2019秋八年级数学上册 第12章 整式的乘除 小专题(四)整式乘除的运算巧算作业课件(新版)华东师
八年级数学上册 第十二章 整式的乘除 专题练习一 巧用乘法公式课件
9．已知：x2－y2＝12，x＋y＝3.求2x2－2xy的值． 解：∵x2－y2＝12， ∴(x＋y)(x－y)＝12， ∵x＋y＝3①，∴x－y＝4②，①＋②得，2x＝7， ∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
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10．已知x2＋y2＝25，x＋y＝7，求xy和x－y的值． 解：∵x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， ∴25＝72－2xy ∴xy＝12， ∴(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝25－2×12＝1， ∴x－y＝±1
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内容(nèiróng)总结
No 第十二章 整式(zhěnɡ shì)的乘除。2．计算：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5).。(3)(x＋y)2－4(x＋y)(x－y)
＋4(x－y)2.。6．计算：(1)(x＋y)2－(x－y)2。解：(x＋y)2－(x－y)2＝(x＋y＋x－y)(x＋y－x＋y)＝2x·2y＝4xy。 (3)2 0192－2 019×4 036＋2 0182.。∴(x＋y)(x－y)＝12，。＝(232－1)＋1
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7．已知(6x－3y)2＝(4x－3y)2，xy≠0，求yx 的值． 解：由题意，得 (6x－3y)2－(4x－3y)2＝0， [(6x－3y)＋(4x－3y)][(6x－3y)－(4x－3y)]＝0， (10x－6y)·2x＝0， 20x2－12xy＝0， 20x2＝12xy， ∵xy≠0，∴x≠0.
第十二章 整式(zhěnɡ shì)的乘除
专题练习(liànxí)一 巧用乘法公式
第一页，共十六页。1)(5m＋n)(5m－n)；
解：25m2－n2 (2)(2x＋3y)(2x－3y)； 解：4x2－9y2
2019八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 12.5.2 因式分解教案
教学目标
知识与技能
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式 乘法在整式变形过程中的相反关系。
过程与方法
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
情感态度与价值观
通过观察，推导 分解因式与 整式乘法的关系，让学 生了解事物间的因果联系.
教学重点
理解因式分解的意义，识别分解因式与整式乘法的关系。
教学难点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
教学内容与过程
教法学法设计
一.复习提问，回顾知识，请看下面的问题：
1.什么是因式分解？
2.单项式 ， ， 的公因式是什么？
3.多项式 ， 的公因式是什么？
4.把下列多项式分解因式：
；
；
5.计算：
二.导入课题，研究知识：
今天这节 课我们就来研究 类型的多项式的分解方法------------平方差的运用。
教学活动中，教师提供必要的指点和帮助。引导学生对探究性活动进行反思，不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题，并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。
教学反思
面向 全体学生提出相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。.
留给学生一定的思考和回顾知识的时间。
为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力：
1.利用平方差分解的法则：
两数的平方差可分解为这两个数的和与这两个数的积的形式。
2.平方差公式：
四.运用解因式：
， ，
， .
问题2.
把下列各式分解因式
（1） = ；
（2） =；
问题3.
下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式 分解因式的是（）
最新八年级上册数学精品课件第12章 整式的乘除
知识点 多项式与多项式相乘
如图所示,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a米、宽m米的 长方形绿地的长增加了b米,宽增加了n米.要计算整个长方形的面积 有两种方法:一种计算方法是先分别求出四个小长方形的面积,再求 它们的和,即(am+bm+an+bn)平方米.另一种计算方法是先计算大 长方形的长和宽,然后利用长乘宽得出大长方形的面积,即 (m+n)·(a+b)平方米.由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因 此(m+n)(a+b)=am+an+bm+bn.
知识点 公式法
所以小娟的两块手帕的面积差大.在计算两块手帕的面积时,小红利用了平方差 公式对两个式子进行了因式分解,从而计算出结果.
知识点 综合运用多种方法进行因式分解
曹佳同学在证明“对于任意一个正整数n,代数式(n+5)2-(n-7)2 的值一定是24的倍数”这一问题时,遇到了困难,百思不得其解. 于是好学的她虚心地请教了班里的数学课代表王哲同学,王哲 同学是这样解答的:(n+5)2-(n-7)2=(n+5+n-7)(n+5-n+7)=12(2n2)=12×2(n-1)=24(n-1),则对于任意一个正整数n,代数式 (n+5)2-(n-7)2的值一定是24的倍数.在这一问题中,他运用了因 式分解的方法,先利用平方差公式进行因式分解,合并同类项之 后,再提取公因式,最后得到结果,所以在因式分解时可能采用多 种方法,并且分解时一定要彻底.
知识点 同底数幂的除法
第12章 整式的乘除
12.2 整式的乘法
知识点 单项式与单项式相乘
为了记录大自然如诗如画的美,京京用两张同样大小的纸,
整式的乘除课件
详细描述
分配律是整式乘除中的基本运算规则，即 $a(b+c) = ab + ac$。通过分配律，可以 将复杂的整式乘法或除法转化为简单的代数 运算。例如，利用分配律计算整式 $(x+y)^2$，可以得出结果$x^2 + 2xy + y^2$。同样地，在整式除法中，也可以利 用分配律进行简化计算。
05
THANKS
感谢观看
单项式相除，系数相除，同底数的幂 相减。
如果两个单项式相除，可以直接将它 们的系数相除，同时将同底数的幂相 减。例如，$frac{3x^2}{5x} = frac{3}{5}x^{2-1} = frac{3}{5}x$。
单项式除以多项式
将多项式拆分成单项式，分别与被除式相除。
如果单项式除以多项式，可以将多项式拆分成若干个单项式，然后分别与被除式 相除。例如，$frac{x}{x+1} = frac{x}{x+1}$。
在数学教育中，整式的乘除是培养学生逻辑思维和数学素养 的重要内容之一。通过整式的乘除训练，可以提高学生的数 学思维能力，增强学生的数学应用能力。
02
整式乘法规则
单项式乘单项式
总结词
这是整式乘法中最简单的形式，只需 将两个单项式的系数相乘，并将相同 的字母的幂相加。
详细描述
例如，$2x^3 times 3x^2 = 6x^{3+2} = 6x^5$。
单项式乘多项式
总结词
将一个单项式与一个多项式中的每一项分别相乘，然后合并同类项。
详细描述
例如，$(2x - 3y) times 3x = 6x^2 - 9xy$。
多项式乘多项式
总结词
将两个多项式的每一对相应项分别相乘，然后合并同类项。
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.2 整式的乘法 3 多项式与多项式相乘课件
(yìngyòng)这个规律解决下面的问题.
(x a )(x b ) x 2 _ (_ a_ _ b_ ) x _ _ a _ b_ _ .
口答：
(x － 7 )(x ＋ 5 ) x 2 （ _ - 2_ ） x （_ -3_ 5）.
第十四页，共二十页。
5.小东(xiǎo dōnɡ)找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米， 厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米，问小东应 在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？
=3x2+7x+2； (3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3.
注意 需要注意的几个问题:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结
果应化成最简形式.
第九页，共二十页。
当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.判别下列解法是否正确(zhèngquè)，若错请说出理由.
