圆中定值问题

圆中定值问题

定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.

图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别

交x轴、y轴于A、B、C、D四点.

此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知

识联系，演变成一系列定值问题.

（以下各题如无特殊说明，圆心M的坐标（3，0），半径为5）

一.探究a b⋅型定值问题

例1.如图2，点P是上一动点，连接CP并延长交x轴于点Q，连接PD交x轴于点H，

当点P在上运动时，试探究MQ MH

⋅为定值，并求其值.

二. 探究a

b

型定值问题

例2.如图，点P是上一动点，过点C作⊙M的切线交x轴于点

Q，连接PO，当点P在上运动时，试探究PO

PQ

为定值，并

求其值.

三. 探究a b

±型定值问题

例3.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐

标轴于A、B、C、D四点，点P是上一动点，过点D作⊙M

的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在

上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.

变式练习.

如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D 四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.

四. 探究11

a b

+型定值问题

例4.如图，过C点作⊙M的切线交x轴于Q点，连接CA，过A点的直线EF

交CQ于E点，交y轴于F点，当直线EF绕点A旋转时，探究11

CE CF

+为定值，并求其值.

五. 探究型定值问题

例5.如图，点P 是

上一动点，连接PC 、PB 、PD ，当点P 在上运动时，探究PC PD PB +为定值，并求其值.

变式练习.

如图，点P 是

上一动点，连接PC 、PB 、PD ，若点P 在上运动时，探究PC PD PB

-为定值，并求其值. 六.探究直线过顶点

例6.如图，点P 是y 轴上一动点（点P 在C 点的上方），过点P 作⊙M 的切线PE 、PF ，切点为E 、F ，连接FE 并延长交x 轴于点R ，当点P 在y 轴上运动时，试探究点R 为顶点，并求其坐标.

七.探究线段长度不变

例7.如图，过C 点作⊙M 的直径CE ，点P 是上一动点，以PM 为直径作⊙N 交CE 于S 点，交x 轴于T 点，当点P 在上运动时，探究ST 为定值，并求其值.

八.探究三角形外接圆的半径不变

例8.如图，点P 是上一动点，过点P 作⊙M 的直径PF ，延长DP 、

FC 交于点E ，当点P 在上运动时，试探究△PEF 的外接圆的半径不

变.

课后练习

如图，直线2y x =-+分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，以y 轴上

一点M 为圆心作⊙M 切AB 于点B ，⊙M 交x 轴于点C ，交y 轴于

D 、

E 两点.

（1）求圆心M 的坐标；

（2）作直径BR ，F 是弦BC 上任意一点，过点F 作F G ⊥FG 交直线AB 于点G ，GH ⊥x 轴于H ，点F 在运动过程中，线段FH 的长是否变化若不变，求其值；若变化，说明理由；

（3）如图，过点O 、C 、E 三点作⊙N ，P 是⊙M 上的弧BE 上的一个动点，

连接CP 交⊙N 于点Q ，连接PB.当点P 在弧BE 上运动时，给出两个结论：

①PQ PB CQ -为定值；②PQ PB CQ

+为定值.其中有且只有一个是正确的，请证明正确的结论并求出其值.