CT平行束和扇形束算法的转换 ppt课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行束和扇形束算法的转换
16级 曹婷婷、敖经盛 2017年7月
CT平行束和扇形束算法的转换
1
•平行束图像重建(FBP) •扇形束图像重建
CT平行束和扇形束算法的转换
2
平行束图像重建
•1、图像重建的基本原理 CT中用探测器测量X射线透过人体后的强度值，
即为X射线与人体相互作用后沿某一方向的线积 分（投影）。
2 0m CT平行束和扇形束算法的转换
17
斜坡滤波器卷积核的一个特殊性质：
h(D' sin)D' sin2h()
证明过程如下：斜坡滤波卷积核的定义是
h(t) ei2td
不加窗时成立，加窗时 会使重建不精确
1 2 m f(r ,) g (,
20 m
)CTD 平行s ( 束和'扇 i形'束 n ) 算2 法) 的转2 (换h (')D co dd s
CT平行束和扇形束算法的转换
15
利用 ,sD sin 将平行束的变量dsdθ换成扇形束的变量dγdβ，
其中雅克比因子为 J Dcos ，这样可得
f(r,)12p(s,)h(rco s()s)dsd 变成
20
f(r , ) 1 2 2 0 m m g (,)h (rc o s ( ) D si)D n co d d s
Q(,)
•（3）求 Q(,的) 以 为变量的以为傅里叶反变换，得到
q(s,)
CT平行束和扇形束算法的转换
6
f(x,y) F(u,v)e2i(u xvy)dudv
将直角坐标（u，v）转换成极坐标（w, θ）.
uwcos
vwsin
雅各比行列式为
u u
J
w v
v
cos sin
wsin wcos w
w
故 dudvwdw d
则
2
f(x,y) Fpol(a w,r )e2iw (xco sysin)wdwd
00
CT平行束和扇形束算法的转换
7
具体的推导
2
f (x, y) Fpola(r,)e2i(xcosysin)dd
00
因为Fpola(r,) Fpola(r, )，所以
f (x, y) Fpola(r,)e2i(xcosysin)dd 0
18
1 2 m
f(r ,) g (,
20 m
)D s (' i' n )2)2 (h (')D co dd s
f(r, )2 0 (D 1 ')2 //2 (2c)o g(s, )h fa (n')dd
CT平行束和扇形束算法的转换
19
2 1 /2
4
通过转动投影方向，可以得到各个方向上傅立叶变换的特定截面，从而 获得整个二维平面的傅立叶变换，最后由傅立叶逆变换得到重建的图像
CT平行束和扇形束算法的转换
5
平行束图像重建
滤波反投影法（FBP) •（1）求投影数据 p(s,)的以s为变量的一维傅里叶变换， 得到 P(,) •（2）对 P(,乘) 以斜波滤波器的传递函数 ，得到
11
CT平行束和扇形束算法的转换
12
CT平行束和扇形束算法的转换
13
等角度扇形重建算法
• 出发点是平行束的FBP的算法推导，但是要用极 坐标 (r,)，而不是直角坐标系（x,y）的表达式， 所以要对坐标进行替换：
x r c,o y r s s, i x c n o y ss ir c n o )s , (
f(r),0(D ')2 /(2 c)o g(s,
)h fa (n')dd
假如我们现在想重建某（点 r , ) 的值，我们先确定一个β，即确定了源的位置，
由于重建点的位置也是确定的，故D΄和γ΄均为确定的值。然后用卷积核 h fan 对
不同γ角的信号进行卷积。 当这个 β 角度的卷积完成后，
根据中心切片定理，可以用P来代替F:
f(x,y) P( , ) e2i(xco sysin )dd 0
其中