第12章 整式 的乘除 (zhěnɡ shì)
12.2 整式 的乘法 (zhěnɡ shì)
3.多项式与多项式相乘
导入新课
讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂练习
课堂小结
第一页，共二十页。
学习目标
1.理解并掌握多项式与多项式的乘法(chéngfǎ)运算法则.（重点） 2.能够用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.（难点）
b a
m
n
第五页，共二十页。
你能用不同(bù tónɡ)的形式表示所拼图的面积吗？
b
mb
nb
a
ma
na
2019-2020年华师大版八年级上册数学教材变式：第12章 整式的乘除
第12章整式的乘除12.1 幂的运算教材P18例1变式【变式1】下列算式中,结果等于x6的是( A )(A)x2·x2·x2(B)x2+x2+x2(C)x2·x3(D)x4+x2解析:A.x2·x2·x2=x6,故选项A符合题意;B.x2+x2+x2=3x2,故选项B不符合题意;C.x2·x3=x5,故选项C不符合题意;D.x4+x2,无法计算,故选项D不符合题意.故选A.【变式2】若2n+1·23=210(n为正整数),则n= 6 .解析:2n+1·23=2n+1+3=210(n为正整数),所以n+1+3=10,解得n=6.教材P20例2变式【变式1】如果a x=3,那么a3x的值为27 .解析:a3x=(a x)3=33=27.【变式2】已知x m·x n·x3=(x2)7,则当n=6时,m= 5 .解析:因为x m·x n·x3=(x2)7,所以x m+n+3=x14,所以m+n+3=14.将n=6代入,可得m+6+3=14,解得m=5.故当n=6时,m=5.教材P21例3变式【变式1】下列运算正确的是( C )(A)a2·a3=a6(B)(-2ab3)2=-4a2b6(C)(-a2)3=-a6(D)2a+3b=5ab解析:A.结果是a5,故本选项不符合题意;B.结果是4a2b6,故本选项不符合题意;C.结果是-a6,故本选项符合题意;D.2a和3b不能合并,故本选项不符合题意.故选C.【变式2】计算:x·x3·x4+(x2)4-(-2x4)2.解: x·x3·x4+(x2)4-(-2x4)2=x8+x8-4x8=-2x8.教材P23例4变式【变式1】如果3m=6,3n=2,那么3m-n为 3 .解析:因为3m=6,3n=2,所以3m-n=3m÷3n=6÷2=3.【变式2】计算x5÷(-x)2= x3.解析:原式=x5÷x2=x3.12.2 整式的乘法教材P25例1变式【变式1】下列计算正确的是( A )(A)9a3·2a2=18a5(B)2x5·3x4=5x9(C)3x3·4x3=12x3(D)3y3·5y3=15y9解析:A.9a3·2a2=18a5,正确,符合题意;B.2x5·3x4=6x9,错误,不合题意;C.3x3·4x3=12x6,错误,不合题意;D.3y3·5y3=15y6,错误,不合题意.故选A.【变式2】计算:(-2x2y)3·3(xy2)2.解:原式=-8x6y3·3x2y4=-24x8y7.教材P27例2变式【变式1】计算:(-3x+1)·(-2x)2.解:(-3x+1)·(-2x)2=(-3x+1)·(4x2)=-12x3+4x2.【变式2】数学课上,,放学回到家,,发现一道题:-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+ , 的地方被墨水弄污了,你认为处应填写3xy .解析:根据题意得,-3xy(4y-2x-1)+12xy2-6x2y=-12xy2+6x2y+3xy+12xy2-6x2y=3xy.教材P28例3变式【变式】如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( A )(A)2,3,7 (B)3,7,2(C)2,5,3 (D)2,5,7解析:长为a+3b,宽为2a+b的长方形的面积为(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,因为A类卡片的面积为a2,B类卡片的面积为b2,C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C 类卡片7张.故选A.教材P29例4变式【变式】探究应用:(1)计算:(x+1)(x2-x+1)= x3+1 ;(2x+y)(4x2-2xy+y2)= 8x3+y3.(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律(公式)?用含a,b的字母表示该公式为(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.(3)下列各式能用第(2)题的公式计算的是( C )(A)(m+2)(m2+2m+4)(B)(m+2n)(m2-2mn+2n2)(C)(3+n)(9-3n+n2)(D)(m+n)(m2-2mn+n2)解析:(1)(x+1)(x2-x+1)=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1,(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3-4x2y+2xy2+4x2y-2xy2+y3=8x3+y3.(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.(3)由(2)可知选C.12.3 乘法公式教材P31例1变式【变式1】下列各式中不能用平方差公式计算的是( A )(A)(x-y)(-x+y) (B)(-x+y)(-x-y)(C)(-x-y)(x-y) (D)(x+y)(-x+y)解析:A.由于两个括号中含x,y项的符号都相反,故不能使用平方差公式,A正确;B.两个括号中,-x相同,含y的项的符号相反,故能使用平方差公式,B错误;C.两个括号中,含x项的符号相反,y项的符号相同,故能使用平方差公式,C错误;D.两个括号中,含x项的符号相反,y项的符号相同,故能使用平方差公式,D错误.故选A.【变式2】若x+y=2,x2-y2=6,则x-y= 3 .解析:因为x+y=2,x2-y2=(x+y)(x-y)=6,所以x-y=3.教材P32例2 变式【变式1】用整式的乘法公式计算:2 0002-2 001×1 999= 1 .解析:原式=2 0002-(2 000+1)×(2 000-1)=2 0002-(2 0002-1)=2 0002-2 0002+1=1.【变式2】计算:9(10+1)(102+1)+1.解:原式=(10-1)(10+1)(102+1)+1=(102-1)(102+1)+1=104-1+1=104=10 000.教材P32例3变式【变式1】某街区花园有一块边长为a米的正方形广场,为了周边建设统一,经统一规划后,南、北方向各加长5米,东、西方向各缩短5米,则改造后的长方形广场的面积是(a2-100) 平方米(用含a的式子表示).解析:根据题意得,(a+5×2)(a-5×2)=(a+10)(a-10)=a2-100.【变式2】一个三角形的一条边长为(2a+4)cm,这条边上的高为(2a-4)cm,则这个三角形的面积为(2a2-8) cm2.解析:这个三角形的面积为×(2a+4)(2a-4)=×(4a2-16)=2a2-8.教材P33例4变式【变式1】运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( C )(A)x2+9 (B)x2-6x+9(C)x2+6x+9 (D)x2+3x+9解析:(x+3)2=x2+6x+9,故选C.【变式2】已知x+y=-5,xy=6,则x2+y2的值是( B )(A)1 (B)13 (C)17 (D)25解析:因为x+y=-5,xy=6,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=25-2×6=25-12=13.故选B.教材P34例5变式【变式1】运用乘法公式计算(m-2)2的结果是( C )(A)m2-4 (B)m2-2m+4(C)m2-4m+4 (D)m2+4m-4解析:(m-2)2=m2-4m+4,故选C.【变式2】(x-2)2+4(x-1)= x2.解析:原式=x2-4x+4+4x-4=x2.12.4 整式的除法教材P39例1变式【变式1】计算(-ab2)3÷(-ab)2的结果是( B )(A)ab4(B)-ab4(C)ab3(D)-ab3解析:(-ab2)3÷(-ab)2=-a3b6÷a2b2=-ab4,故选B.【变式2】一个三角形的面积为4a3b4,底边的长为2ab2,则这个三角形的高为4a2b2. 解析:4a3b4×2÷2ab2=8a3b4÷2ab2=4a2b2.教材P41例2变式【变式1】小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x3y-2xy2,商式必须是2xy,则小亮报一个除式是x2-y .解析:(x3y-2xy2)÷2xy=x2-y.【变式2】长方形面积是3a2-3ab+6a,一边长为3a,则它的另一边长是a-b+2 .解析:因为长方形面积是3a2-3ab+6a,一边长为3a,所以它的另一边长是(3a2-3ab+6a)÷3a=a-b+2.12.5 因式分解教材P44例1变式【变式1】下列多项式分解因式,正确的是( B )(A)12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xyz)(B)3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2)(C)-x2+xy-xz=-x(x2+y-z)(D)a2b+5ab-b=b(a2+5a)解析:A.12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy),故此选项错误;B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2),故此选项正确;C.-x2+xy-xz=-x(x-y+z),故此选项错误;D.a2b+5ab-b=b(a2+5a-1),故此选项错误.故选B.【变式2】简便计算:(1)1.992+1.99×0.01;(2)2 0172+2 017-2 0182.解:(1)1.992+1.99×0.01=1.99×(1.99+0.01)=3.98.(2)2 0172+2 017-2 0182=2 017(2 017+1)-2 0182=2 017×2 018-2 0182=2 018×(2 017-2 018)=-2 018.教材P44例2变式【变式1】分解因式y3-4y2+4等于( B )(A)y(y2-4y+4) (B)y(y-2)2(C)y(y+2)2(D)y(y+2)(y-2)解析:原式=y(y2-4y+4)=y(y-2)2,故选B.【变式2】分解因式:(1)x2(x-y)+(y-x);(2)a4-4a3b+4a2b2.解:(1)x2(x-y)+(y-x) =(x-y)(x2-1)=(x-y)(x+1)(x-1).(2)a4-4a3b+4a2b2 =a2(a2-4ab+4b2) =a2(a-2b)2.。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.4整式的除法授课课件新版华东师大版
知1－导
这里商式的系数4和字 母因 式a3c2是怎样计算 出来的？你能总结出单 项式相除的法则吗？
感悟新知
单项式除以单项式法则：
知1－导
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于
只在被除式中出现的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
步骤：
（1）把系数相除，所得结果作为商的系数.
