偏导数的应用 (2)-8页文档资料

一、偏导数的几何应用

1.空间曲线的切线和法平面

设空间曲线L 的参数方程为

()()()x x t y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为

000

x x y y z z x y z

---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.

上式分母同除以t ∆得

000

x x y y z z x y z t t t

---==

∆∆∆∆∆∆

当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程

000

'''000()()()

x x y y z z x t y t z t ---== 向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.

通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为

'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=

【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为

100

011

x y z ---==

在点(1,0,0)处的法平面方程为

0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=

即

0y z +=

【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

处的切线和法平面方程.

解 把x 看作参数,此时曲线方程为

sin 2

x x y x x z ⎧=⎪⎪

=⎨⎪⎪=⎩ '

'

'

1

1,cos 1,2

x x x x x y x

z π

π

π

π

=======-=

在点,0,2

ππ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

处的切线方程为

21

11

2

z x y π

π---==-

法平面方程为

1()(0)()022

x y z π

π---+-=

即

4425x y z π-+=

2.曲面的切平面与法线

设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有

[(),(),()]0F x t y t z t =

此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为

0''''''

000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt

==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.

由于曲线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为

'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=

过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为

000

'''000000000(,)(,)(,)

x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==

若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令

(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=

于是

''''',,1x x y y z F f F f F ===-

这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为

''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=

法线方程为

000

''

0000(,)(,)1

x y x x y y z z f x y f x y ---==-

【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程. 解 设222(,,)326F x y z x y z =++-

''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4

x y z x

y

z

F x y z x F x y z y F x y z z F F F ======

故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为

2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-=

即 3260x y z ++-=

法线方程为

111

132

x y z ---==

【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线

方程.

解 由22z x y =+得 ''(1,1)

(1,1)

(1,1)22,(1,1)22x y f x

f y

---==-==-

切平面方程为

22(1)2(1)z x y -=--+

即 222x y z --=

法线方程为

112

221

x y z -+-==--

二、多元函数极值

1. 二元函数的极值

【例5】

曲面z =在点(0,0)有极小值0z =. 【例6】 曲面2244z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.

与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.

定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)x y 都有

00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)

则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.

2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验

定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点