南大复变函数与积分变换课件(PPT版)3.2 柯西积分定理
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§3.2 柯西积分定理 第 三 章 复 变 函 数 的 积 分
§3.2 柯西积分定理
一、柯西基本定理 二、闭路变形原理 三、复合闭路定理 四、路径无关性 五、原函数
1
§3.2 柯西积分定理 第 一、柯西基本定理 三 章 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
P60 定理 3.2
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 复 G 变 则有 Γ f ( z ) d z 0 . 函 数 z dz (u d x v d y ) (v d x u d y ) 的 证明 Γ f ( z ) d z Γ ( u d x v d y ) i Γ ( v d x u d y ) Γ Γ Γ 积 v u u v v u u v Green公式 分 ( ) dxdy i ( ) dxdy ) dx d y ( ) dx dy
G (z) H (z) c ,
f (z),
0,
其中，c 为任意常数。
c
定义 函数
补
f (z)
的原函数 F ( z )
称为 f ( z ) 的不定积分，
记作
f (z) d z F (z) c .
12
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 D 章 2. 由变上限积分构成的原函数 z 定理 若 f ( z ) 在单连域 D 内处处解析， 复 z P63 z0 变 定理 令 F ( z ) f ( ) d , z , z0 D , z 函 3.5 数 则 F ( z ) 在 D 内解析，且 F ( z ) f ( z ) . 的 F F (z Δz) F (z) 积 1 zΔ z f ( ) d , z 分 证明 (1) z z z
上解析，
dz
因此有
I
Γ C
( z z0 ) dz ( z z0 )
n
n
2πi , 0,
当 当
n1 n1
时， 时。
6
§3.2 柯西积分定理 第 三、复合闭路定理 三 将柯西积分定理推广到多连域 章 复 变 函 数 的 积 分 定理 设多连域 D的边界为 C
P62 推论
z
3
1 i 0
1 3
(1 i ) .
3
复 b 变 函 例 求 a cos z d z . 数 b 的 解 cos z d z sin a 积 分 i 例 求 z cos z d z .
0
3
b
z
a
sin b sin a .
解
0 z cos
i
z dz
0 z d sin
2z 1
C
2 3
0, 1.
8
§3.2 柯西积分定理
C 第 例 计算 I d z , 其中 C 为： 2 C z z C1 C 三 C2 2 2 章 0 1 2 3 1 x y 1. (1) | z 3 | ; (2) 2 2 1 2 复 变 函 解 令 f ( z ) 2 z 1 , 则 f ( z ) 1 1 , 奇点为 z 0 , 1 . 2 z z1 数 z z 的 2 2 1 1 x y 积 | , | , C2： z 1 | 1 时，令 C1： z | (2) 当 C 为 2 分 3 3 1 2
C0 C1 C2 Cn
(如图)，
函数
f ( z ) 在 D内解析，
在 C 上连续，则
Cn C0
C1
C2
D
…
C
或 C 证明 (略)
0
f (z)d z 0
C3
f (z)d z
C
f (z)d z
1
C
2
f (z)d z
f (z)d z .
Cn
7
§3.2 柯西积分定理
2z 1
则
I
C
1
1
dz
z
C
1
1
z1
dz
C
1
2
dz
Байду номын сангаас
z
C
1
2
z1
dz
2πi 0 0 2πi 4πi .
9
§3.2 柯西积分定理 第 四、路径无关性 三 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析， 章 P60 C1, C2 为 D内的任意两条从 z 0 到 z 1 复 定理 3.3 的简单曲线，则有 变 函 C f ( z ) d z C f ( z ) d z . 数 的 积 证明 由 f ( z ) d z f ( z ) d z 0 , C C 分
i
z z sin z
i 0
i 0
0 sin
i
zdz
( z sin z cos z )
i sin i cos i 1 .
16
§3.2 柯西积分定理 第 三 章 解 i ln( 1 i 复 变 函 数 的 积 分
P65 例3.9
z ) d z z ln( 1 z )
0
直线段
z z
(思路)
(跳过?)
f (z)
z z
1
zΔ z
f ( z ) d ,
F z
f (z)
| z | z
1
zΔ z
| f ( ) f ( z ) | d s ,
13
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 D 章 2. 由变上限积分构成的原函数 z 定理 若 f ( z ) 在单连域 D 内处处解析， 复 z z0 变 令 F ( z ) f ( ) d , z , z0 D , z 函 数 则 F ( z ) 在 D 内解析，且 F ( z ) f ( z ) . 的 zΔ z F 1 积 | f ( ) f ( z ) | ds , 分 证明 (2) z f ( z ) | z | z
(?)
