第3章 受拉构件及索汇总

第3章受拉构件及索
教学提示：本章讲述了受拉构件的可能破坏形式和影响因素，轴心受拉构件的强度和长细比拉弯构件的强度和变形，索的力学性质和分析方法。

教学要求本章让学生了解受拉构件的可能破坏形式和影响因素，了解索的力学性质和分析方法。

重点让学生了解和掌握轴心受拉构件的强度和长细比拉弯构件的强度和变形的概念及相关计算。

3.1 受拉构件的可能破坏形式和影响因素
受拉构件是指只承受轴向拉力的构件。

受拉构件的破坏一般经历以下几个阶段：首先，截面中的拉应力达到材料的屈服点；其次，受拉构件进入塑性变形，出现明显的伸长；随后材料进入强化阶段，构件截面上的拉应力继续增加；最后，当拉应力达到材料的抗拉强度后，受拉构件被拉断。

由于受拉构件在拉断之前会出现明显的伸长，因此很容易被觉察并采取措施加以避免。

受拉构件的破坏常发生在地震灾害或不恰当的使用过程中，如在受力的受拉构件上施加电焊。

受拉构件的这类破坏称为结构的强度破坏，综上所述可以看出结构强度破坏时会出现明显变形，因此也称塑性破坏或延性破坏。

3.2轴心受拉构件的强度和长细比
3.2.1轴心受拉构件的强度计算
1、截面无削弱时的强度
无孔洞等削弱的轴心受拉构件，轴心力作用使截面引起均匀的受拉正应力，以全截面刚达到屈服应力为强度极限状态。

因为这时构件塑性变形很大，已达到不适于继续承载的
状态。

在强度计算中，要求构件内力设计值N 除以毛截面面积A 得到的应力不应超过钢材抗拉强度设计值f ，即
N /A f σ=≤ (3-1)
2、截面有削弱时的强度
有孔洞等削弱的轴心受拉构件，在孔洞处截面上的应力分布是不均匀的，在靠近孔边处产生应力集中现象，应力高于平均应力。

但当应力高的纤维达到屈服应力后，轴心力继续增加，截面发展塑性变形，应力渐趋均匀。

到达极限状态时，净截面上的应力为均匀屈服应力。

这时钢结构设计规范GB50017-2003规定的强度计算要求为：构件内力设计值N 除以净截面面积An 得到的应力σ不应超过钢材强度设计值f ，即
n N /A f σ=≤ (3-2)
式中A n 等于毛截面面积扣除孔洞截面面积。

这里指出一点：有孔洞等削弱的构件的净截面应力到达均匀屈服时，构件总变形比毛截面到达屈服应力时小；如果以后者作为承载力极限状态，则按前者将偏保守。

目前有些国家采用“毛截面屈服”和“净截面断裂”作为强度计算准则。

对于单面连接的单角钢轴心受拉构件，连接偏心引起弯矩，使角钢受附加应力，因此规范GB50017-2003规定，单面连接的单角钢按轴心受力计算强度时，钢材强度的设计值应乘以折减系数0.85。

3、受拉构件的有效净截面
进行受拉构件强度计算时，取净截面面积。

净截面位置一般在构件的拼接处或构件两端的节点处。

在有些连接构造中，净截面不一定都能充分发挥作用。

在图3.1所示连接构造，工字形截面上、下翼缘和腹板都有拼接板，力可以通过腹板、翼缘直接传递，因此这种连接构造净截面全部有效。

然而如图3.2的连接构造，仅在工字形上、下翼缘设有连接件，当力接近连接处时，截面上应力从均匀分布转为不均匀分布。

1-1截面上净截面不能全部发挥作用。

设计虽仍可按均匀分布，但应采用有效净截面面积A e 。

设该处净截面面积为A n ，则它们之比称为净截面效率，其表达式为：
n e
A A =η (3-3)
图3.1 工字形截面全部截面连接 图3.2 工字形截面上、下翼缘连接 根据试验资料，净截面的效率与下列因素有关：
（1）连接长度L （如图3.2a ）；连接长度L 愈大，净截面的效率η也愈大。

（2）连接板至构件截面形心距离a（如图3.3）；当a愈大，则净截面的效率η愈小。

这是因为截面愈分散应力分布愈不均匀，η也就愈小。

图3.3 截面材料分布情况
净截面的效率η可按下式计算：
l
a
-
=1
η
(3-4) 受拉构件主要由强度控制，构件最危险截面应为截面最薄弱处，即截面连接处，其验算公式为：
n
N
f
A
η
≤
(3-5) 从上式可以看出，如连接构造不合理，会使受拉构件截面不能充分发作用。