（2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式.
＝－4a2＋a－3；
(2)原式＝
2 3
a5b8
2a 2b6
1 9
a ＝ 2b6
2 3
a5b8÷
1 9
a2b6＋(－2a2b6)
1
÷ 9 a2b6＝6a3b2－18.
感悟新知
总结
知2－讲
多项式除以单项式的实质是转化为单项式除以 单项式的商的和，计算时应注意逐项相除，不 要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果 通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列.
所以n＝4.所以n－m＝4－18＝－14.
感悟新知
总结
知1－讲
本题运用方程思想求解．利用单项式除以单项式法 则把条件中的等式左边化简成一个单项式，再通过 对比构造方程是解题的关键．
感悟新知
知1－练
1． (中考·遵义)计算－12a6÷3a2的结果是( )
A．－4a3
B．－4a8 C．－4a4
D．－
第12章 整式的乘除
12.4 整式的除法
学习目标
1 课时讲解 单项式除以单项式
多项式除以单项式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 单项式除以单项式
试一试
华东师大版(新版)八年级数学上册：第12章整式的乘除小结与复习课件
8．因式分解的步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先 提取公因式； 在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，视察多项 式的次数：二项式可以尝试运用 平方差公式分解因式；三项 式可以尝试运用 两数和(差)公的式分解因式； 分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
再分解 为止．
9．图形面积与代数恒等式
整体思想
例6 若2a+5b-3=0，则4a·32b= 8 . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
[注意] 其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字
母，还可以是一个任意的代数式；这几个法则容易混淆，计算 时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用 单项式 和 多项式 的每一项分别相 乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 与另一个 多项式的 每一项 相乘，再把所得的积 相加 .
5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的 积 的情势，叫做多项式的 因式分解．
因式分解的过程和 整式乘法 的过程正好相反．
6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的 最大公约数 ；字母取多项式各项 相同 的字母；各字母 指数取次数最 低 的． 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公 因式提到 括号 外面，将多项式写成 因式乘积 的情势，这 种分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时 先要考虑多项式的各项有无公因式．
(八上)第十二章 整式的乘除
（八上）第十二章整式的乘除
一幂的运算
1.同底数幂的乘法
（1）同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点）（2）逆用同底数幂的乘法法则（拓展）
2.幂的乘方
3.积的乘方
（1）幂的乘方的意义及其运算法则（重点）
（2）幂的乘方法则的逆向运用（拓展）
（3）积的乘方的意义及其运算法则（重点）
（4）积的乘方法则的逆向运用（拓展）
4.同底数幂的除法
（1）同底数幂的除法法则（重点）
（2）逆用同底数幂的除法法则（拓展）
二整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
2.单项式与多项式相乘
（1）单项式与单项式相乘（重点）
（2）单项式与多项式相乘（重点）
3.多项式与多项式相乘
（1）多项式与多项式相乘（难点）
三乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
（1）两数和乘以这两数的差的公式（重点）
（2）两数和乘以这两数的差的公式的几何背景
（3）两数和乘以这两数差的公式的应用——简便运算（拓展）
2.两数和（差）的平方
（1）两数和（差）的平方公式（重点）
（2）运用两数和（差）的平方公式进行数的简便计算(重点)
（3）两数和（差）的平方公式的变形应用（拓展）
四整式的除法
（1）单项式除以单项式（重点）
（2）多项式除以单项式（重点）
五因式分解
（1）因式分解的概念（重点）
（2）提公因式法（重点）
（3）公式法（重点）
（4）因式分解的一般步骤（重、难点）。
八年级数学上册整式的乘除知识点归纳
在八年级数学上册的整式乘除部分，可以归纳以下几个知识点：1. 同底数幂相乘：当两个幂数的底数相同时，可以将它们的指数相加，得到新的幂数。
例如：a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 幂的乘法法则：当有多个幂相乘时，可以将它们的底数保持不变，指数相乘，得到新的幂。
例如：(a^m) * (a^n) = a^(m+n)。
3. 同底数幂相除：当两个幂数的底数相同时，可以将它们的指数相减，得到新的幂数。
例如：a^m / a^n = a^(m-n)。
4. 幂的除法法则：当有多个幂相除时，可以将它们的底数保持不变，指数相减，得到新的幂。
例如：(a^m) / (a^n) = a^(m-n)。
5. 同底数幂的乘方：当一个幂的指数再次取幂时，可以将它们的指数相乘，得到新的幂。
例如：(a^m)^n = a^(m*n)。
6. 幂的整数指数相除：当一个幂的指数是整数，且除以另一个整数时，可以将它们的指数相除，得到新的幂。
例如：(a^m)^(1/n) = a^(m/n)。
7. 化简整式：将整式中的同类项进行合并，即将具有相同字母和相同指数的项合并成一个项，并进行系数的运算。
例如：3x + 2x = 5x。
8. 整式的乘法：将整式中的每一项按照分配律逐个与另一个整式的每一项相乘，并将结果合并。
例如：(2x + 3) * (4x - 5) = 8x^2 + 2x -15x -15。
9. 整式的除法：将整式的被除式与除式进行长除法运算，按照整数除法的规则进行计算，得到商式和余式。
这些是八年级数学上册整式的乘除的主要知识点，通过理解和掌握这些知识点，可以更好地解决相关的题目和应用。
八年级上册数学整式的乘除知识点
文章标题：深度剖析八年级上册数学整式的乘除知识点在八年级上册的数学课程中，整式的乘除是一个重要的知识点。
通过学习整式的乘除，我们可以更好地理解代数表达式的变化规律，掌握数学运算的技巧和方法，为进一步学习代数知识打下坚实的基础。
本文将深度剖析八年级上册数学整式的乘除知识点，帮助读者全面、深刻地理解这一重要内容。
1. 整式的乘法整式的乘法是整式运算中的基本内容之一。
在整式的乘法中，我们需要掌握多项式之间的乘法规律和技巧。
我们需要了解乘法分配律的应用，即将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，并将结果相加得到最终的乘积。
我们需要熟练掌握多项式中的同类项的合并和系数的运算。
我们还需要注意乘法中的特殊情况，如平方公式的运用和多项式的高次项乘法。
2. 整式的除法整式的除法是整式运算中的另一个重要内容。
在整式的除法中，我们需要掌握多项式之间的除法规律和方法。
我们需要了解除法的基本步骤，即先将被除式与除数进行逐项相除，然后合并同类项得到商，最后再进行余数的判断和处理。
我们需要注意整式除法中的特殊情况，如整式除不尽时的余数处理和除式中的零系数问题。
总结回顾通过对整式的乘除知识点的深度剖析，我们不仅掌握了整式的乘法和除法的基本规律和方法，还能够灵活运用和应用这些知识解决实际问题。
整式的乘法和除法在数学中具有重要的地位，它不仅是代数表达式的基本运算，还是后续学习中多项式、因式分解等内容的重要基础。
我们应该认真学习整式的乘除知识点，深入理解其中的原理和技巧，为今后的学习打下坚实的基础。
个人观点在学习整式的乘除知识点时，我认为重点在于深入理解其运算规律和方法，而不仅仅是死记硬背。
通过多做习题和实际应用，我相信我能更好地掌握整式的乘除知识点，并能够灵活运用于解决实际问题中。
在本文中，我们深度剖析了八年级上册数学整式的乘除知识点，侧重从简到繁、由浅入深地探讨了整式的乘法和除法。
通过本文的阐述，相信读者对整式的乘除知识点有了更全面、深刻的理解。
华师大版八年级数学上册第十二章整式的乘除PPT教学课件全套
12.1.3 积的乘方
12.1.3 积的乘方
探 究 新 知
活动1 知识准备
下列计算正确的是( C ) A．x 3·x 2＝2x 6 C ．(－x 2)3＝－x 6 B．x 4·x 2＝x 8 D．(x 3)2＝－x 5
12.1.3 积的乘方
活动2 教材导学 理解、掌握积的乘方法则
完成下列填空，并观察这些算式有何共同点？它们都是 属于什么运算？ (1)算式(ab)3 表示 ____ 3 个 ab 相乘，即__(ab)· (ab)· (ab) __， 根据乘法交换律和结合律，把同底数的幂划为一组，结果等 于__
12.1.2 幂的乘方
新 知 梳 理
► 知识点 幂的乘方法则
底数不变，指数相乘 法则：幂的乘方，____ ____．
字母表达式： (am)n＝amn(m ，n 为正整数 )． 推广：可推广到三个或三个以上指数的情形，即 [(am)n ]p＝ amnp(m ，n ，p 为正整数 )．
12.1.2 幂的乘方
重难互动探究
探究问题一 运用同底数幂的乘法法则进行计算
＋
例 1 [课本例 1 变式题] 计算： (1)x2·x5；(2)a· a6；(3)2×24×23； (4)xm·x3m 1.
