第17章《勾股定理》复习与小结

=1+
3 3
思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？
解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三
角形，利用勾股定理解决问题.
思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？ 1. 画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造
直角三角形. 2. 将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中. 3. 利用勾股定理列出方程. 4. 解方程，求线段长，最后完成解题.
联 1.两个定理都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关; 系 2.都与直角三角形有关；
3.都是数形结合思想的体现.
课后演练
1.有四个三角形，分别满足下列条件： ①一个内角等于另两个内角之和； ②三个角之比为3：4：5；
③三边之比分别为7、24、25； ④三边之比分别为5：12：13 其中直角三角形有（ C ）
(判定直角三角形)
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勾股定理
题 设 结 论
在Rt△ABC 中,∠C=900
勾股定理的逆定理
在△ABC 中, 三边a,b,c 满足a2+b2=c2
a2+b2=c2
∠C=900
1.判断某三角形是否为 直角三角形 2.解决实际问题
作 1.用勾股定理进行计算 用 2.证明与平方有关的问题
3.解决实际问题
Z```xxk
【思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定
理建立方程？你建立的方程是 .
答案：直角三角形△AEF, ∵∠A=90°, AE=8-x，
∴
4 (8 x) x
2 2
2
.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
骤是什么？Zx```xk
答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应
的直角三角形.
2.在直角三角形中找出直角边，斜边.
3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
题型三
会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等.
已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，
BC=12 .求证： △ABC是等腰三角形.
【思考7】 请把你的解答过程写下来.
答案： 设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD，
∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°，
∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ， ∴ 42 (8 x) 2 x 2 ，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能 求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可. 答案：证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，
∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
解题.
答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2， ∴AC= 5 .∵CD=2，AD=3, ∴△ACD是直角三角形；∴四边 形的面积为1+ 5 .
复习归纳
实际问题
(直角三角形边长计算) 由形到数 勾股定理
互逆 定理
实际问题 由数到形 勾股定理的 逆定理
BC=10, 求BE的长.
【思考2】 在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？
请在图中标出来. 答案： DF=6 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
【思考3】 由DF的长，你还可以求出哪条线段长？ 请在图中标出来. 答案： AF=4 .
题型四
勾股定理的逆定理的应用
1．下列线段不能组成直角三角形的是（ D ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= 5 ，b= 3，c= 2 D．a：b：c=2：3：4 2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有
AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边
第17章 勾股定理
小结和复习
情景引入
同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我们学过的几何 图形，它是哪种图形？
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考题分类 题型一
勾股定理的直接应用
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（一）知两边或一边一角型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a，斜
边为b，则另一直角边c满足c2 =
.
答案： c 2 b 2 a 2 【思考】为什么不是 c 2 a 2 b 2 ？ 答案：因为∠B 所对的边是斜边.
担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能
砸到张大爷的房子吗？（ A ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对
2. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已 知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下
端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，
求滑杆顶端A下滑多少米？
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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2.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5 的面积之和为
49
.
第2题图
第3题图
3.折叠矩形ABCD的一边AD，折痕为AE，且使D落在BC 边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则点F的坐标是 （6，0） ，点E的坐标是 （0,3） 。
3.做高线，构造直角三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，
AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添 加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC .
3.做高线，构造直角三角形.
已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，
【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型
题目？注意事项是什么？
利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段
的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考
虑是否需分类讨论.
题型二
用勾股定理解决简单的实际问题
1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大
树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒
下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷
（三）分类讨论的题型 2. 对三角形高的分类.
已知：在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，高AD＝12 cm，求S△ABC．
图1
图2
答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，
得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14．
故S△ABC＝84（cm2）． 第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（ cm2 ）．
2．解决折叠的问题.
已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考4】 设BE = x，你可以用含有x的式子表示出
哪些线段长？请在图中标出来.
答案：EF = x，AE = 8-x，CF = 10 .
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
2．解决折叠的问题.
已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？ 请在图中标出来.
答案：AD=10，DC=8 .
2．解决折叠的问题.
已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
AB＝x ，AC=8-x，则AB= 3 ,AC= 5 .
2.在Rt△ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则 a= 16 , c= 30 . 3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,cb=8,求b,c. 答案：3. b=5，c=13.
（三）分类讨论的题型 1. 对三角形边的分类. 已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm， 求第三条边的长． 答案：5 cm或 7 cm. 注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边， 所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情 况讨论．
解：(1)(2)(3)如图(a)、图(b)、图(c)．
图 17－13
的是（ B ） Ａ．CD,EF,GH Ｂ．AB,EF,GH Ｃ．AB,CD,GH Ｄ．AB,CD,EF
C
E
B H
F A
G
D
已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，
AD=3， 且AB⊥BC.求四边形 ABCD的面积.
分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理
的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理
答案：解：设AE的长为x 米，依题意
得CE=AC - x ,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,
∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2. ∴在Rt△ECD中，CE=1.5.
A
E
∴2- x =1.5， x =0.5. 即AE=0.5 .
答：梯子下滑0.5米．
C
B D
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步
4. 图(a)、图(b)、图(c)是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸
中的每个小正方形的边长均为 1.请在图(a)、图(b)、图(c)中，分别画出 符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重 合．具体要求如下： (1)画一个底边长为 4，面积为 8 的等腰三角形； (2)画一个面积为 10 的等腰直角三角形； (3)画一个一边长为 2 2，面积为 6 的等腰三角形．
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（一）知两边或一边一角型
2.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4， 则c= （2）如果a=6，c=10， 则b= （3）如果c=13，b=12，则a= 5 8 5 ； ； ；
（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.
答案:（4）a= 3 ，c=2 3.
（二）知一边及另两边关系型 1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC＝4 ，
【思考6】 图中共有几个直角三角形？每一个直角 三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？
答案： 四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，
一个用来知二求一，最后一个建立方程.
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
AB=2.求（1）BC 的长；（2）S△ABC .
答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD中，∠ADB=90°， ∠B=45°，AB=2，∴AD=BD= 2 .∵在△ABD中，
∠ADC=90°，∠C=60°，AD= 2 ，
1 ∴CD = 6 .,∴BC= 1 6 ， . S△ABC 2 3 3