因此，在节点连接中应尽量避免产生使η降低的构造。

关于η取值问题，各国规范都不统一，还需作进一步分析研究。

3.2.2轴心受拉构件的长细比
轴心受拉构件的刚度通常用长细比来衡量，长细比是构件的计算长度l0与构件截面的
回转半径i的比值，即
l/i
λ=。

λ愈小，表示构件刚度愈大，反之则刚度愈小。

长细比过大会使构件在使用过程中容易由于自重发生挠曲，在动力荷载作用下容易产生振动，在运输和安装过程中容易产生弯曲。

因此设计时应使构件长细比不超过规定的容许长细比[]λ。

计算构件长细比时，应分别考虑绕截面两个主轴即x轴和y轴的长细比λx和λy，应都不超过规定的容许长细比[]λ：
[]x ox x l /i λλ=≤ (3-6a)
[]y oy y l /i λλ=≤ (3-6b)
式中l ox 、l oy 、i x 、i y 分别为绕截面主轴即x 轴和y 轴的构件计算长度和截面回转半径。

构件计算长度l o (l ox 、l oy )取决于其两端支承情况。

例如，两端铰接时l o 等于构件几何长度l ,即l o ＝l ；一端铰接一端固定时l 0=0.7l 。

关于计算长度的意义将在第四章中阐述。

下表为钢结构设计规范GB50017-2003规定的受拉构件容许长细比。

表3.1受拉构件容许长细比
注：1.承受静力荷载的结构中，可仅计算受拉构件在竖向平面内的长细比。

2.在直接或间接承受动力荷载的结构中，计算单角钢受拉构件的长细比时，应采用角钢的最小回转半径，但计算在交叉点相互连接的交叉杆件平面外的长细比时，可采用与角钢肢边平行轴的回转半径。

3.中、重级工作制吊车桁架下弦杆的长细比不宜超过200。

4.在设有夹钳或刚性料耙等硬钩吊车的厂房中，支撑（表中第2项除外）的长细比不宜超过300。

5.受拉构件在永久荷载与风荷载组合作用下受压时，其长细比不宜超过250。

6.跨度等于或大于60m 的桁架，其受拉弦杆和腹杆的长细比不宜超过300（承受静力荷载或间接承受动力荷载）或250（直接承受动力荷载）。

3.3拉弯构件的强度和变形
拉弯构件是指构件不仅承受轴向拉力还承受弯矩。

它分为单向拉弯和双向拉弯。

3.3.1拉弯构件的强度
c ）；全截面进入塑性（图
d ），此时达到承载能力的极限状态。

由全塑性应力图形（图d ），根据内外力的平衡条件，即由一对水平力H 所组成的力偶应与外力矩M X 平衡，合力N 应与外轴力平衡，可以获得轴心力N 和弯矩M X 的关系式。

为了简化，取w h h ≈。

令f w A A α=，则全截面面积()w A 21A α=+。

内力的计算分为两种情况：
(1) 当中和轴在腹板范围内（w y N A f ≤）时，
()()w y w y N 12ht f 12A f ηη=-=- (3-7)
()()
2x f y w y w y M A hf A f 1h A hf ηηαηη=+-=+- (3-8) 消去以上二式中的η，并令()p y w y
N Af 21A f α==+，()PX PX y W W y M W f A h 0.25A h f α==+()W y 0.25A hf α=+⨯，则得N 和M X 的相关公式：
()2
2X 2P PX 21M N 141N M αα+⋅+=+ （3-9） (2) 当中和轴在翼缘范围内（W y N A f >）时，按上述相同方法可以导得：
()X P PX
M N 411N 221M αα++⋅=+ （3-10）
时的相关曲线。

此曲线是外凸的，但腹板面积A W 较小（即f W A /A α=较大）时，外凸不多。

为了便于计算，同时考虑到分析中没有考虑附加挠度的不利影响，规范采用了直线式相关公式，即用斜直线代替曲线(图3.5中的虚线)：
X P PX M N 1N W += （3-11）
令P n y N A f =，并令PX X nX y M W f γ=，再引入抗力分项系数后，得规范规定的拉弯构件的强度计算式：
X n X nX M N f A W γ±≤ （3-12）
上式也适用于单轴对称截面，弯曲正应力一项带有正负号，计算时应使两项应力的代数和的绝对值最大。

承受双向弯矩的拉弯构件，规范采用了与上式相衔接的线性公式：
y X n X nX y ny M M N f A W W γγ±±≤ （3-13）
式中A n ——净截面面积
W nx 、 W ny ——对x 轴和y 轴的净截面模量
x γ、y γ——截面塑性发展系数
对需要计算疲劳的拉弯构件，宜取x y 1.0γγ==，即不考虑截面塑性发展，按弹性应力状态计算。

3.3.2拉弯构件的刚度
拉弯构件承受轴向拉力和弯矩，当弯矩不大时，构件以轴向拉力为主，它的刚度要求同轴心受拉构件，即
[]0max max
l i λλ⎛⎫
=≤ ⎪⎝⎭ (3-14) 当弯矩较大时，不仅应计算构件长细比是否满足要求，还要进行挠度计算，计算时可
例1 图3.6600KN ，横向均钢。