Hale Waihona Puke 12.1.1 同底数幂的乘法
解：(1)x 2·x 5＝x 2＋5＝ x 7. (2)a·a6＝a1＋6＝a7. (3)2×24×23＝21＋4＋3＝28. (4)x m·x 3m 1＝x m
12.1.1 同底数幂的乘法 探究问题二 逆用同底数幂的乘法法则
例2
[拓展创新题 ] (1)若 3m＝5，3n ＝7，求 3m＋n ＋1 的值；
(2)若 2m＝A ，2n ＝B ，求 2m＋n .
岷县第五中学八年级数学上册第12章整式的乘除知识点总结新版华东师大版
第十二章整式的乘除知识点内容备注幂的运算同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加逆用：=幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘逆用：例：积的乘法积的乘方，把积的每一个因式分别相乘，再把所得的幂相乘==逆用：例=1同底数幂的除法同底数幂相处，底数不变，指数相减逆用：例：若的值是?整式的乘法单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同的字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式例：·=[3·2)]·(·x)·(y=单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加例：(-2=(-22) 多项式与多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加例：（X+2）（X—==整式的除法单项式除于单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式例：24=（24）（）=8多项式除于单项式多项式除于单项式，先用这个多项式的每一项除于这个单项式，再把所得的商相加例(9)=9=3乘法公式平方差公式两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差例：(a+b)(a-b)=逆用：=(a 两数和的平方公式两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍例：逆用两数差的平方公式两数差的平方，等于这两数倍逆用定义：把一个多项式化为几常考点：确定平面上物体的位置1．甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形，则下列下子方法不正确的是( C )[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6,3)]A．黑(3,7)；白(5,3)B．黑(4,7)；白(6,2)C．黑(2,7)；白(5,3)D．黑(3,7)；白(2,6)解析：在各个位置补上棋子，观察图形得到选项A、选项B、选项D都可以构成轴对称图形．C中的黑棋子不能构成轴对称图形，故不正确的是选项C.2．(2017·邵阳)如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为(－1,1)，(－3,1)，(－1，－1)，30秒后，飞机P飞到P′(4,3)位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为( A )A．Q′(2,3)，R′(4,1)B．Q′(2,3)，R′(2,1)C．Q′(2,2)，R′(4,1)D．Q′(3,3)，R′(3,1)解析：由点P(－1,1)到P′(4,3)知，编队需向右平移5个单位长度、向上平移2个单位长度，∴点Q(－3,1)的对应点Q′坐标为(2,3)，点R(－1，－1)的对应点R′(4,1)，故选A.3．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向上，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m．若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的( B )A．北偏东75°的方向上B．北偏东65°的方向上C．北偏东55°的方向上D．无法确定解析：根据所给信息可知，连接公园、医院和超市的三条线段正好能构成一个直角三角形，所以可求得公园在医院的北偏东(180°－90°－25°)＝65°的方向上．故选B.4．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为(6,2)，(1,1)，(6,3)，(1,2)，(5,3)，则这个英文单词(或者翻译成中文)为数学．解析：单词为maths，中文为数学．5．在点A处观测点B位于北偏东55°方向上，且距离为100千米，若在点B处观测，则点A在点B的南偏西55°方向上，距离为100千米．解析：“在点A处观测点B”与“在点B处观测点A”方向相反，角度不变，距离不变．6．如图所示，已知B村位于A村北偏东47°的方向上，C村位于A村南偏东43°的方向上，A，B两村相距5 km，A，C两村相距12 km.(1)A村相对于B村的方位角是南偏西47°.(2)A村相对于C村的方位角是北偏西43°.(3)B，C两村的距离为13_km.解析：如图所示，∠1＝90°－47°＝43°，∠2＝90°－43°＝47°，∠BAC＝∠1＋∠2＝90°，所以△ABC为直角三角形．由勾股定理可得BC＝52＋122＝13(km)．7．小汐为自己设想并绘制了未来的大学校园的平面示意图，如图所示，请根据她画的示意图回答下列问题：(1)花坛位于校门的什么方向？到校门的图上距离为多少厘米？实际距离为多少米？(2)花坛的北偏东45°方向上有什么建筑物？(3)如果用(1,5)表示图上校门的位置，那么花坛、图书馆、游泳馆、电影院、教学楼、旱冰场的位置可怎样表示？解：(1)正东方向，3 cm,300 m.(2)图书馆．(3)花坛(4,5)；图书馆(6,7)；游泳馆(10,9)；电影院(11,7)；教学楼(8,4)；旱冰场(10,1)．《第12章整式的乘除》一、选择题1．若3×9m×27m=321，则m的值为（）A．3 B．4 C．5 D．62．要使多项式（x2+px+2）（x﹣q）不含关于x的二次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为﹣13．若|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2互为相反数，则（3x﹣y）3的值为（）A．1 B．9 C．﹣9 D．274．若x2﹣kxy+9y2是一个两数和（差）的平方公式，则k的值为（）A．3 B．6 C．±6 D．±815．已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c=（）A．12 B．13 C．14 D．196．下列运算正确的是（）A．a+b=ab B．a2•a3=a5C．a2+2ab﹣b2=（a﹣b）2D．3a﹣2a=17．若a4+b4+a2b2=5，ab=2，则a2+b2的值是（）A．﹣2 B．3 C．±3 D．28．下列因式分解中，正确的是（）A．x2y2﹣z2=x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy﹣5y=﹣y（x2+4x+5）C．（x+2）2﹣9=（x+5）（x﹣1）D．9﹣12a+4a2=﹣（3﹣2a）29．设一个正方形的边长为1cm，若边长增加2cm，则新正方形的面积增加了（）A．6cm2B．5cm2C．8cm2D．7cm210．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2二、填空题11．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．12．现在有一种运算：a※b=n，可以使：（a+c）※b=n+c，a※（b+c）=n﹣2c，如果1※1=2，那么2012※2012=．13．如果x+y=﹣4，x﹣y=8，那么代数式x2﹣y2的值是．14．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m= ．15．若x3=﹣8a9b6，则x ．16．计算：（3m﹣n+p）（3m+n﹣p）= ．17．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= ．18．观察，分析，猜想：1×2×3×4+1=52；2×3×4×5+1=112；3×4×5×6+1=192；4×5×6×7+1=292；n（n+1）（n+2）（n+3）+1= ．（n为整数）三、解答题（共46分）19．通过对代数式的适当变形，求出代数式的值．（1）若x+y=4，xy=3，求（x﹣y）2，x2y+xy2的值．（2）若x=，y=，求x2﹣xy+y2的值．（3）若x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．（4）若m2+m﹣1=0，求m3+2m2+2014的值．20．已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．21．利用因式分解计算：1﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002+1012．22．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．23．利用分解因式说明：（n+5）2﹣（n﹣1）2能被12整除．24．观察下列等式：1×=1﹣，2×=2﹣，3×=3﹣，…（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．《第12章整式的乘除》参考答案与试题解析一、选择题1．若3×9m×27m=321，则m的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．【解答】解：3•9m•27m=3•32m•33m=31+2m+3m=321，∴1+2m+3m=21，解得m=4．故选B．【点评】本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．2．要使多项式（x2+px+2）（x﹣q）不含关于x的二次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为﹣1【考点】多项式乘多项式．【分析】把式子展开，找到所有x2项的所有系数，令其为0，可求出p、q的关系．【解答】解：∵（x2+px+2）（x﹣q）=x3﹣qx2+px2﹣pqx+2x﹣2q=﹣2q+（2﹣pq）x+（p﹣q）x2+x3．又∵结果中不含x2的项，∴p﹣q=0，解得p=q．故选A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．3．若|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2互为相反数，则（3x﹣y）3的值为（）A．1 B．9 C．﹣9 D．27【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【专题】方程思想．【分析】先根据相反数的定义列出等式|x+y+1|+（x﹣y﹣2）2=0，再由非负数的性质求得x、y的值，然后将其代入所求的代数式（3x﹣y）3并求值．