管理运筹学 第3版 韩伯棠 高教社 课后答案

第四章 线性规划在工商管理中的应用 作业：P57-58，Q2,Q3 Q2：某快餐店座落在一个旅游景点中。该景点远离市区，平时顾客不多，而在每个周六顾客猛增。该店主要为顾客 提供低价位的快餐服务。该店雇佣 2 名正式工，每天工作 8 小时。其余工作由临时工担任，临时工每天工作 4 小时。 周六营业时间 11:00a.m-22:00p.m。根据就餐情况，在周六每个营业小时所需的职工数如表（包括正式工和临时工） 。 已知一名正式工从 11 点上班，工作 4 小时后休息 1 小时，而后在工作 4 小时。另外一名正式工 13 点上班，工作 4 小时后，休息 1 小时，在工作 4 小时。又知临时工每小时工资 4 元。 时间 11：00－12：00 12：00－13：00 13：00－14：00 14：00－15：00 15：00－16：00 16：00－17：00 所需职工数 9 9 9 3 3 3 时间 17：00－18：00 18：00－19：00 19：00－20：00 20：00－21：00 21：00－22：00 所需职工数 6 12 12 7 7
（1） 、满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得临时工成本最小。 （2） 、这时付给临时工的工资总额是多少，一共需要安排多少临时工班次。请用剩余变量来说明应该安排一些临时
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工的 3 小时工作时间的班次，可使得总成本更小。 （3） 、如果临时工每班工作时间可以是 3 小时，也可以是 4 小时，那么如何安排临时工的班次，使得临时工总成本 最小。这样比（1）节省多少费用，这时要安排多少临时工班次。 解题如下： (1)临时工的工作时间为 4 小时，正式工的工作时间也是 4 小时，则第五个小时需要新招人员，临时工只要招用，无 论工作多长时间，都按照 4 小时给予工资。每位临时工招用以后，就需要支付 16 元工资。从上午 11 时到晚上 10 时共计 11 个班次，则设 Xi(i =1,2,…,11)个班次招用的临时工数量，如下为最小成本： minf＝16（X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11) 两位正式工一个在 11－15 点上班，在 15－16 点休息，然后在 16－20 点上班。另外一个在 13－17 点上班，在 17 －18 点休息，18－22 点上班。则各项约束条件如下： X1+1>=9 X1+X2+1>=9 X1+X2+X3+2>=9 X1+X2+X3+X4+2>=3 X2+X3+X4+X5+1>=3 X3+X4+X5+X6+2>=3 X4+X5+X6+X7+2>=6 X5+X6+X7+X8+1>=12 X6+X7+X8+X9+2>=12 X7+X8+X9+X10+1>=7 X8+X9+X10+X11+1>=7 Xi>=0(i＝1,2,…,11) 运用计算机解题，结果输出如下; **********************最优解如下************************* 目标函数最优值为 : 320 变量 最优解 -------------x1 8 x2 0 x3 1 x4 0 x5 1 x6 4 x7 0 x8 6 x9 0 x10 0 x11 0 目标函数最优值为 : 320 这时候临时工的安排为： 变量 班次 临时工班次 -------------x1 8 x2 0 x3 1 x4 0
-X1+2X2=8 X1+2X2=12 2X1-5X2=0
(6.667,2.667)
Q3：将线性规划问题转化为标准形式 （2） min f＝4X1+6X2 约束条件：3X1-2X2>=6 X1+2X2>=10 7X1-6X2=4 X1,X2>=0 解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边 min 改为 max，等式右边各项均改变正负号。2） 决策变量非负化：若 Xi≤0，令 Xi=－Xia， （Xia≥0） ；若 Xi 无约束，令 Xi=Xia－Xib， （Xia≥0，Xib≥0） ；将上述 替换变量代入目标函数和约束条件。3）约束条件不等式化为等式：不等号为≤的，不等式左边加松弛变量；不等 号为≥的，不等式左边减剩余变量。4）常数项为非负。 本题标准化如下：
4X1+6X2=-12 2X2=4
8X1+6X2=24
（4） Max Z＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图 4： Max Z 无可行解。 图4
X1+X2=1
2X1+2X2=4
(5) Max Z＝3X1+9X2 约束条件： X1+3X2<=22 -X1+X2<=4 X2<=6 2X1-5X2<=0 X1,X2>=0 解题如下：如图 5： Max Z =66；X1=4 X2=6 本题有唯一最优解。 图5
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第二章 线性规划的图解法 P23：Q2： （1）－（6） ；Q3：(2) Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。 （1） Min f＝6X1+4X2 约束条件：2X1+X2>=1, 3X1+4X2>=3 X1, X2>=0 解题如下：如图 1 Min f＝3.6 X1=0.2, X2=0.6 本题具有唯一最优解。 图1
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常数项数范围 : 约束 下限 当前值 上限 ---------------------------1 无下限 2 7 2 -1 4 无上限 3 0 3 无上限 回答下列问题： （1） 请指出其最优解及其最优目标值。 （2） 那些约束条件起到了约束作用，它们的对偶价格各为多少，请给予说明。 （3） 如果请你选择一个约束条件，将它的常数项增加一个单位，你将选择哪一个约束条件，这时候最优目标函 数值是多少？ （4） 请问在目标函数中 X3 的系数在什么范围内变化时， 其最优解不变， 这时其最优目标函数值是否会发生变化， 为什么？ （5） 请问在目标函数中 X1 的系数在什么范围内变化时， 其最优解不变， 这时其最优目标函数值是否会发生变化， 为什么？ 解题如下： 答： （1）其最优解是 X1=8.5;X2=1.5;X3=0;X4=0；最优目标值是 MaxZ=18.5 （2）约束条件 2、3 起到了约束的作用，它们的对偶价格分别为 2 和 3.5。 （3）因为求目标函数值 MaxZ，因选择约束条件 3 的对偶价格为 3.5，当该约束条件改善一个单位时，目标函数 最大值改善 3.5。这时目标函数最大值为 18.5+3.5＝22。 （4）计算机输出结果可知，当 X3 的系数在（－，5.5）范围内变化时，其最优解不变。 且这时其最优目标函数值不会发生变化。因为输出结果中 X3=0。 （5）计算机输出结果可知，当 X1 的系数在（0.2，）范围内变化时，其最优解不变。 因 X1=8.5 为最优解，因此目标函数值会随着 X1 的变化而改变。 Q5、考虑下面线性规划问题： MinZ＝16X1+16X2+17X3; 约束条件：X1+X2<=30 0.5X1-X2+6X3>=15 3X1+4X2-X3>=20 X1,X2,X3>=0 计算机输出结果如下： **********************最优解如下************************* 目标函数最优值为 : 148.916 变量 最优解 相差值 --------------------x1 7.297 0 x2 0 .703 x3 1.892 0 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 -------------------------1 22.703 0 2 0 -3.622 3 0 -4.73 目标函数系数范围 : 变量 下限 当前值 ---------------------------x1 1.417 16
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令：z＝-f，则： Max z＝min (-f)= -4X1-6X2+0X3+0X4 所以： Max z＝-4X1-6X2+0X3+0X4 约束条件：3X1-2X2-X3+0X4＝6 X1+2X2+0X3-X4=10 7X1-6X2+0X3+0X4=4 X1,X2,X3,X4>=0
第三章 线性规划问题的计算机求解 P37: Q4; P38:Q5 Q4：考虑下面的线性规划问题： Max Z＝2X1+X2-X3+X4 约束条件：X1-X2+2X3+X4>=2 X1-3X2+X3-X3-X4<=4 2X2+X3+2X4<=3 X1,X2,X3,X4>=0 计算机结果输出如下： **********************最优解如下************************* 目标函数最优值为 : 18.5 变量 最优解 相差值 --------------------x1 8.5 0 x2 1.5 0 x3 0 4.5 x4 0 4 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 -------------------------1 5 0 2 0 2 3 0 3.5 目标函数系数范围 : 变量 下限 当前值 上限 ---------------------------x1 .2 2 无上限 x2 -3 1 无上限 x3 无下限 1 5.5 x4 无下限 1 5
2X1+X2=1 （0.2， 0.6）
3X1+4X2=3
（2） Max z＝4X1+8X2 约束条件：2X1+2X2<=10 -X1+X2>=8 X1,X2>=0 解题如下：如图 2： Max Z 无可行解。 图2
-X1+X2=8
2X1+2X2=10
（3）
Max z＝X1+X2
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约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图 3： Max Z=有无界解。 图3
5Leabharlann 上限 16.565x2 15.297 16 无上限 x3 14.4 17 192 常数项数范围 : 约束 下限 当前值 上限 ---------------------------1 7.297 30 无上限 2 3.333 15 435 3 -2.5 20 90 回答如下问题： （1） 第二个约束方程的对偶价格是一个负数（-3.622） ，它的含义是什么？ （2） X2 的相差值为 0.703，它的含义是什么。 （3） 当目标函数中 X1 的系数从 16 降为 15，而 X2 的系数从 16 升为 18 时，最优解是否会发生变化？会发生变 化。 （4） 当第一个约束条件的常数项从 30 变为 15，而第二个常数项从 15 变为 80 时，你能断定其对偶价格是否会发 生变化，为什么？会。384.32 解题如下： 答： （1）第二个约束方程的对偶价格是一个负数（-3.622） ，其含义是如果把约束条件 2 的下限 15 增加 1，那么最优 目标函数值将增加 3.622。即 148.916+3.622＝152.538 （2）决策变量最优解非零，则相差值为 0；决策变量最优解为零，则存在正数相差值。相差值表示为使得相应 的决策变量参加最优生产组合（最优解取正） ，其价值系数至少需要增加的量（max 型目标函数）或其价值系数至 少需要减少的量（min 型目标函数） 。X2 的相差值为 0.703，它的含义是 X2 的系统需要减少 0.703，即 16－0.703＝ 15.297，此时的目标函数值为 148.919. (3) 当目标函数中 X1 的系数从 16 降为 15，而 X2 的系数从 16 升为 18 时，最优解不会发生变化，但是目标函 数最优值会发生变化。因为 X1 在（1.417, 16.565）和 X2 在(15.297, )范围内变化时，最优解不会发生变化。只是 会影响目标函数最优值变化。 （4）当第一个约束条件的常数项从 30 变为 15，而第二个常数项从 15 变为 80 时，对偶价格不会发生变化。对偶 价格是某种资源在最佳生产组合的基础上，每增加一个单位产生的最优目标值的改进量。常数项的变化只对目标函 数最优解产生影响，对偶价格不会产生变化。
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-X1+X2=4 (4,6) X2=6 2X1-5X2=0
X1+3X2=22
(6) Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8 X1+2X2<=12 2X1+X2<=16 2X1-5X2<=0 X1,X2>=0 解题如下： 如图 6 Max Z =30.669 X1=6.667 X2=2.667 本题有唯一最优解。 图6 2X1+X2=16