限元法应用的发展
（9）
f
单元刚度：
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e
K
e
式中： K
e
（10）
EA K l

e
k k
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•多单元杆件：
根据式（9）有： 单元1有：
f11 k1 k1 u1 f k 12 1 k1 u2
位移在此处易弹性变形：
uБайду номын сангаас a1 a2 x
u f ( x)
（1）
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在结点1、2上，式（1）应分别有结点位移
u1 a1 a2 0
u2 a1 a2l
式中：l —— 单元长度 由式（2）解得：
（2）
a1 u1
a2 u 2 u1 l
（5）
（3）单元应力与结点位移的关系
E x E x (u2 u1 ) l
杆单元的轴向力为：
（6）
E——弹性模量
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EA F xA (u2 u1 ) l
（7）
A——横截面积
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（4）单元结点力与结点位移的关系——单元刚度矩阵
在式（7）中，F表示杆件的轴力（内力），规定其正负号为：拉力为正，压力为负。
（3）
（3）代入（1）得单元位移插值函数：
u2 u1 u u1 x l
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（4）
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（2）单元应变与结点位移的关系
应变——单元长度的伸长 将（4）式对x求导得应变:
du u 2 u1 x dx l
应力：产生单位应变所需的力。 根据虎克定律：
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（4）近来研究较多的问题
新型单元的研究 有限元法的数学基础：变分法（把有限元法归结为求泛函的极值问题）、加
权余数法（直接从基本微分方程出发） 向新领域的扩展：专门化问题 通用程序编制，设计自动化的研究
（5）本课主要讲授内容
有限元位移法——取结点位移作为基本未知量 一维（杆件）有限元数学模型 二维（平面）有限元数学模型 刚度矩阵及线性方程组解法 有限元建模：单元网格划分、边界条件、载荷的简化 有限元计算程序