【解答】解：∵|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2互为相反数，∴|x+y+1|+（x﹣y﹣2）2=0，∴，解得，，∴（3x﹣y）3=（3×+）3=27．故选D．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法、非负数的性质﹣﹣绝对值、非负数的性质﹣﹣偶次方．解题的关键是利用互为相反数的性质列出方程，再由非负数是性质列出二元一次方程组．4．若x2﹣kxy+9y2是一个两数和（差）的平方公式，则k的值为（）A．3 B．6 C．±6 D．±81【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】利用完全平方公式的结构判断即可确定出k的值．【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个两数和（差）的平方公式，∴﹣k=±6，则k=±6．故选C．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c=（）A．12 B．13 C．14 D．19【考点】整式的除法．【专题】计算题．【分析】根据商乘以除数等于被除数列出关系式，整理后利用多项式相等的条件确定出a，b，c的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：依题意，得（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）=5x（2x+1），∴（17﹣a）x2+（﹣3﹣b）x+（4﹣c）=10x2+5x，∴17﹣a=10，﹣3﹣b=5，4﹣c=0，解得：a=7，b=﹣8，c=4，则a﹣b+c=7+8+4=19．故选D．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．下列运算正确的是（）A．a+b=ab B．a2•a3=a5C．a2+2ab﹣b2=（a﹣b）2D．3a﹣2a=1【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】存在型．【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法及完全平方公式对各选项进行解答即可．【解答】解：A、a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、由同底数幂的乘法法则可知，a2•a3=a5，故本选项正确；C、a2+2ab﹣b2不符合完全平方公式，故本选项错误；D、由合并同类项的法则可知，3a﹣2a=a，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法及完全平方公式，熟知以上知识是解答此题的关键．7．若a4+b4+a2b2=5，ab=2，则a2+b2的值是（）A．﹣2 B．3 C．±3 D．2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】利用完全平方公式分解因式进而求出即可．【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，因为ab=2，所以a2+b2==3．故选：B．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键．8．下列因式分解中，正确的是（）A．x2y2﹣z2=x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy﹣5y=﹣y（x2+4x+5）C．（x+2）2﹣9=（x+5）（x﹣1）D．9﹣12a+4a2=﹣（3﹣2a）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．【解答】解：A、用平方差公式，应为x2y2﹣z2=（xy+z）（xy﹣z），故本选项错误；B、提公因式法，符号不对，应为﹣x2y+4xy﹣5y=﹣y（x2﹣4x+5），故本选项错误；C、用平方差公式，（x+2）2﹣9=（x+2+3）（x+2﹣3）=（x+5）（x﹣1），正确；D、完全平方公式，不用提取负号，应为9﹣12a+4a2=（3﹣2a）2，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握公式的结构特征是解题的关键．9．设一个正方形的边长为1cm，若边长增加2cm，则新正方形的面积增加了（）A．6cm2B．5cm2C．8cm2D．7cm2【考点】完全平方公式．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（1+2）2﹣12=9﹣1=8，即新正方形的面积增加了8cm2，故选C．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【考点】平方差公式的几何背景．【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．二、填空题11．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．12．现在有一种运算：a※b=n，可以使：（a+c）※b=n+c，a※（b+c）=n﹣2c，如果1※1=2，那么2012※2012=．【考点】整式的除法．【专题】新定义．【分析】先设出2012※2012=m，再根据新运算进行计算，求出m的值即可．【解答】解：设2012※2012=m，由已知得，（1+2011）※1=2+2011，2012※（2012﹣2011）=m+2×2011，则2+2011=m+2×2011，解得，m=2012※2012=（2+2011）﹣2011×2=﹣2009．故答案为：﹣2009．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要注意按照两者的转换公式进行计算即可．13．如果x+y=﹣4，x﹣y=8，那么代数式x2﹣y2的值是．【考点】平方差公式．【专题】计算题．【分析】由题目可发现x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），然后用整体代入法进行求解．【解答】解：∵x+y=﹣4，x﹣y=8，∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=（﹣4）×8=﹣32．故答案为：﹣32．【点评】本题考查了平方差公式，由题设中代数式x+y，x﹣y的值，将代数式适当变形，然后利用“整体代入法”求代数式的值．14．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m= ．【考点】完全平方公式．【专题】计算题．【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，利用多项式相等的条件确定出m的值即可．【解答】解：∵（x﹣m）2=x2+x+a=x2﹣2mx+m2，∴﹣2m=1，a=m2，则m=﹣，a=．故答案为：﹣【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．若x3=﹣8a9b6，则x ．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．【解答】解：∵x3=﹣8a9b6，∴x3=（﹣2a3b2）3，∴x=﹣2a3b2．故答案为：=﹣2a3b2．【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，先根据题意得出x3=（﹣2a3b2）3是解答此题的关键．16．计算：（3m﹣n+p）（3m+n﹣p）= ．【考点】平方差公式；完全平方公式．【专题】计算题．【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式计算即可得到结果．【解答】解：原式=9m2﹣（n﹣p）2=9m2﹣n2+2np﹣p2．故答案为：9m2﹣n2+2np﹣p2【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= ．【考点】因式分解-分组分解法．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．18．观察，分析，猜想：1×2×3×4+1=52；2×3×4×5+1=112；3×4×5×6+1=192；4×5×6×7+1=292；n（n+1）（n+2）（n+3）+1= ．（n为整数）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2，4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2，得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2，（n≥1）．【解答】解：∵1×2×3×4+1=[（1×4）+1]2=52，2×3×4×5+1=[（2×5）+1]2=112，3×4×5×6+1=[（3×6）+1]2=192，4×5×6×7+1=[（4×7）+1]2=292，∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2．故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2．【点评】此题考查了数字的变化规律，解答本题的关键是发现规律为n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2（n≥1），一定要通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．三、解答题（共46分）19．通过对代数式的适当变形，求出代数式的值．（1）若x+y=4，xy=3，求（x﹣y）2，x2y+xy2的值．（2）若x=，y=，求x2﹣xy+y2的值．（3）若x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．（4）若m2+m﹣1=0，求m3+2m2+2014的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】（1）将（x﹣y）2通过配方法转化成（x+y）2，x2y+xy2因式分解即可；（2）利用配方法转化成=（x+y）2﹣3xy即可；（3）根据整式的乘法把式子展开即可；（4）先把m2+m﹣1=0，变形为m2=1﹣m．把m3+2m2+2014变形为m2（m+2）+2014=（1﹣m）（m+2）+2014即可；【解答】解：（1）（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2=x2+2xy+y2﹣4xy=（x+y）2﹣4xy42﹣4×3=4，x2y+xy2=xy（x+y）=3×4=12，（2）x2﹣xy+y2=（x+y）2﹣3xy=（++﹣）2﹣3（+）（﹣）=（2）2﹣3×2=28﹣6=22（3）（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1=2x2﹣3x+1﹣（x2+2x+1）+1=x2﹣5x+1=3+1=44）由m2+m﹣1=0，得m2=1﹣m．把m3+2m2+2014=m2（m+2）+2014=（1﹣m）（m+2）+2014=m﹣1﹣m+2+2014【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．