解 x ＝401cm 3，i x ＝10.2cm ，i y ＝2.40cm 。

构件截面最大弯矩M x ＝（5+0.38×1.2）×7.22 /8＝35.35KN.m 。

验算强度：X n X nX M N A W γ+＝36223
6001035351020774851010540110..N /mm ..⨯⨯+=⨯⨯⨯<f =215N/mm 2 验算长细比：λx ＝720/10.2＝70.6， λy ＝720/2.40＝300<[λ]=350
满足。

3.4索的力学性质和分析方法
索在工程中应用较为广泛，如斜拉桥上的拉索，或悬索桥中的缆索，桅杆结构中的纤绳，预应力锚索等等。

3.4.1截面形式
索一般采用高强度钢丝组成的钢绞线、钢丝绳或钢丝索，也可采用圆钢筋。

圆钢筋的强度较低，但由于直径较大，抗锈蚀能力较强，如图3.7(a)。

图3.7 索的截面型式
钢绞线由经热处理的优质低碳素钢经多次冷拔的钢丝组成，如图3.7（b）。

钢绞线型式有（1+6）、（1+6+12）、（1+6+12+18），它们分别为1层、2层和3层等。

多层钢丝与其相邻的内层钢丝捻向相反。

常用钢丝直径为4-6mm。

钢丝绳通常由七股钢绞线捻成，如图3.7（c）所示，以一股钢绞线作为核心，外层的六股钢绞线沿同一方向缠绕，其标记为7×7，有时用两层钢绞线，其标记为7×19，以此类推有7×37等。

后者表示一股由几根钢丝组成。

钢丝索由平行的钢丝组成，钢索由19、37、61根直径为4-6mm 的钢丝组成。

3.4.2单索的受力分析
1．基本假定
（1）索是理想柔性的，既不能受压，也不能抗弯。

这是因为索的截面尺寸与索的长度相比十分微小，截面抗弯刚度很小，可以忽略。

（2）索的材料符合虎克定律。

高强度钢索在加载初期存在一定的松弛变形，随后基本上呈直线变化，当接近材料极限强度时，才显示曲线性质。

由于钢索在使用前都需施加预应力，一般可消除初始非弹性变形，在很大范围内应力和应变呈正比。

2．索的平衡方程
（1）受沿水平均布荷载作用的索
图3.9 在q作用下索的受力
图3.9（a）表示沿水平承受一均布荷载q作用的索AB。

在索上切出一微段，其水平长度为d x，索的张力为T，水平分力为H，d x微段单元上的内力和外力如图3.9（b）所示。

由平衡条件可知：
X 0=∑ dH dx 0dx
= （3-15）
Z 0=∑
d dz H dx qdx 0dx dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
(3-16) 由式（3-16）得 22d z q dx H
=- （3-17） 积分两次得
212q z x c x c 2H
=-++ （3-18） 上式是一条抛物线，将图3-9（a ）的边界条件代入式（3-18），得
()q c z x l x x 2H l
=
-+ (3-19) 设索中点（l x 2=）处的最大挠度为f ，中点的坐标z c 为c c z f 2=+，代入式（3-19）得索的挠度与水平张力关系式为：
2
ql H 8f
= (3-20) 索的曲线方程为：
()4fx l x c z x l l
-=+ (3-21) 当A 、B 两点等高时，C=0，上式可写成
()4fx l x z l
-=
(3-22) 索各点的张力为：
T = (3-23) 当f l ≤0.1 时，2
dz dx ⎛⎫→ ⎪⎝⎭
0，可取 T ≈H (3-24)
（2） 受沿索长均布荷载作用的索
图3.10均布荷载q 沿索长分布
图3.10表示沿索长承受一均布荷载q 作用的索AB 。

将沿索长均布荷载q 等效为沿水平均布的荷载q x ，则有
2
x ds dz q q q 1dx dx ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
(3-25) 将上代入式（3-17），经积分后得： H
2x z cosh cosh q l βαα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ (3-26) 式中1c l sinh sinh βαββ-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， ql 2H β= 当A 、B 两点等高时，c=0，ql 2H
αβ==，则式（3-26）可写成 H
qx z cosh cosh q H αα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ (3-27) 设跨中垂直度为 f ，当l x 2
=， z=f ，由式(3-27)得 []H f cosh 1q
α=- (3-28) 式（3-26）为一悬链线曲线。

