7.5 里程碑上的数

第七章 二元一次方程

7.5 里程碑上的数

课程学习要求

(一)知识目标

1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题.

2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

(二)能力目标

1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世

界的有效数学模型.

2.初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤.

(三)情感与价值观

1.“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关.相对而言有一定难度，

让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气.

2.鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.

重点难点剖析

1. 用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题.

【剖析】路程=速度×时间

2. 体会列方程组解决实际问题的步骤

【剖析】列二元一次方程组解应用题的主要步骤：

(1)弄清题意和题目中的等量关系.用字母表示题目中的两个未知数.

(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系.

(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组.

(4)解这个方程组并求出未知数的值. (5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?

(6)写出符合题意的解释.

典型例题展示

重难点题讲解

1.根据条件列方程组

【例1】根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组：

(1)小明、小芳两人的年龄之和为27岁，且小明比小芳大1岁；

(2)现有面额为100元和20元的人民币共40张，共计2000元；

【解】(1)设小明的年龄为x 岁，小芳的年龄为y 岁,则⎩⎨⎧=-=+1

27y x y x ; (2) 设面额为100元和20元的人民币的张数分别为x 张, y 张, 则⎩

⎨⎧=+=+20002010040y x y x 【点拨】注意设出两个未知数，找出两个等量关系，从而得到方程组已达到解决问题的目的.

2.利用方程组解决问题

【例3】据统计，连云港港口2002年、2003年的内外贸吞吐总量分别为3300万吨和3760

万吨，其中2003年外贸和内贸吞吐量分别较2002年增长10%和20%．

（1）试确定2002年的外贸和内贸吞吐量；

（2）2004年港口内外贸吞吐量的目标是：总量不低于4200万吨，其中外贸吞吐量所占

比重不低于60%．预计2004年的内贸吞吐量较2003年增长10%，则为完成上述目标，2004年的外贸吞吐量较2003年至少应增加多少万吨？

【解】解：（1）设2002年内贸、外贸吞吐量分别为x 和y 万吨，

则⎩

⎨⎧=+++=+3760%)101(%)201(3300y x y x 解得1300,2000==y x ， 答：2002年内贸、外贸吞吐量分别为1300万吨和2000万吨．

【点拨】在列出相应的方程或方程组并正确的解出方程组的解后，一定要注意计算结果是否符合实际情况.

易错题型讲解

【易错点1】打折销售

【例1】某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A 、B 两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；购买6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？

【正解】：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意有

58463108x y x y +=⎧⎨+=⎩解之，得164x y =⎧⎨=⎩

打折前购买50件A 商品和50件B 商品共需16504501000⨯+⨯=元．

∴打折后少花(1000960)40-=元．

答：打折后少花40元．

【错因分析】

【易错点2】面对多个数据和复杂的关系无从下手

【例2】（2009襄樊市）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方

财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的

改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为

每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

【正解】：（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万

元．依题意得：22302205a b a b +=⎧⎨+=⎩

解之得6085

a b =⎧⎨=⎩ 答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．

（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则

60851575m n +=

173151212

m n =-+

∵A 类学校不超过5所 ∴1731551215

n -

+≤ ∴15n ≥

即：B 类学校至少有15所． （3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：

()()507064*********

x x x x +-⎧⎪⎨+-⎪⎩≤≥ 解之得14x ≤≤

∵x 取整数

∴1234x =，

，， 即：共有4种方案．

【错因分析】数据较多不能找出题目中的等量关系而列出方程.

中考真题讲解

【例1】某中学新建一栋4层的教学楼，每层有8间教室，进出这栋楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启一道正门和侧门时，4分钟可通过800名学生.

(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门名可以通过多少名学生？

(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下，全楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.

【解】(1)设平均每分钟一道正门通过x 名学生，一道侧门通过y 名学生，则

()()225604800

x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴12080x y =⎧⎨=⎩

(2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)

拥挤时5分钟4道门能通过，5×2×(120+80)×(1-20%)=1600(名)

∵1600＞1440

∴建造的4道门符合规定.

【点拨】看建造的这4道门是否符合安全规定，关键要看在规定的时间内所有的学生是否都能安全撤离.

【例2】某教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？

【解】设用x 米布料生产上衣，y 米布料生产裤子才能配套，则

60023

x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得 360240x y =⎧⎨=⎩