20．已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．【考点】同底数幂的乘法．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出即可．【解答】解：2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．21．利用因式分解计算：1﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002+1012．【考点】因式分解的应用．【分析】先把原式变形为1+32﹣22+52﹣42+…+1012﹣1002，再因式分解得1+（3+2）+（5+4）+…+（101+100），然后进行计算即可．【解答】解：1﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002+1012=1+32﹣22+52﹣42+…+1012﹣1002=1+（3+2）（3﹣2）+（5+4）（5﹣4）+…+（101+100）（101﹣100）=1+（3+2）+（5+4）+…+（101+100）==5151．【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是平方差公式，关键是对要求的式子进行变形，注意总结规律，得出结果．22．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题．【分析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=x2﹣2x﹣x2+1=﹣2x+1，当x=10时，原式=﹣2×10+1=﹣19．【点评】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．23．利用分解因式说明：（n+5）2﹣（n﹣1）2能被12整除．【考点】因式分解的应用．【分析】将原式因式分解，结果能被12整除即可．【解答】解：因为（n+5）2﹣（n﹣1）2=n2+10n+25﹣（n2﹣2n+1）=12（n+2），所以（n+5）2﹣（n﹣1）2能被12整除．【点评】考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有12的因数相乘的形式．24．观察下列等式：1×=1﹣，2×=2﹣，3×=3﹣，…（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式﹣第二个因数，即n ×=n ﹣；（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．【解答】解：（1）猜想：n ×=n ﹣；（2）证：右边===左边，即n ×=n ﹣．【点评】主要考查：等式找规律，难点是怎样证明，不是验证．此题隐含着逆向思维及数学归纳法的思想．21。
华师大版数学八年级上册第12章《整式的乘除》复习教案
华师大版数学八年级上册第12章《整式的乘除》复习教案第12章整式的乘除一、知识结构二、【方法指导与教材延伸】(一)同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个幂运算，特别是同底数幂相乘的法则是学习整式乘法的基础，其他的如：后面的多项式乘以多项式是转化变成单项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式，最后转化为同底数幂相乘，所以我们要熟练掌握其法则：1．同底数幂的相乘的法则是：底数不变，指数相加.即a m·a n＝a m＋n，幂的乘方法则是：底数不变，指数相乘.即(a m)n＝a m n，积的乘方法则是：积的乘方等于乘方的积.即(a b)n＝a n b n，同底数幂的相除的法则是：底数不变，指数相减.即a m÷a n＝a m-n2．其中m、n为正整数，底数a不仅代表具体的数，也可以代表单项式、多项式或其他代数式.3．幂的乘方法则与同底数幂的相乘的法则有共同之处，即运算中底数不变，但不同之处一个是指数相乘，一个是指数相加4．这三个幂运算相互容易混淆，出现错误，在初学时要注意辨明“同底数幂”、“幂的乘方”、“积的乘方”等基本概念，对公式的记忆要联系相应的文字表述，运用法则计算时，要注意识别是同底数幂的相乘、幂的乘方还是积的乘方，法则中各字母分别代表什么？再对照法则运算.（二）整式的乘法1．单项式与单项式相乘：由单项式与单项式法则可知，单项式与单项式相乘实为完成三项工作：(1)系数相乘的积作为积的系数；(2)同字母的指数相加的和作为积中这个字母的指数；(3)只在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积中的一个因式.单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立.2．单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，实际上是转化为单项式与单项式相乘：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋m b＋mc 单项式与多项式相乘，结果是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同. 3．多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，实际上是先转化为单项式与多项式相乘，即将一个多项式看成一个整体，即(m＋n)(a＋b)＝a(m＋n)＋b(m＋n)，再用一次单项式与多项式相乘，得(m＋n)(a＋b)＝ma＋n a＋m b＋b n.多项式乘以多项式其积仍是多项式，积的次数等于两个多项式的次数之和，积的项数在末合并同类项之前等于两个多项式项数之和.（三）乘法公式1．“两数和乘以它们的差等于这两个数的平方差”即(a＋b)(a－b)＝a2－b2，应用这个乘法公式计算时，应掌握公式的特征：①公式的左边是两个二项式相乘；并且这两个二项式中有一项是完全相同的项a，另一项是相反数项b；②公式的右边是相同项的平方a2减去相反数项的平方b2.公式中的a和b，可以是单项式，也可以是多项式或具体数字.2．“两数和的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍”.即(a ＋b)2＝a2＋2ab＋b2.要理解公式的特征：①公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式.公式的适用范围：公式中的a和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；任何形式的两数和(或差)的平方都可以运用这个公式计算.。
华东师大版八年级上册数学第12章 《整式的乘除》教案
课题单项式除以单项式【学习目标】1．掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用；2．了解单项式除以单项式的运算原理；【学习重点】单项式除以单项式的运算法则及其应用；【学习难点】探索单项式与单项式相除的运算法则的过程，并加以理解和领会．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．知识链接：同底数幂的除法法则：a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数)．同底数幂相除，底数不变，指数相减．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．情景导入生成问题1．同底数幂除法的法则是什么？2．计算：(1)a10÷a3＝a7；(2)y7÷y6＝y；(3)105÷105＝1;__ (4)y3÷y3＝1．自学互研生成能力知识模块一单项式除以单项式的法则阅读教材P39～P40，完成下面的内容：1．填一填：(1)2a·4a2＝8a3；(2)2x·3xy＝6x2y；(3)2×103×(3×102)＝6×105.对照(1)(2)(3)题，根据除法的意义填空：(4)8a3÷2a＝4a2；(5)6x2y÷3xy＝2x；(6)(6×105)÷(3×102)＝2×103．2．试一试：你能由上述计算方法计算下列各式吗？①8ab3÷2ab＝4b2；②6x3y÷3xy＝2x2；③12a5÷3a2＝4a3；④16a3b2÷4ab2＝4a2．3．再思考：21a5c÷3a2＝________，对此题中的c该怎么办？解：原式＝7a3c.题中的c照写．4．想一想：单项式除以单项式的程序是怎样的？知识链接：1.单项式乘以单项式的法则；2．乘法和除法互为逆运算，加法和减法互为逆运算；3．应用法则应注意：(1)要明确两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些只是在一个单项式里出现的字母；(2)被除式单独含有的字母及指数作为一个因式，不要遗漏．方法指导：整式的混合运算同实数的混合运算一样，有括号的先算括号内的运算；没有括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减．计算的过程中能合并同类项的要合并同类项．行为提示：在进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方的混合运算时，要遵循各自的运算规则，不要相互混淆，然后注意运算顺序的先后和底数的统一．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．5．归纳：单项式除以单项式法则：一般地，单项式与单项式相除，分别把系数、同底数幂相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．范例：计算：(1)－21x 2y 4÷(－3xy 3)；(2)3x 4y 5÷⎝⎛⎭⎫－23xy 2；(3)(4×109)÷(－2×104)； 解：(1)原式＝－21÷(－3)x 2－1y 4－3＝7xy ；(2)原式＝3÷⎝⎛⎭⎫－23x 4－1y 5－2＝－92x 3y 3； (3)原式＝4÷(－2)×109－4＝－2×105. 仿例：计算：(1)63x 7y 3÷7x 3y 2； (2)－25a 6b 4c ÷10a 4b. 解：(1)原式＝9x 4y; (2)原式＝－52a 2b 3c.变例：填空：(1)－12ab 2c 3＝4b ×(－3abc 3)； (2)⎝⎛⎭⎫－37a 2b 2c ÷3ab 2c ＝－17a. 知识模块二 单项式的混合运算 范例1：计算：(1)(6xy 2)2÷3xy; (2)－16(x 3y 4)3÷⎝⎛⎭⎫－12x 4y 52.解：(1)原式＝36x 2y 4÷3xy ＝12xy 3; (2)原式＝－16x 9y 12÷14x 8y 10＝－64xy 2.仿例1：(1)(－4a 2b)2÷2ab 2；(2)(2xy)2·⎝⎛⎭⎫－15x 5y 3z 2÷(－2xy 2z)2. 解：(1)原式＝16a 4b 2÷2ab 2＝8a 3；(2)原式＝－45x 7y 5z 2÷4x 2y 4z 2＝－15x 5y.范例2：已知8a 3b m ÷28a n b 2＝27b 2，求3m －4n 的值．解：因为8a 3b m ÷28a n b 2＝27a 3－n b m －2，又因为8a 3b m ÷28a n b 2＝27b 2，所以27a 3－n b m －2＝27b 2.