是斜坡滤波器的传递函数
CT平行束和扇形束算法的转换
8
令q(s) P(w,) we2iw(xcosysin)dw
w滤波
则f (x, y) q(s) sxcosysind
0
背投影
CT平行束和扇形束算法的转换源自文库
14
x r c,o y r s s, i x c n o y ss ir c n o )s , (
已知平行束重建算法为：
f(x,y)p(s,)h(xco sysin s)ds d 0
转化为极坐标后得：
f(r,)1 22 0 p(s,)h(rco s()s)dsd
对这一部分利用几何关系化简
CT平行束和扇形束算法的转换
16
rcos( )Dsin rcos( )cos rsin( )sin Dsin
Dsincos rsin( )Dsin
Dsincos Dcossin Dsin()
f(r,
12 m ) g (,
)h (D 'si'n ( )D )co dd s
滤波 q(s) ： p(t)e2iw dt twe2iw ds w
交换积分次序：
q(s) p(t)we2iw(st)dwdt
p(t)h(st)dt
卷积的形式
-
h(st) we2iw(st)dw
卷积核
最终的形式：
CT平行束和扇形束算法的转换
9
扇形束图像重建
• 对于平行束成像，我们用中心切片定理推导出 了一些图像重建的算法。对于扇形束成像，并没 有相应的中心切片定理。
•x射线扫描通过路径后
其中P为投影值
i 1lnI0 P
d In
基本出发点是：寻求衰减系数 μ 分布。
CT平行束和扇形束算法的转换
3
P ( ,) F ( c o , s s i)n
中心切片定理: 二维图像的一维投影（线积分）的傅立叶变换，恰好等于图像本身 的二维傅立叶变换的一个特定截面。
CT平行束和扇形束算法的转换
• 转换的思路： • 把所有的扇形束射线放在一起进行分组，把
互相平行的射线分为一组，这样就把扇形束的成 像问题简化为平行束的成像问题。
CT平行束和扇形束算法的转换
10
CT平行束和扇形束算法的转换
对与扇形束成像，我们 并没有相应的中心切片 定理。我们只好想个别 的办法来推导扇形束的 图像重建算法。这个办 法就是把扇形束的成像 问题转化成平行光束的 成像问题，把平行光束 图像重建的算法修正一 下然后应用于解决扇形 束的成像问题中。
16级 曹婷婷、敖经盛 2017年7月
CT平行束和扇形束算法的转换
1
•平行束图像重建(FBP) •扇形束图像重建
CT平行束和扇形束算法的转换
2
平行束图像重建
•1、图像重建的基本原理 CT中用探测器测量X射线透过人体后的强度值，
即为X射线与人体相互作用后沿某一方向的线积 分（投影）。
2 0m CT平行束和扇形束算法的转换
17
斜坡滤波器卷积核的一个特殊性质：
h(D' sin)D' sin2h()
证明过程如下：斜坡滤波卷积核的定义是
h(t) ei2td
不加窗时成立，加窗时 会使重建不精确
1 2 m f(r ,) g (,
20 m
)CTD 平行s ( 束和'扇 i形'束 n ) 算2 法) 的转2 (换h (')D co dd s
CT平行束和扇形束算法的转换
15
利用 ,sD sin 将平行束的变量dsdθ换成扇形束的变量dγdβ，
其中雅克比因子为 J Dcos ，这样可得
f(r,)12p(s,)h(rco s()s)dsd 变成
20
f(r , ) 1 2 2 0 m m g (,)h (rc o s ( ) D si)D n co d d s
Q(,)
•（3）求 Q(,的) 以 为变量的以为傅里叶反变换，得到
q(s,)
CT平行束和扇形束算法的转换
6
f(x,y) F(u,v)e2i(u xvy)dudv
将直角坐标（u，v）转换成极坐标（w, θ）.