G G
x x
y y
G G
x x
y y
C R方程
0. 0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。 2
§3.2 柯西积分定理 第 一、柯西基本定理 三 章 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 复 变 则有 Γ f ( z ) d z 0 . 函 数 的 注 (1) 定理中的曲线 G 可以不是简单闭曲线。 积 (2) 定理中的条件还可以进一步减弱。 分
C 第 例 计算 I d z , 其中 C 为： 2 三 P62 例3.7 修改 C z z 2 2 章 0 1 1 x y 1. (1) | z 3 | ; (2) 2 2 1 2 复 变 函 解 令 f ( z ) 2 z 1 , 则 f ( z ) 1 1 , 奇点为 z 2 z z1 数 z z 的 1 2z 1 积 dz 0 . (1) 当 C 为 | z 3 | 时， I C 2 分 2 z z
问 是否可以直接计算？
即
I
C sin
zdz
0 sin
2
z d z cos z
2 0
1 cos 2 .
11
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 章 1. 基本概念及性质 定义 设在单连域 D 内，函数 F ( z ) 恒满足条件 F ( z ) 复 P64 变 定义 则 F ( z ) 称为 f ( z ) 在 D 内的一个原函数。 函 3.2 数 性质 函数 f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数。 的 积 证明 设 G ( z ) 和 H ( z ) 是 f ( z ) 的两个原函数，则 分 [ G ( z ) H ( z ) ] G ( z ) H ( z ) f ( z ) f ( z )
1 2 1 2
C
1
f (z)d z
C
2
f (z)d z
C
f (z)d z .
2
可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，
10
§3.2 柯西积分定理 第 例 计算 I C sin z d z , 其中 C 为如图所示的一个半圆。 三 P61 例3.6 y 章 解 设 G 如图所示，由于 sin z 在复平面上 i C 复 处处解析，因此有 变 2 x G 函 I sin z d z sin z d z Γ C 数 2 2 的 sin x d x cos x 1 cos 2 . 积 0 0 分
1
C
f (z)d z .
2
4
§3.2 柯西积分定理 第 二、闭路变形原理 D 三 闭路变形原理 P62 章 如图，设 f ( z ) 在 D 内解析， 复 变 在边界 C C 1 C 2 上连续， 函 G 为 D 内的一条“闭曲线”， 数 的 则 C f ( z ) d z C f ( z ) d z Γ f ( z ) d z . 积 分
i i i i
i i
i
i
z 1 z
dz
z ln( 1 z )
z11 1 z
i
dz
[ z ln( 1 z ) z ln( 1 z )]
i
( 2 ln 2 ) i
π 2
i.
17
§3.2 柯西积分定理 第 三 章 复 变 函 数 的 积 分
休息一下 ……
18
定理 设单连域 D的边界为C，函数 f (z)
P60 [注]
G
C D
在 D内解析，在 则有 C
D DC
上连续，
f (z)d z 0 .
3
§3.2 柯西积分定理 第 二、闭路变形原理 三 将柯西积分定理推广到二连域 D 章 C1 定理 设二连域 D的边界为 C C 1 C 2 (如图)， 复 变 P61 函数 f ( z ) 在 D内解析，在 C 上连续，则 b C2 定理 函 3.4 a 数 C f ( z ) d z 0 或 C f ( z ) d z C f ( z ) d z . 的 积 证明 如图，作线段 ab，则二连域 D 变为单连域，从而有 分
1 2
C
由
f (z)d z
1
b a
a b
f (z)d z
C
f (z)d z
2
a b
f (z)d z 0 ,
f (z)d z
ba
f (z)d z 0 ,
C
f (z)d z
1
C
f (z)d z 0 ,
2
C
f (z)d z 0
或 C
f (z)d z
0
直线段
z z
(思路)
1 | Δz |
| Δz | ,
(当 | Δ z |充分小时)
lim
ΔF Δz
Δ z 0
f (z) 0 ,
即 F ( z ) f ( z ) . 14
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 章 3. Newton-Leibniz公式 定理 若 f ( z ) 在单连域 D 内处处解析， G (z ) 为 f ( z ) 的原函数， 复 P64 变 定理 函 3.6 数 z 的 证明 由于 F ( z ) z f ( ) d 也是 f ( z ) 的一个原函数， 积 有 F ( z ) G ( z ) c , F ( z0 ) G ( z0 ) c , 分
1 2
C1
Γ
C2
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
5
§3.2 柯西积分定理 第 三 章 复 变 函 数 的 积 分
▲
重要
解 如图以 z 0 为圆心 r为半径作圆， 则函数
f (z)
1 ( z z0 )
n
在
G
r C
z0
D
D D Γ C
0
F ( z1 ) G( z1 ) c ,
F ( z1 ) F ( z0 )
z
z1
0
f ( z ) d z 0 G ( z1 ) G ( z0 ) .