对比系数，则有3－n ＝0，m －2＝2，解得m ＝4，n ＝3，所以3m －4n ＝0. 仿例2：已知(－3x 4y 3)3÷⎝⎛⎭⎫－32x n y 2＝－mx 8y 7，求m ，n 的值． 解：因为(－3x 4y 3)3÷⎝⎛⎭⎫－32x n y 2＝18x 12－n y 7， 又因为(－3x 4y 3)3÷⎝⎛⎭⎫－32x n y 2＝－mx 8y 7， 所以18x 12－n y 7＝－mx 8y 7.对比系数，则有－m ＝18，12－n ＝8.所以m ＝－18，n ＝4.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 单项式除以单项式的法则 知识模块二 单项式的混合运算检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 单项式与单项式相乘【学习目标】1．在具体情境中理解并掌握单项式乘法的意义； 2．能够熟练地利用法则进行单项式的乘法运算；3．体验探究数学问题的过程，体验转化的思想方法，提升学习的动力源． 【学习重点】单项式乘单项式的乘法法则产生的过程及其应用． 【学习难点】理解运算法则及其探索过程．行为提示：创设问题情境导入，激发学生的求知欲望．引导学生得出该长方体的体积为：4xy ·3x ，继续追问：你会算4xy·3x吗？同学们愿意和老师一起来研究这个问题吗？知识链接：1.长方体的体积公式：V＝长×宽×高．2．幂的运算性质．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学法指导：计算步骤：(1)系数相乘作为积的系数；(2)相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加；(3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；(4)单项式与单项式的积仍是单项式．思路点拔：范例1的两个小题，可利用乘法交换律、结合律变形而成：数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母或系数照抄．情景导入生成问题1．问题引入一个长方体底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少？该长方体的体积为：4xy·3x＝12x2y．2．温故知新(1)同底数幂的乘法运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．一般形式：a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)；(2)幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；一般形式：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．(3)积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．一般形式：(ab)n＝a n·b n(n是正整数)．自学互研生成能力知识模块一探究单项式与单项式相乘的法则阅读教材P25～P26，完成下面的内容：1．相信我能行：请同学们根据幂的运算性质及乘法交换律、结合律计算：4xy·3x＝4·xy·3·x＝(4·3)·(x·x)·y＝12x2y．2．计算：(1)2x3·5x5；(2)3x2y5·(－2xy2z)．解：(1)2x3·5x5＝(2×5)(x3·x5)＝10x8；(2)3x2y5·(－2xy2z)＝3×(－2)·(x2·x)·(y5·y2)·z＝－6x3y7z.归纳：单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只有一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．范例1：计算：(1)3x2y·(－2xy3)；(2)(－5a2b3)·(－4b2c)．解：(1)原式＝[3·(－2)]·(x2·x)·(y·y3)＝－6x3y4；(2)原式＝[(－5)·(－4)]·a2·(b3·b2)·c＝20a2b5c.范例2：卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒，卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？解：7.9×103×3×102＝23.7×105＝2.37×106(米)．答：卫星运行3×102秒所走的路程约是2.37×106米．仿例：计算：(1)(－3x2y2z3)·(－2x3y3)；(2)－6x2y(a－b)·2xy2(b－a)2.解：(1)原式＝6x5y5z3；(2)原式＝－12x3y3(a－b)3.知识模块二创设情境理解单项式相乘的几何意义问题讨论：(1)边长是a的正方形的面积是a·a，反过来说a·a表示什么？a·ab又怎样理解呢？解：a·a可以看作a与a的积；a·ab可以看作a、a、b的积．(答案不唯一)(2)想一想，你会说明a·a，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？解：a·a可以看作边长为a的正方形的面积；a·ab可以看作高是a，底面长和宽分别为a、b的长方体的体积；3a·5ab可以看作高是3a，底面长和宽分别为5a、b的长方体的体积．(答案不唯一)行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究单项式与单项式相乘的法则知识模块二创设情境理解单项式相乘的几何意义检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题单项式与多项式相乘【学习目标】1．理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；2．会熟练地进行单项式与多项式相乘的计算；3．经历探索单项式与多项式相乘的法则的过程，发展具有条理的思考及语言表达能力．【学习重点】单项式与多项式的相乘法则产生的过程及其应用．【学习难点】单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．方法指导：1.单项式与多项式相乘的实质是利用分配律把单项式乘以多项式转化为单项式乘法．2．单项式与多项式相乘时，分两个阶段：(1)按分配律把单项式与多项式的乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；(2)单项式的乘法运算．情景导入生成问题1．回忆幂的运算性质：a m·a n＝a m＋n．(m，n都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(a m)n＝a mn．(m，n都是正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘；(ab)n＝a n b n．(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．练一练：判断正误(不对的并加以改正)．(1)4a2·2a3＝8a6；(×)8a5(2)(ab)2(ab3)＝a3b5; (√)(3)(－2x2)3xy2＝8x7y2. (×)－8x7y2自学互研生成能力知识模块一探究单项式与多项式相乘的法则阅读教材P27，完成下面的内容：1．相信我能行：问题一：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？回答下列问题：(1)分析题意，可得出两种解法：方法一：先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m(a＋b＋c)元；方法二：先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma＋mb＋mc元；(2)思考：根据(1)中两种方法得到的结果表示同一个量，可列等式：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(3)思考：乘法分配律与(2)中的结论有什么关系？(2)中的结论可以运用乘法分配律得到．学法指导：1.单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律；2．单项式与多项式相乘，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，注意不要漏乘项； 3．积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定．知识链接：梯形的面积公式：S ＝12(上底＋下底)×高．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．问题二：观察右边的图形，回答下列问题：(1)大长方形的长为b ＋c ＋d ，宽为a ，面积为a(b ＋c ＋d)；(2)三个小长方形的面积分别表示为ab ，ac ，ad ，大长方形的面积＝ab ＋ac ＋ad ； (3)思考：根据(1)(2)中的结果中可列等式：ab ＋ac ＋ad ＝a(b ＋c ＋d)； (4)思考：这一结论与乘法分配律有什么关系？ 这一结论可以运用乘法分配律得到．想一想：根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加． 知识模块二 单项式与多项式相乘的法则的灵活运用 范例1：计算：(1)2a 2·(3a 2－5b)；(2)(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3)． 解：(1)原式＝(2a 2·3a 2)－(2a 2·5b)＝6a 4－10a 2b ； (2)原式＝(－2a 2)·3ab 2＋(－2a 2)·(－5ab 3)＝－6a 3b 2＋10a 3b 3. 仿例：计算：(1)(－4x 2)(3x ＋1)；(2)⎝⎛⎭⎫23ab 2－2ab ·12ab ；(3)―2a 2·⎝⎛⎭⎫12ab ＋b 2―5a ·(a 2b －ab 2)． 解：(1)原式＝(－4x 2)·3x ＋(－4x 2)×1＝－12x 3－4x 2； (2)原式＝23ab 2·12ab －2ab·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2；(3)原式＝－a 3b －2a 2b 2－5a 3b ＋5a 2b 2＝－6a 3b ＋3a 2b 2.范例2：一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b)米，坝高12a 米．(1)求防洪堤坝的横断面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？ 解：(1)防洪堤坝的横断面积：S ＝12[a ＋(a ＋2b)]×12a ＝14a(2a ＋2b)＝12a 2＋12ab(平方米)．答：防洪堤坝的横断面积为⎝⎛⎭⎫12a 2＋12ab 平方米． (2)堤坝的体积：V ＝⎝⎛⎭⎫12a 2＋12ab ×100＝50a 2＋50ab(立方米)． 答：这段防洪堤坝的体积是(50a 2＋50ab)立方米．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究单项式与多项式相乘的法则 知识模块二 单项式与多项式相乘的法则的灵活运用 仿例(3，法二)：解：原式＝－(a 3b ＋2a 2b 2)－(5a 3b －5a 2b 2) ＝－a 3b －2a 2b 2－5a 3b ＋5a 2b 2 ＝－6a 3b ＋3a 2b 2.