高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》经典测试题含答案

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考复习知识点
一、选择题
1．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）
A．3
5
B．
1
3
C．
4
15
D．
1
5
【答案】C
【解析】
【分析】
题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.
【详解】
题目包含两种情况：
第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，
2
3
14
6
1
5
C
p
C
==；
第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，
4
4
24
6
1
15
C
p
C
==；
故
12
4
15
p p p
=+=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.
2．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.
B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.
C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．
【详解】
由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．
故选D．
【点睛】
本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
3．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.
【详解】
由得，故或，由，故或，故使的概率为.
【点睛】
本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.
4．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．10 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.
【详解】
设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
5．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（）
A．
3
14
B．
2
7
C．
9
28
D．
19
28
【答案】A
【解析】
【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.
【详解】
根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；
离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故
63
2814 p==.
故选：A.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()
A．3
5
B．
9
25
C ．
1625
D ．
25
【答案】B 【解析】
PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为
25π-16π9
25π25
=,故选B.
7．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】
三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23
3()27C =种不
同
结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221
33218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计
算公式可得所求概率为182273
=. 故选：D 【点睛】
不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.
8．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．2，5
B ．5，5
C ．5，8
D ．8，8
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得5x =，1
16.8(915101824)85
y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图
9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概率为（ ） A ．
18
B ．
17
C ．
16
D ．
15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】
若方程20x
nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.
如图，40
0101
n m m n -≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，
即111124118
S P S ⨯⨯==
=⨯阴影正方形
. 故选：A . 【点睛】
本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.
11．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ） A ．
1
2
B ．
310
C ．
14
D ．
15
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率． 【详解】
由题可得基本事件总数33
6320n C C == ，
第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数213
2434m C C C ==
所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205
m P n =
==
故选D. 【点睛】
本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．
12．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
52
C ．
94
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不
等式即可得到11
p q
+的最小值.
【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +=，（0p >，0q >） 所以
11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
13．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.
命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假
C ．p 假q 真
D ．p 假q 假
【答案】C 【解析】 【分析】
首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()2
2
D E E ξξ
ξ=-，利用公式
1a b c ++=，计算D D ξη-的值.
【详解】
12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++
12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，
()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，
E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，
()249E a b c ξ=++，()()2
223E a b c ξ=++，
所以()()2
4923D a b c a b c ξ=++-++
()294E a b c η=++，()()2
232E a b c η=++，
()()()()2
229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，
()()()()()22
83223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++
()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，
所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】
本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是
()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.
14．若实数2a =，则101922810
1010222a C a C a -+-+L 等于( )
A ．32
B ．－32
C ．1 024
D ．512
【答案】A
【解析】 由题意可得：
()
()
1019222
10
101010
10
22222
2232.
a C a C a a -+-+=-=--=L
本题选择A 选项.
15．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有 A ．6种 B ．9种
C ．12种
D ．18种
【答案】C 【解析】
由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:
当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C
16．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）
A ．残差平方和变小
B ．相关系数r 变小
C ．相关指数2R 变小
D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱
【答案】A 【解析】 【分析】
由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2
R
及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】
∵从散点图可分析得出：
只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】
该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.
17．随机变量X 的分布列如表所示，若1
()3
E X =
，则(32)D X -=（ ） X
1- 0
1
P
16
a
b
A ．
59
B ．
53
C ．5
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】 由1()3E X =
，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13
a =，1
2b =，由此能求出
()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．
【详解】 1
()3
E X =
Q ∴由随机变量X 的分布列得：
116116
3a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得13
12a b ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩， 2221111115
()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，
5
(32)9()959
D X D X ∴-==⨯=
故选：C ． 【点睛】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx y
e -=，其一组数据如下表所示：
若5x =，则预测y 的值可能为（ ） A ．5e B ．
11
2e
C ．7e
D ．15
2e
【答案】D 【解析】 【分析】
将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果. 【详解】
由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =
-.
1234
2.54x +++=
=，1346 3.54
z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5
x y e -=，
当5x =时，$15
1.650.5
2
y e e ⨯-==，
故选D. 【点睛】
该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.
19．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ） A ．252 B ．288
C ．360
D ．216
【答案】A 【解析】 【分析】
3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教
师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121
342
C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】
解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，
故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有1
3C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，
然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有1
2C ，
故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342
C C C ••种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去， 故有三种方法选择教师，
第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有1
3C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有2
3C 种，
第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有3
3C 种；
故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.
【点睛】
本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.
20．已知()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
()
20121n
n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则
()0121n
n a a a a -+-+-L 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】
Q ()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
∴23
n n C C =，∴5n =，
令0x =，则05
1a =，
令1x =，则()015
5212422431a a a a λ+=++=+=++L ，
∴2λ=，
令1x =-，则()0525
1112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.。