15
§3.2 柯西积分定理 第 例 求 z 2d z . 0 三 章 解 1 i z 2d z 1
0 1 i
§3.2 柯西积分定理
一、柯西基本定理 二、闭路变形原理 三、复合闭路定理 四、路径无关性 五、原函数
1
§3.2 柯西积分定理 第 一、柯西基本定理 三 章 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
P60 定理 3.2
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 复 G 变 则有 Γ f ( z ) d z 0 . 函 数 z dz (u d x v d y ) (v d x u d y ) 的 证明 Γ f ( z ) d z Γ ( u d x v d y ) i Γ ( v d x u d y ) Γ Γ Γ 积 v u u v v u u v Green公式 分 ( ) dxdy i ( ) dxdy ) dx d y ( ) dx dy
G (z) H (z) c ,
f (z),
0,
其中，c 为任意常数。
c
定义 函数
补
f (z)
的原函数 F ( z )
称为 f ( z ) 的不定积分，
记作
f (z) d z F (z) c .
12
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 D 章 2. 由变上限积分构成的原函数 z 定理 若 f ( z ) 在单连域 D 内处处解析， 复 z P63 z0 变 定理 令 F ( z ) f ( ) d , z , z0 D , z 函 3.5 数 则 F ( z ) 在 D 内解析，且 F ( z ) f ( z ) . 的 F F (z Δz) F (z) 积 1 zΔ z f ( ) d , z 分 证明 (1) z z z
上解析，
dz
因此有
I
Γ C
( z z0 ) dz ( z z0 )
n
n
2πi , 0,
当 当
n1 n1
时， 时。
6
§3.2 柯西积分定理 第 三、复合闭路定理 三 将柯西积分定理推广到多连域 章 复 变 函 数 的 积 分 定理 设多连域 D的边界为 C
P62 推论
z
3
1 i 0
1 3
(1 i ) .
3
复 b 变 函 例 求 a cos z d z . 数 b 的 解 cos z d z sin a 积 分 i 例 求 z cos z d z .
0
3
b
z
a
sin b sin a .
解
0 z cos
i
z dz
0 z d sin
2z 1
C
2 3
0, 1.
8
§3.2 柯西积分定理
C 第 例 计算 I d z , 其中 C 为： 2 C z z C1 C 三 C2 2 2 章 0 1 2 3 1 x y 1. (1) | z 3 | ; (2) 2 2 1 2 复 变 函 解 令 f ( z ) 2 z 1 , 则 f ( z ) 1 1 , 奇点为 z 0 , 1 . 2 z z1 数 z z 的 2 2 1 1 x y 积 | , | , C2： z 1 | 1 时，令 C1： z | (2) 当 C 为 2 分 3 3 1 2
C0 C1 C2 Cn
(如图)，
函数
f ( z ) 在 D内解析，
在 C 上连续，则
Cn C0
C1
C2
D
…
C
或 C 证明 (略)
0
f (z)d z 0
C3
f (z)d z
C
f (z)d z
1
C
2
f (z)d z
f (z)d z .
Cn
7
§3.2 柯西积分定理
2z 1
则
I
C
1
1
dz
z
C
1
1
z1
dz
C
1
2
dz
Байду номын сангаас
z
C
1
2
z1
dz
2πi 0 0 2πi 4πi .
9
§3.2 柯西积分定理 第 四、路径无关性 三 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析， 章 P60 C1, C2 为 D内的任意两条从 z 0 到 z 1 复 定理 3.3 的简单曲线，则有 变 函 C f ( z ) d z C f ( z ) d z . 数 的 积 证明 由 f ( z ) d z f ( z ) d z 0 , C C 分
i
z z sin z
i 0
i 0
0 sin
i
zdz
( z sin z cos z )
i sin i cos i 1 .
16
§3.2 柯西积分定理 第 三 章 解 i ln( 1 i 复 变 函 数 的 积 分
P65 例3.9
z ) d z z ln( 1 z )
0
直线段
z z
(思路)
(跳过?)
f (z)
z z
1
zΔ z
f ( z ) d ,
F z
f (z)
| z | z
1
zΔ z
| f ( ) f ( z ) | d s ,
13
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 D 章 2. 由变上限积分构成的原函数 z 定理 若 f ( z ) 在单连域 D 内处处解析， 复 z z0 变 令 F ( z ) f ( ) d , z , z0 D , z 函 数 则 F ( z ) 在 D 内解析，且 F ( z ) f ( z ) . 的 zΔ z F 1 积 | f ( ) f ( z ) | ds , 分 证明 (2) z f ( z ) | z | z
(?)
G G
x x
y y
G G
x x
y y
C R方程
0. 0.