uwcos
vwsin
雅各比行列式为
u u
J
w v
v
cos sin
wsin wcos w
w
故 dudvwdw d
则
2
f(x,y) Fpol(a w,r )e2iw (xco sysin)wdwd
00
CT平行束和扇形束算法的转换
7
具体的推导
2
f (x, y) Fpola(r,)e2i(xcosysin)dd
00
因为Fpola(r,) Fpola(r, )，所以
f (x, y) Fpola(r,)e2i(xcosysin)dd 0
18
1 2 m
f(r ,) g (,
20 m
)D s (' i' n )2)2 (h (')D co dd s
f(r, )2 0 (D 1 ')2 //2 (2c)o g(s, )h fa (n')dd
CT平行束和扇形束算法的转换
19
2 1 /2
4
通过转动投影方向，可以得到各个方向上傅立叶变换的特定截面，从而 获得整个二维平面的傅立叶变换，最后由傅立叶逆变换得到重建的图像
CT平行束和扇形束算法的转换
5
平行束图像重建
滤波反投影法（FBP) •（1）求投影数据 p(s,)的以s为变量的一维傅里叶变换， 得到 P(,) •（2）对 P(,乘) 以斜波滤波器的传递函数 ，得到
11
CT平行束和扇形束算法的转换
12
CT平行束和扇形束算法的转换
13
等角度扇形重建算法
• 出发点是平行束的FBP的算法推导，但是要用极 坐标 (r,)，而不是直角坐标系（x,y）的表达式， 所以要对坐标进行替换：
x r c,o y r s s, i x c n o y ss ir c n o )s , (
f(r),0(D ')2 /(2 c)o g(s,
)h fa (n')dd
假如我们现在想重建某（点 r , ) 的值，我们先确定一个β，即确定了源的位置，
由于重建点的位置也是确定的，故D΄和γ΄均为确定的值。然后用卷积核 h fan 对
不同γ角的信号进行卷积。 当这个 β 角度的卷积完成后，
根据中心切片定理，可以用P来代替F:
f(x,y) P( , ) e2i(xco sysin )dd 0
其中
是斜坡滤波器的传递函数
CT平行束和扇形束算法的转换
8
令q(s) P(w,) we2iw(xcosysin)dw
w滤波
则f (x, y) q(s) sxcosysind
0
背投影
CT平行束和扇形束算法的转换源自文库
14
x r c,o y r s s, i x c n o y ss ir c n o )s , (
已知平行束重建算法为：
f(x,y)p(s,)h(xco sysin s)ds d 0
转化为极坐标后得：
f(r,)1 22 0 p(s,)h(rco s()s)dsd
对这一部分利用几何关系化简
CT平行束和扇形束算法的转换
16
rcos( )Dsin rcos( )cos rsin( )sin Dsin
Dsincos rsin( )Dsin
Dsincos Dcossin Dsin()
f(r,
12 m ) g (,
)h (D 'si'n ( )D )co dd s
滤波 q(s) ： p(t)e2iw dt twe2iw ds w
交换积分次序：
q(s) p(t)we2iw(st)dwdt
p(t)h(st)dt
卷积的形式
-
h(st) we2iw(st)dw
卷积核
最终的形式：
CT平行束和扇形束算法的转换
9
扇形束图像重建
• 对于平行束成像，我们用中心切片定理推导出 了一些图像重建的算法。对于扇形束成像，并没 有相应的中心切片定理。
•x射线扫描通过路径后
其中P为投影值
i 1lnI0 P
d In
基本出发点是：寻求衰减系数 μ 分布。
CT平行束和扇形束算法的转换
3
P ( ,) F ( c o , s s i)n
中心切片定理: 二维图像的一维投影（线积分）的傅立叶变换，恰好等于图像本身 的二维傅立叶变换的一个特定截面。
CT平行束和扇形束算法的转换
• 转换的思路： • 把所有的扇形束射线放在一起进行分组，把
互相平行的射线分为一组，这样就把扇形束的成 像问题简化为平行束的成像问题。
CT平行束和扇形束算法的转换
10
CT平行束和扇形束算法的转换
对与扇形束成像，我们 并没有相应的中心切片 定理。我们只好想个别 的办法来推导扇形束的 图像重建算法。这个办 法就是把扇形束的成像 问题转化成平行光束的 成像问题，把平行光束 图像重建的算法修正一 下然后应用于解决扇形 束的成像问题中。