检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 多项式除以单项式【学习目标】1．掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用； 2．了解多项式除以单项式的运算原理．【学习重点】多项式除以单项式的运算法则及其应用． 【学习难点】探索多项式与单项式相除的运算法则的过程，并加以理解和领会．行为提示：创设问题情境导入，激发学生求知欲望．知识链接：单项式除以单项式法则：单项式与单项式相除，分别把系数、同底数幂相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点．方法指导：1.除法与乘法互为逆运算，除以一个数等于乘以这个数的倒数． 2．应用法则时需注意：(1)法则本质是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式；(2)多项式除以单项式，所得到的商的项数和多项式的项数相同，当被除式的项与除式相同时，商是1，不能把“1”漏掉；(3)在多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的过程中，要特别注意结果的符号；(4)要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础．学法指导：除式系数为分数时，要特别注意改写为倒数与被除式各项系数相乘．情景导入 生成问题 1．同底数幂的除法法则是什么？ 2．单项式除以单项式的法则是什么？ 3．计算：(1)－12a 5b 3c ÷(－4a 2b)；(2)(－5a 2b)2÷5a 3b ；(3)4(a ＋b)7÷(a ＋b)3. 解：(1)3a 3b 2c ；(2)5ab ；(3)4(a ＋b)4.自学互研 生成能力知识模块一 探索多项式除以单项式的法则 阅读教材P 40～P 41，完成下面的内容： 1．根据除法的意义算一算(ax ＋bx)÷x ：(ax ＋bx)÷x 就是要求一个式子，使它与x 的乘积是ax ＋bx. 因为(a ＋b)x ＝ax ＋bx ，所以(ax ＋bx)÷x ＝a ＋b ． 2．根据除法与乘法的关系算一算(ax ＋bx)÷x ： (1)把除法算式a÷m 转化为乘法算式是a ×1m ；(2)借用上述方法算一算(ax ＋bx)÷x.解：(ax ＋bx)÷x ＝(ax ＋bx)×1x ＝ax ×1x ＋bx ×1x ＝a ＋b.3．寻找新方法计算(ax ＋bx)÷x. 解：(ax ＋bx)÷x ＝ax÷x ＋bx÷x ＝a ＋b. 新方法对吗？分析如下：(ax ＋bx)÷x ＝(ax ＋bx)×1x ＝ax ×1x ＋bx ×1x ＝ax÷x ＋bx÷x ．∴(ax ＋bx)÷x ＝ax÷x ＋bx÷x.4．归纳：多项式除以单项式的法则是：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 范例：计算：(1)(6x 3y 2－7x 4y)÷xy ；(2)⎝⎛⎭⎫0.3a 2b －13a 3b 2－16a 4b 3÷(－0.5a 2b)． 解：(1)原式＝6x 3y 2÷xy －7x 4y ÷xy ＝6x 2y －7x 3；(2)原式＝0.3a 2b ÷(－0.5a 2b)－13a 3b 2÷(－0.5a 2b)－16a 4b 3÷(－0.5a 2b)＝－35＋23ab ＋13a 2b 2.仿例：计算：(1)(x 5y 3－2x 4y 2＋3x 3y 5)÷⎝⎛⎭⎫－23xy ； (2)(－12x 3y 3z ＋6x 2yz 3－3xy 3z 2)÷(－3xyz)． 解：(1)原式＝－32x 4y 2＋3x 3y －92x 2y 4；(2)原式＝4x 2y 2－2xz 2＋y 2z. 知识模块二 整式的混合运算范例：计算：⎣⎡⎦⎤（－3a 3x ）2·x 3＋15a 2·（3ax 2）3·5a ÷35ax 2. 解：原式＝⎝⎛⎭⎫9a 6x 2·x 3＋15a 2·27a 3x 6·5a ÷35ax 2 ＝(9a 6x 5＋27a 6x 6)÷35ax 2＝15a 5x 3＋45a 5x 4.学法指导：1.这个算式是两个单项式乘积的代数和，再除以一个单项式．可以先作单项式的乘法，把问题归结为多项式除以单项式的运算；2．整式的混合运算同实数的混合运算一样，有括号的先算括号内的运算；没有括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减．计算的过程中，能合并同类项的要合并同类项．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间． 仿例：计算：(1)⎣⎡⎦⎤（－3ab ）2·a 3－2a·（3ab 2）3·12b ÷9a 4b 2； 解：原式＝⎝⎛⎭⎫9a 2b 2·a 3－2a·27a 3b 6·12b ÷9a 4b 2 ＝(9a 5b 2－27a 4b 7)÷9a 4b 2＝a －3b 5；(2)[(2x ＋y)2－y(y ＋4x)－8x]÷2x.解：原式＝(4x 2＋4xy ＋y 2－y 2－4xy －8x)÷2x＝(4x 2－8x)÷2x＝2x －4.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索多项式除以单项式的法则知识模块二 整式的混合运算检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 多项式与多项式相乘【学习目标】1．探索多项式与多项式相乘的乘法法则；2．会熟练地进行整式的乘法运算；3．通过对乘法法则的探索、归纳与描述，发展具有条理的思考及语言表达能力．【学习重点】多项式与多项式的相乘法则及应用．【学习难点】探索多项式与多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算．知识链接：1.单项式与单项式相乘的法则：单项式和单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式；2．单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．学法指导：三个多项式相乘，可先将其中两个相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘．学法指导：解这类题目，应把等式左右两边的项化成对应的同类项，然后再比较同类项的系数．也可以抓住对应项成立的条件，采用取特殊值法求解．学法指导：变例：(1)多项式展开后不含x项，说明展开后x项的系数为0；(2)要使代数式的值与x的取值无关，则多项式展开后应为常数．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．情景导入生成问题1．单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则是什么？2．计算：(－3ab)·(－4b2)＝12ab3；－6x(x－3y)＝－6x2＋18xy；(2x2y)3·(－4xy2)＝－32x7y5；－5x(2x2－3x＋1)＝－10x3＋15x2－5x．自学互研生成能力知识模块一探究多项式与多项式相乘的法则阅读教材P27～P29，完成下面的内容：1．相信我能行：问题：某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示现在林地的面积．(1)现在长方形林地的长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，面积为(m＋n)(a＋b)平方米；(2)如图：这块林地由四个小块组成，它们的面积分别表示为ma，mb，na，nb，故现在这块林地的面积＝ma ＋mb＋na＋nb；(3)思考：根据(1)(2)中的结果可列等式：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb；(4)思考：这一结论与乘法分配律有什么关系？将(m＋n)(a＋b)运用乘法分配律展开可得到ma＋mb＋na＋nb．2．概括：多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：(a＋m)(b＋n)＝ab＋an＋bm＋mn．范例：计算：(3x4－3x2＋1)(x4＋x2－2)解：原式＝3x4(x4＋x2－2)＋(－3x2)(x4＋x2－2)＋(x4＋x2－2)＝3x 8＋3x 6－6x 4－3x 6－3x 4＋6x 2＋x 4＋x 2－2＝3x 8－8x 4＋7x 2－2.知识模块二 多项式与多项式的综合应用范例：要使x(x 2＋a)＋3x －2b ＝x 3＋5x ＋4成立，则a 、b 的值分别为多少？解：原式变形，得x 3＋(a ＋3)x －2b ＝x 3＋5x ＋4.比较系数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝5，－2b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.变例：(1)已知多项式(mx ＋8)(2－3x)展开后不含x 项，求m 的值；(2)试说明：代数式(2x ＋3)(6x ＋2)－6x(2x ＋13)＋8(7x ＋2)的值与x 的取值无关．解：(1)原式＝2mx －3mx 2＋16－24x ＝－3mx 2＋(2m －24)x ＋16，∵展开后不含x 项，∴2m －24＝0，即m ＝12.(2)原式＝12x 2＋4x ＋18x ＋6－12x 2－78x ＋56x ＋16＝22为常数，∴原代数式的值与x 的取值无关．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究多项式与多项式相乘的法则知识模块二 多项式与多项式的综合应用范例：法二解：当x ＝0时，有－2b ＝4，则b ＝－2；当x ＝1时，有1＋a ＋3－2b ＝1＋5＋4则a ＝2.检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
整式的乘除八年级上册数学知识点
整式的乘除八年级上册数学知识点
一、整式的乘法：
1. 同底数相乘：将各项的系数相乘，底数相乘，并将指数相加得到新的指数。
2. 不同底数相乘：将各项的系数相乘，并将底数相乘得到新的底数。
3. 括号法则：对于带有括号的整式，使用分配率进行展开，然后合并同类项。
二、整式的除法：
1. 长除法：按照长除法的步骤进行计算，将除数乘以合适的倍数，依次减去被除数，并将减法结果作为商的系数。
2. 短除法：在除数和被除数的每一项上分别除以一个公因式，得到商式，然后再按照长除法的步骤进行计算。
3. 余式：整式的除法中，被除式除以除数得到的商式和余式，即表示被除式能不能整除除数，商式表示商，余式表示余数。
4. 最大公因式：求两个多项式的最高公因式，可以使用因式分解、综合除法等方法进行求解。
三、整式的因式分解：
1. 公因式提取法：找到各项的最大公因式，并提取出来，剩下的部分作为新的因式。
2. 公式法则：利用二次方差、完全平方公式、立方差和立方和等公式进行因式分解。
四、整式的展开与配方法：
1. 分配率：利用分配率将整式展开成多个单项式的和。
2. 配方法：对于特定形式的整式，使用配方法进行展开，例如二次三角恒等式、完全平方式等。
以上是八年级上册数学中关于整式的乘除的知识点，希望对你有帮助！。