马科维茨投资组合理论

马科维茨投资组合理论

马科维茨(Harry M.Markowitz,）1990年因其在1952年提出的投资组合选择（Portfolio Selection)理论获得诺贝尔经济学奖。

主要贡献：发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法 Mean-Variance methodology.

主要思想：Markowitz 把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险（因此Markowitz 理论又称为均值－方差分析）；把投资组合中各种证券之间的比例作为变量，那么求收益一定的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行投资决策。

基本假设：

H1. 所有投资都是完全可分的。每一个人可以根据自己的意愿（和支出能力）选择尽可能多的或尽可能少的投资。

H2. 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差（标准差）这两个测度指标的基础上选择投资组合。

p E =对一个投资组合的预期收益率

p σ=对一个投资组合的收益的标准差（不确定性）

H3. 投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。

H4. 一个投资者如何在不同的投资组合中选择遵循以下规则：

一,如果两个投资组合有相同的收益的标准差和不同的预期收益，高的预期收益的投资组合会更为可取； 二,如果两个投资组合有相同的收益的预期收益和不同的标准差，小的标准差的组合更为可取；

三,如果一个组合比另外一个有更小的收益标准差和更高的预期收益，它更为可取。

基本概念

1．单一证券的收益和风险：

对于单一证券而言，特定期限内的投资收益等于收到的红利加上相应的价格变化，因此特定期限内的投资收益为：

1

1P P P t t t r --==价格变化＋现金流(如果有）持有期开始时的价格

－＋CF 假定投资者在期初时已经假定或预测了该投资期限内的投资收益的概率分布；将投资收益看成是随机变量。 任何资产的预期收益率都是加权平均的收益率，用各个收益发生的概率p 进行加权。预期收益率等于各个收益率和对应的概率的乘积之和。

11221

()...n

i i n n i E r p r p r p r p r ===+++∑

i p 为第i 个收益率的概率；12,,...,n r r r 为可能的收益率。

资产的风险用资产收益率的方差（variance ）和标准差（standard deviation ）来度量。

风险来源：市场风险（market risk ）,利息率风险（interest-rate risk ）,购买力风险（purchasing-power risk ）,管理风险（management risk ）,信用风险（credit risk ）,流动性风险（liquidity risk ）,保证金风险（margin risk ）,可赎回风险（callability risk ）,可转换风险（convertibility risk ）,国内政治风险（domestic political risk ）,行业风险（industry risk ）。

2．投资组合：

通常说投资组合由证券构成，一种证券是一个影响未来的决策，这类决策的整体构成一个投资组合。

3．投资组合的收益和风险：

(1)投资组合的收益率

构成组合的证券收益率的加权平均数。以投资比例作为权数。

假定投资者k 第t 期投资于n 种证券的权重向量为，12(,,...,)T t n ωωωω=，i ω是组合中第i 种证券的当前价值在其中所占的比例（即投资在第i 中资产上的财富的份额，且

12...1n ωωω+++=

(2)马科维茨组合收益率集

设12,,...,n r r r 为n 个方差有限的随机变量，它们称为n 种证券的收益率。下列集合R 1中的元素称为这n 种证券的组合的收益率：

111221...|,1,2,...,;1n n n i i i R r r r r r i n ωωωω=⎧⎫==+++∈==⎨⎬⎩⎭

∑¡

(3)资产组合的风险度量

资产组合的方差包括每个资产的方差和资产间的协方差。证券收益率之间的关系可以用相关系数、决定系数、或协方差来表示。风险用过收益率的方差或标准差来刻画，如果[,]ij i j V Cov r r =是i r 和j r

之间的协方差： 11212122121112121

22

112()

(,)...(,)(,)

()...(,)...

.........(,)(,)...()...

............

......n n n n n n n n n nn

Var r Cov r r Cov r r Cov r r Var r Cov r r V Cov r r Cov r r Var r σσσσσσσσσ==

那么投资组合的标准差应该满足下列公式：

2211,1,,1[([])]

[([])([])]

n n p i i i i i i n i j i i j j i j n i j i j

i j E r E r E r E r r E r V σωωωωωω=====-=

--=∑∑∑∑

马科维茨考虑的问题是如何确定i ω，使得证券组合在期望收益率一定时，风险最小.

我们使用下列矩阵表示：

1212,1,2,...,,1,2,...,(,,...,), (1,1,...,1),

(,,...,), (), 1,2,...,,()([,])T T n T n i i ij i j n i j i j n

e E r i n V V Cov r r ωωωωμμμμμ=========

称ω为组合，T ωμωμ=为组合的收益，1/2()T V ωσωω=为组合的风险，这样均值－方差证券组合选择问题为：

21121122min . ...1 ...n T ij i j

i T n T n n w Vw V s t w e w ωωσωωωωωμμωμωμωμμ=⎧==⎪⎪⎪=+++=⎨⎪==+++=⎪⎪⎩

∑ 这一问题的解ω称为对应收益μ的极小风险组合。