高中数学理科综合测试卷(必修1~5,选修2-1,2-2,2-3)
高中数学必修1-5综合测试题及答案详解(优秀经典测试卷)

高中数学必修1-5测试卷 总分共150分,考试时间为2个小时一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1. 已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈,,,则M N =A .{0,1}B .{10}-,C .{1,0,1}-D .{2,1,0,1,2}-- 2. 圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为A.(2 , 0) , 4B. (2 , 0) , 2C.( 2 , 0) , 4-D. ( 2 , 0) , 2-3. 已知实数列1,a ,b ,c ,2成等比数列,则abc 等于( )A .4 B .±4 C .22 D .±224. 函数()442-+-=x x x f 在区间[]3,1上( )A.没有零点B.只有一个零点C.有两个零点D.以上选项都错误5.右图所示的程序框图,若输入的, , a b c 分别为21, 32,75,则输出的, , a b c 分别是A .75,21, 32B .21, 32, 75C .32,21,75D .75, 32, 216.已知a ,b 满足:||3a =,||2b =,||4a b +=,则||a b -=( )A .3B .5C .3D .107. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图,则组成此几何体的长方体木块块数共有A .3块B .4块C .5块D .6块8. 圆2220x y y +-=与圆222360x y x +--=的位置关系是A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离9. 从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射试验,若采取每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取的5枚导弹的编号可能是A. 1, 2, 3, 4, 5B. 2, 4, 6, 16, 32C. 3, 13, 23, 33, 43D. 5, 10, 15, 20, 2510. 某校1 000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示. 规定不低于90分为优秀等级,则该校学生优秀等级的人数是A. 300B. 150C. 30D. 15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11. 若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线430x y -=和x 轴相切,则该圆的标准方程是 12. 假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标,现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽样本时,先将500袋牛奶按000,01,…,499进行编号,如果从随机数表第八行第四列的数开始按三位数连续向右读取,请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号: .(下面摘取了随机数表第七行至第九行)84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 2067663016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 2387933211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 2795413. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ,且与直线0x y += 垂直的直线方程是 .14.关于函数()4sin(2),()3f x x x R π=+∈有下列命题: ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数;②()y f x =可改写为4cos(2)6y x π=-; ③()y f x =的图象关于(,0)6π-对称;④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称;其中正确的序号为 。
高二理科数学试题(必修5+选修2―1)人教A版

高二理科数学试题(必修5+选修2―1)人教A版高二理科数学试题第一卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的。
1.命题:“如果x?2,那么?2?x?A,如果x?2,那么x?C,如果x?222”,反命题为“是”2,或x??2b若x?2或x??2,则x2?22或x??2,那么x2?2D如果?2.十、2,那么x2?二ba11?d?22ababab2.非零实数a,b,若a?b,则下列不等式正确的是aa?bba|c|?b|c|c223.哪里?在ABC中,角度a和B的对边分别是a和B,如果3A?2bsina,则B等于以下函数中的a30b60c30或150d60或1204,当x为正时,2的最小值为()a.y=x+41b.y?lgx?xlgxc.y?x2?1?1x2?1d.y=x2-2x+35.已知{an}是一个算术序列,A10?8.前10项和S10?60,则其公差D为a2424bc?d3933x2y2?1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x?2y?0,f1,f2分别6.设p是双曲线2?9a是其左、右焦点,若|pf1|?3,则|pf2|?A1或5b6c7d97已知x?0,y?0和2x?8岁?xy?0,然后是x?Y的最小值为a8b16c18d20高二理科数学试题第1页(共4页)8.序列1,1111,,,…,的前2021项的和1?21?2?31?2?3?41?2n2021202140162021abcd曲线C的方程是f(x,y)?0,点P(x1,Y1)在曲线C上,而Q(X2,Y2)不在曲线C上,那么方程f(x,y)?f(x1,y1)?f(x2,y2)?0表示的曲线与曲线c的关系是A没有交叉点B有一个交叉点C有两个交叉点D有无限多个交叉点10在哪里?在ABC 中,a=120°,SINB:sinc=3:2,三角形面积为63,那么边长a=a219b27c19d711,如果序列{an}是等比序列,A2?1.如果前n项之和为Sn,则S3的取值范围为a(??,1]b(??,0)?(1,??)c[3,??)d(??,?1]?[3,??)x2y212。