上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。 2
§3.2 柯西积分定理 第 一、柯西基本定理 三 章 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 复 变 则有 Γ f ( z ) d z 0 . 函 数 的 注 (1) 定理中的曲线 G 可以不是简单闭曲线。 积 (2) 定理中的条件还可以进一步减弱。 分
C 第 例 计算 I d z , 其中 C 为： 2 三 P62 例3.7 修改 C z z 2 2 章 0 1 1 x y 1. (1) | z 3 | ; (2) 2 2 1 2 复 变 函 解 令 f ( z ) 2 z 1 , 则 f ( z ) 1 1 , 奇点为 z 2 z z1 数 z z 的 1 2z 1 积 dz 0 . (1) 当 C 为 | z 3 | 时， I C 2 分 2 z z
问 是否可以直接计算？
即
I
C sin
zdz
0 sin
2
z d z cos z
2 0
1 cos 2 .
11
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 章 1. 基本概念及性质 定义 设在单连域 D 内，函数 F ( z ) 恒满足条件 F ( z ) 复 P64 变 定义 则 F ( z ) 称为 f ( z ) 在 D 内的一个原函数。 函 3.2 数 性质 函数 f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数。 的 积 证明 设 G ( z ) 和 H ( z ) 是 f ( z ) 的两个原函数，则 分 [ G ( z ) H ( z ) ] G ( z ) H ( z ) f ( z ) f ( z )
1 2 1 2
C
1
f (z)d z
C
2
f (z)d z
C
f (z)d z .
2
可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，
10
§3.2 柯西积分定理 第 例 计算 I C sin z d z , 其中 C 为如图所示的一个半圆。 三 P61 例3.6 y 章 解 设 G 如图所示，由于 sin z 在复平面上 i C 复 处处解析，因此有 变 2 x G 函 I sin z d z sin z d z Γ C 数 2 2 的 sin x d x cos x 1 cos 2 . 积 0 0 分
1
C
f (z)d z .
2
4
§3.2 柯西积分定理 第 二、闭路变形原理 D 三 闭路变形原理 P62 章 如图，设 f ( z ) 在 D 内解析， 复 变 在边界 C C 1 C 2 上连续， 函 G 为 D 内的一条“闭曲线”， 数 的 则 C f ( z ) d z C f ( z ) d z Γ f ( z ) d z . 积 分
i i i i
i i
i
i
z 1 z
dz
z ln( 1 z )
z11 1 z
i
dz
[ z ln( 1 z ) z ln( 1 z )]
i
( 2 ln 2 ) i
π 2
i.
17
§3.2 柯西积分定理 第 三 章 复 变 函 数 的 积 分
休息一下 ……
18
定理 设单连域 D的边界为C，函数 f (z)
P60 [注]
G
C D
在 D内解析，在 则有 C
D DC
上连续，
f (z)d z 0 .
3
§3.2 柯西积分定理 第 二、闭路变形原理 三 将柯西积分定理推广到二连域 D 章 C1 定理 设二连域 D的边界为 C C 1 C 2 (如图)， 复 变 P61 函数 f ( z ) 在 D内解析，在 C 上连续，则 b C2 定理 函 3.4 a 数 C f ( z ) d z 0 或 C f ( z ) d z C f ( z ) d z . 的 积 证明 如图，作线段 ab，则二连域 D 变为单连域，从而有 分
1 2
C
由
f (z)d z
1
b a
a b
f (z)d z
C
f (z)d z
2
a b
f (z)d z 0 ,
f (z)d z
ba
f (z)d z 0 ,
C
f (z)d z
1
C
f (z)d z 0 ,
2
C
f (z)d z 0
或 C
f (z)d z
0
直线段
z z
(思路)
1 | Δz |
| Δz | ,
(当 | Δ z |充分小时)
lim
ΔF Δz
Δ z 0
f (z) 0 ,
即 F ( z ) f ( z ) . 14
§3.2 柯西积分定理 第 五、原函数 三 章 3. Newton-Leibniz公式 定理 若 f ( z ) 在单连域 D 内处处解析， G (z ) 为 f ( z ) 的原函数， 复 P64 变 定理 函 3.6 数 z 的 证明 由于 F ( z ) z f ( ) d 也是 f ( z ) 的一个原函数， 积 有 F ( z ) G ( z ) c , F ( z0 ) G ( z0 ) c , 分
1 2
C1
Γ
C2
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
5
§3.2 柯西积分定理 第 三 章 复 变 函 数 的 积 分
▲
重要
解 如图以 z 0 为圆心 r为半径作圆， 则函数
f (z)
1 ( z z0 )
n
在
G
r C
z0
D
D D Γ C
0
F ( z1 ) G( z1 ) c ,
F ( z1 ) F ( z0 )
z
z1
0
f ( z ) d z 0 G ( z1 ) G ( z0 ) .
15
§3.2 柯西积分定理 第 例 求 z 2d z . 0 三 章 解 1 i z 2d z 1
0 1 i