比较式（3-27）与（3-22），当f 相同且f l
<0.1时，两条曲线的坐标很接近。

由于悬链线曲线表达式较复杂，因此，一般索分析中都采用抛物线曲线而不采用悬链线曲线。

3． 索的长度计算
索的长度s 可由索的微段长度积分而得，由图3.10（b ）可知：
2
22dz ds dx dz 1dx dx ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
(3-29)
2
B
l
A
dz s ds 1dx dx ⎛⎫
=
=+ ⎪⎝⎭
⎰
⎰
(3-30) 将上式中的2
dz 1dx ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
按幂级数展开，取前二项得
2
l
01dz s 1dx 2dx ⎛⎫
⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰ (3-31)
将式(3-21)代入式(3-31)得索的长度s 为
2222c 8f s l 12l
3l ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭ (3-32)
当A 、B 两点等高，即 c=0 ，则上式可写成
228f s l 13l ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭ (3-33)
式（3-32）和式（3-33）适用于小垂度，即
f
l
≤0.1。

对式（3-32）两边求导得： 3l
df ds 16f
=
(3-34) 当
f
l
=0.1时，df 1.875ds =，说明较小索长变化将引起显著的垂度变化。

4． 索的变形协调方程
图3.11索的变形
图3.11所示为一索由初始状态AB 变位到最终状态A B '' 的情况，索的始态承受的初始均布荷载为q 0 ，索的初始形状为z 0 ，初始水平力为H 0；索的终态承受的均布荷载为q （q=q 0+q 1，q 1 为另加荷载），终态形状为z ，终态水平力为H 。

由索的几何伸长和内力引起伸长相等，得：
22
l 00B A 0H H dz 1dz l u u dx tl EA 2dx dx α∆⎡⎤
-⎛⎫⎛⎫=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎰ (3-35) 式中u A ，u B —— A 、B 支座节点的水平位移；
t ∆——温差；
α——索的线膨胀系数。

式（3-35）为索的变形协调方程。

当不考虑支座位移和温差变化影响，由式（3-33）得：
22
22l 000220dz 8f 1dz 8f dx s s l 112dx dx 3l 3l ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎰ ＝22
0f f 83l
- (3-36) 将式（3-36）代入式（3-35），可得：
()2
2002
EA 8H H f f l 3
-=
- (3-37) 由式（3-20），上式可写成：
222
00220q EAl q H H 24H H ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
(3-38) 当不考虑初始荷载作用，上式可写成：
2202
EAl q H H 24H -= (3-39)
从式（3-38）、（3-39）可看出是一个三次方程式，需用迭代法求解索的最终拉力。

3.4.3单索的简化计算
索的受力随索的变形而变化，具有很强的非线性，为了简化索的计算，可以引用折算刚度的概念，通过反复迭代确定其精度。

这种计算可用只能受拉不能受压的直线拉杆代替索。

索单元的折算刚度可由式（3-35）推出。

如不考虑温度影响，由式（3-35）可得
()2320
B A 0220q l l q l u u H H EA 24H H ∆⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭
(3-40) 由式（3-40）可解得索的内力增量与变形增量的关系：
()02
222200202
2
00EA
1
H H H l l
q EAl q H H q 124H H H H ∆∆=-=
⎛⎫- ⎪⎝⎭+- (3-41)
因为
f
l
很小，T ≈H ，则上式可写成： ()02
22220
002200
EA
1
T T T l l
q EAl q T T q 124T T T T ∆∆=-=
⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+- (3-42)
因此索单元的折算刚度为：
s T EA
K c l l
∆∆=
= (3-43) ()2
22220002200
1
c q EAl q T T q 124T T T T =
⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+- (3-44)
当
q
q =1.0时，则上式可写成： ()22
002201
c EAl q T T 124T T =
++
(3-45) 设T 1≈T 0则上式可写成：
22
03
01
c EAl q 112T =
+
(3-46) 上式即为近似的索单元折算刚度系数。

思考题
1、轴心受拉构件的刚度不影响其承栽能力，为什么要验算刚度？ 2．为什么轴心受力构件强度验算用净截面，刚度验算却用毛截面? 3、轴心受拉构件按强度极限状态是什么？ 4、实腹式轴心受拉构件计算的内容哪些？ 5、一根截面面积为A ，净截面面积为A n 的构件，在拉力N 作用下的强度计算公式是什么？
习题 1、如图1中下弦扦采用单角钢L140×10，杆件计算长度oy l =ox l =6m 。

构造见图。

问AB 扦是否安全。

2、如图2所示析架，AB 杆采用2L100×63×8．钢材采用Q235A ，d f =215N ／mm 2，杆件计算长度oy l ＝12m ，ox l =6m 。

在C 节点处设有安装孔，孔径为0d =21.5mm 。

承受节点荷载P=720kN ，验算下弦杆AB 是否安全。

1 2
3、验算图示用摩擦型高强度螺柱连接的节点强度。

螺栓直径20mm ，孔径22mm ，钢材为Q235AF ，承受轴心拉力N ＝600kN(设计值)。

第4章轴心受压构件。