(2021年整理)高二数学理科(必修5、选修2-1)测试卷一

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新化十二中2014—2015学年度第一学期高二理科数学期末综合测试卷(一) 一、选择题1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( ) A.错误! B .2 C 。
错误! D.错误!2.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于( ) A .40 B .42 C .43 D .453.若不等式ax 2+8ax +21<0的解集是{x |-7〈x 〈-1},那么a 的值是( )A .1B .2C .3D .44.(2010年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则错误!=( ) A .11 B .5 C .-8 D .-115.若x 、y 是正实数,则(x +y )错误!的最小值为( )A .6B .9C .12D .156.已知A (2,-5,1),B (2,-2,4),C (1,-4,1),则向量错误!与错误!的夹角为( )A .30° B.45° C.60° D.90°7.设命题p :∃x ∈Z ,使x 2+2x +m ≤0,则¬p 是( )A .∃x ∈Z ,使x 2+2x +m 〉0 B .不存在x ∈Z ,使x 2+2x +m 〉0 C .对于∀x ∈Z ,都有x 2+2x +m ≤0 D .对于任意x ∈Z ,都有x 2+2x +m >08.若点P 在椭圆错误!+y 2=1上,F 1、F 2分别是椭圆的两焦点,且∠F 1PF 2=60°,则△F 1PF 2的面积是( )A .2B .1 C.错误! D 。
高中数学人教A版选修2-1-2-2--2-3综合测试(含答案)高二数学理科

高二下学期数学期末考试试卷(理)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.在某项测量中,测量结果X 服从正态分布)0)(,1(2>σσN ,若X 在)2,0(内取值的概率为8.0,则X 在),0[+∞内取值的概率为A .9.0B .8.0C .3.0D .1.0 2.曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积为 A . 4- B .2- C .2 D .4 3. 若复数z 满足 (1)i z i +⋅=,则z 的虚部为 A . 2i -B .12C .2iD . 12- 4.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的反设为A .自然数c b a ,,都是奇数B .自然数c b a ,,都是偶数C .自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D .自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 5.已知在一次试验中,()0.7P A =,那么在4次独立重复试验中,事件A 恰好在前两次发生的概率是A .0441.0B .2646.0C .1323.0D .0882.06.某单位为了制定节能减排的目标,先调查了用电量y (单位:度)与气温x (单位:c ︒)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:x (单位:c ︒) 17 14 10 1- y (单位:度)24 343864由表中数据得线性回归方程:a x y +-=2.当气温为c ︒20时,预测用电量约为 A.20 B. 16 C.10 D.57.从6,5,4,3,2,1这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有2 和3时,2必须排在3前面(不一定相邻),这样的三位数有 A.108个 B.102个 C.98个 D.96个 8.在吸烟与患肺病这两个事件的统计计算中,下列说法正确的是A.若2χ的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5% 的可能性使得推判出现错误; D.以上三种说法都不正确.9.有6个座位连成一排,安排3个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有A.36种B.60种C.72种D.80种10.一个袋子里装有编号为12,,3,2,1K 的12个相同大小的小球,其中1到6号球是红色球,其余为黑色球.若从中任意摸出一个球,记录它的颜色和号码后再放回到袋子里,然后再摸出一个球,记录它的颜色和号码,则两次摸出的球都是红球,且至少有一个球的号码是偶数的概率是A .163B . 41C .167D .4311.若函数x cx x x f +-=232)(有极值点,则实数c 的范围为A .),23[+∞ B .),23(+∞ C .),23[]23,(+∞--∞Y D .),23()23,(+∞--∞Y 12.下列给出的命题中:①如果三个向量,,不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序数组z y x ,,使c z b y a x p ++=.②已知)1,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(C B A O .则与向量和都垂直的单位向量只有)36,66,66(-=n . ③已知向量,,可以构成空间向量的一个基底,则向量可以与向量+和向量-构成不共面的三个向量.