第六章 一阶电路

第六章 一阶电路
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
§6-2一阶电路的零输入响应
（一）教学目标
1． 了解产生过渡过程的电路及原因，
2． 掌握“稳态”与“暂态”的概念与分析方法的区别， 3． 掌握换路定理，应用于一阶电路初始值的计算；
4． 掌握一阶电路的概念，零输入响应的概念以及求解方法。

（二）教学难点
1． 本课程以往的内容全部是稳态电路的分析，本章首先要使学生建立电路中存在“过
渡过程（暂态）”的思想及掌握其产生原因（包括外部原因与内部原因）。

2． 一阶电路初始值计算的分析核心为换路定理，学生必须掌握这一分析思路。

3． 一阶电路零输入响应的物理实质为储能元件的放电过程，其响应曲线为按指数衰减
的形式。

4． 时间常数反映了电路零输入响应的衰减快慢，它与电路的元件组成有关。

（三）教学思路
1． 首先，以自然界中火车的启停需要过渡时间段加减速作类比，强化学生关于特定电
路在状态发生改变时同样存在“过渡过程”概念的理解，并引出电路过渡过程的研究变量。

2． 通过对换路和换路定理概念及物理意义的解释，明确电路过渡过程初始值的计算依
据。

3． 零输入响应的分析先从定性角度让学生明白其物理实质，然后借助数学方法推导出
其数学表达式。

课程内容中物理意义的分析比起定量分析更加重要。

（四）教学内容和要点
一、“稳态”与 “暂态”的概念: 产生过渡过程的电路及原因?
无过渡过程 I 电阻电路
I
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。

过渡过程产生的原因
1. 内因：电路内部含有储能元件L 、M 、C
2. 外因：电路结构发生变化
稳
态
暂
态
换路发生很长时间
换路刚发生i L 、u C 随时间变化代数方程组描述电路
微分方程组描述电路
I L 、U C 不变)(L
C I U 、
稳态分析和暂态分析的区别
t
C
u 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为：
20
2
1cu idt u W t
C =
=
⎰
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。

i
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：
202
1Li dt ui W t
L =
=⎰因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。

E
电感电路
求初始值的步骤
1. 由换路前电路（稳定状态）求u C (0-) 和i L (0-)。

2. 由换路定律得u C (0+) 和i L (0+)。

3. 画0+等值电路（纯电阻电路）。

电容（电感）用电压源（电流源）替代。

取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向。

4. 由0+电路求所需各变量的0+值。

四、一阶电路的概念： 1．定义：
根据电路规律列写电压、电流过渡过程的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一个储能元件。

） 2．电路状态：
换路前电路中的储能元件均未贮存能量，称为零状态 ；反之为非零状态。

电路中无电源激励（即输入信号为零）时，为零输入；反之为非零输入。

4． 电路的响应：
零输入响应：在零输入的条件下，由非零初始状态引起的响应，为零输入响应；此时， 可以被视为一种“输入信号”。

零状态响应：
在零状态的条件下，由激励信号产生的响应为零状态响应。

全响应：
储能元件上的储能和电源激励均不为零时的响应，为全响应。

五、RC 电路的零输入响应(放电过程) 1. 定性分析：
合上开关后，电容上的初始储能开始通过电阻释放， 能量逐渐减少，最终能量释放完毕，过渡过程结束。

2.
由数学分析，其解的形式为指数。

设： 根据电路条件，最后得到
（五）采用的教学方法和手段
C )0(+L i )0(+c u pt
C u Ae
=0t
- RC
c 0u =U e
t ∴≥
教学方法：讲述法、举例类比法
教学手段：多媒体投影系统（五）本节课小结
§6-3一阶电路的零状态响应
§6-4一阶电路的全响应
（一）教学目标（包括学科知识性目标，教育目标）
5．理解一阶电路零状态响应的物理意义，掌握其求解方法，
6．理解一阶电路全响应的物理意义，掌握其求解方法。

7．熟练掌握一阶电路分析的三要素法。

（二）教学难点
5．一阶电路零状态响应的物理实质为储能元件的充电过程，状态变量的响应曲线为由零初始值沿指数增加趋于稳态值的形式。

6．一阶微分方程的特解的物理意义为由外加激励决定的电路稳态响应值，通常取换路后的新稳态值作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量。

7．一阶微分方程对应的齐次微分方程的通解，其物理意义为反映电路变量初始值与稳态值差异的过渡过程中随时间变化的值，又称为暂态分量或自由分量。

8．一阶电路全响应的分析方法可以采用两种分解方式，要求掌握其不同的意义。

9．根据对所有一阶电路的分析，掌握其求解规律关键在于状态变量的初始值、稳态值及电路的时间常数，因此引入一阶电路分析普遍适用的三要素法。

（三）教学思路
5．零状态响应的分析先从定性角度让学生明白其物理实质，然后借助数学方法推导出其数学表达式。

课程内容中物理意义的分析比起定量分析更加重要。

6．根据学习零输入响应与零状态响应的知识与一阶微分方程分析方法，引入全响应的分析。

7．总结一阶电路零输入响应、零状态响应与全响应的求解，引出一阶电路分析的关键三个要素：状态变量的初始值、稳态值及电路的时间常数，得到普遍适用的三要素法。

通过举例，说明三要素法中各要素求解的方法及注意事项。

（四）教学内容和要点
所以该方程的特解为： 其对应的齐次微分方程的通解为： 综上， 二、R -L 电路的零状态响应：
解得：
要点：暂态过程的快慢取决于时间常数τ。

τ 越大，过渡过程曲线变化越慢，状态变量达到
稳态所需要的时间越长。

RC 电路 τ = RC , RL 电路 τ = L /R 。

三、一阶电路的全响应及其两种分解方式 1. 全响应 = 强制分量(稳态响应)+自由分量(暂态响应)
根据对一阶电路全响应微分方程形式的分析，发现它是一个非齐次微分方程。

因此其通解可分为两部分：非齐次微分方程的特解，其意义为外加电源引起的稳态响应；对应齐次微分方程的通解，其意义为状态变量初始值与稳态值差异引起的指数形式的时变过程量。

这种分解方式侧重于从数学概念上加以分析。

2. 全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
根据前面关于一阶电路零输入响应与零状态响应的知识，发现引起电路过渡过程可能有两个作用因素：外加电源或者储能元件的非零初始能量。

因此在一阶电路全响
C
C du RC
u E dt
+=由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
方程的特解
⇒C u'对应齐次方程的通解
⇒C u"即
C
C C u u t u "')(+=
C
一、R -C 电路的零状态响应：
这是一个一阶常系数非齐次微分方程
+ –
u L L +Ri L = U S
dt
d L i ()()=∞=C C u't u E ())
1 (0t t
RC RC c u E Ee E e t --=-=-≥t
RC
C
u"Ee -=-(1)
R t S
L L U i e R
-=-
应的分析中我们分别考虑这两个因素产生的影响，即分别考虑零状态响应（外加电源引起）与零输入响应（储能元件的非零初始能量引起）。

这种分解方式侧重于从电路响应的因果关系上分解分析。

四、一阶电路暂态分析的三要素法
利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。

只要是一阶线性电路，就可以用三要素法。

三要素法求解过渡过程要点：
（五） 采用的教学方法和手段
教学方法：讲述法、举例类比法 教学手段：多媒体投影系统
（六） 本节课小结
RC
t C C C C
C C e
u u u u"u't u -+∞-+∞=+=)]()0([)()(根据经典法推导的结果：
τ
t
e
f f f t f -+
∞-+∞=)]()0([)()(
C
u 稳态值
初始值
)
0(+f )(∞f 时间常数τ
其中三要素为
分别求初始值、稳态值、时间常数；
将以上结果代入过渡过程通用表达式；
画出过渡过程曲线（由初始值→稳态值）（电压、电流随时间变化的关系）
.
. .
§6-5一阶电路的阶跃响应 §6-6一阶电路的冲激响应
（一） 教学目标（包括学科知识性目标，教育目标）
8． 理解单位阶跃函数的概念及一阶电路单位阶跃响应的物理意义，掌握其求解方法，
9． 理解单位冲激函数的概念及一阶电路单位冲激响应的物理意义，掌握其求解方法。

（二） 教学难点
10． 解释清楚单位阶跃函数与单位冲激函数这两个新的数学概念及其物理意义。

11．
一阶电路单位冲激响应的物理意义的解释。

（三） 教学思路
8． 单位阶跃函数与单位冲激函数是两个新的数学定义，在电路理论学习中要通过相关
电路或类比的方法揭示出其物理意义。

9． 通过单位阶跃函数与开关动作加入电源的类比，揭示出单位阶跃响应的实质即电路
的零状态响应。

10． 通过将单位脉冲函数取极限得到单位冲激函数，与自然界中闪电这一能量有
限、但作用时间极短的物理现象的数学类比表示出其物理意义。

然后引出电路单位冲激响应的物理意义；表示出电路换路一瞬间由单位冲激电源给储能元件充电，之后电路无外加电源的放电过程。

（四） 教学内容和要点
二、单位冲激函数与一阶电路的单位冲激响应：
一、单位阶跃函数与一阶电路的单位阶跃响应： 1、单位阶跃函数的定义：
≤⎧⎨
≥⎩-+
0t 0ε(t)=1
t 0
2. 电路对于单位阶跃输入的零状态响应称为单位阶跃响应。

因此，对于单位阶跃响应的分析采用零状态响应的分析方法即可。

阶跃函数（开关函数）表示的等效电路：
2、单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应。

（五） 采用的教学方法和手段
教学方法：讲述法、举例类比法
教学手段：多媒体投影系统
（六） 本节课小结
1.单位冲激函数的定义：
00()0
t t t δ≠⎧=⎨
∞
=⎩()1
t dt δ∞
-∞=⎰
单位冲激函数δ(t )的产生：由单位脉冲函数 f (t ) 取极限得到。

δ
t
1→∞ t 在 0
- 0+间
1)(00
00===∆⎰⎰+
-+
-dt t dt i q c δC
u c 1)0(=
+)(
t R
u dt du C
c
c δ=+u c 不可能是冲激函数 , 否则KCL 不成立
物理解释：分二个时间段来考虑冲激响应 i u C 0- 0+ 0+ ∞ t
零输入响应
u C (0)=0 电容充电 1
)]0()0([=--
+c c u u C )
0(-C u 电容中的冲激电流使电容电压发生跳变
（转移电荷）
1
)]0()0([=--+c c u u C。