④已知正四面体OABC ,N M ,分别是棱BC OA ,的中点,则MN 与OB 所成的角为4π. 是真命题的序号为A .①②④B .②③④C .①②③D .①④二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 13.函数52)(24--=x x x f 在]2,1[-上的最小值为_____________________.14.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知0,01514><S S ,则=n _____时此数列的前n 项和取得最小值.15.已知长方体1111D C B A ABCD -中,E AD AA AB ,2,11===为侧面1AB 的中心,F 为11D A 的中点,则=⋅1FC EF .16.在数列}{n a 中,2,121==a a 且)()1(12*+∈-+=-N n a a n n n ,则=50S .三、解答题:本大题共6小题,共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知n x x )2(32+的展开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是2:7. (Ⅰ)求展开式中含211x 项的系数; (Ⅱ)求展开式中系数最大的项.18.(本小题满分12分)为培养高中生综合实践能力和团队合作意识,某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛. (Ⅰ)求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在第六位的概率;(Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为X ,求X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)观察下列等式11= 第一个式子 9432=++ 第二个式子 2576543=++++ 第三个式子 4910987654=++++++ 第四个式子照此规律下去(Ⅰ)写出第6个等式;(Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.20. 已知点B (2,0),)22,0(=,O 为坐标原点,动点P 满足34=++.(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)当m 为何值时,直线l :m x y +=3与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ,且满足BN BM =?(Ⅲ)是否存在直线l :)0(≠+=k m kx y 与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ,且满足BN BM =?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分)如图,直四棱柱1111ABCD A B C D - 的底面ABCD 是平行四边形,45DAB ∠=o,12AA AB ==,AD =,点E 是 11C D 的中点,点F 在11B C 上且112B F FC =.(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面EFC ;(Ⅱ)求锐二面角E FC A --平面角的余弦值.22.(本小题满分14分)已知函数)1()(2+-+=a ax x e x f x,其中a 是常数.(Ⅰ) 当1=a 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)若)(x f 在定义域内是单调递增函数,求a 的取值范围;(Ⅲ)若关于x 的方程k e x f x+=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.高二下学期数学期末考试试卷(理)参考答案ABCC 1ED 1A 1DFB 1一.选择题: 每小题5分共60分 DD AACCA ADBDA ,, 二.填空题:13. 6- 14. 7 15.2116. 675 三:17解:(Ⅰ)解由题意知4272n n C C = ,整理得42(2)(3)n n =--,解得9n =… 2分∴ 通项公式为6279912r rr r xC T +-+⋅= 4分 令211627=+r ,解得6=r . ∴展开式中含211x 项的系数为67226969=⋅-C . ……………6分 (Ⅱ)设第1+r 项的系数最大,则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅-+----r r r r r r r r C C C C 819991019992222 ……………8分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤∴37310r r ,390=∴≤≤∈r r N r 且Θ. ……………10分∴展开式中系数最大的项为55639453762x x C T =⋅=. ……………12分18(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A , 1分则1072)(66445566=+-=A A A A A P …………3分 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为107. …………4分(Ⅱ)随机变量X 的可能取值为4,3,2,1,0 …………………5分 31)0(665522===A A A X P , 154)1(66442214===A A A C X P 51)2(6633222224===A A A A C X P ,152)3(6633222234===A A A A C X P 151)4(664422===A A A X P , (每个式子1分)…………………………10分随机变量X 的分布列为:因为 31541535215130=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ,所以随机变量X 的数学期望为34. ……………………12分 19.解:(Ⅰ)第6个等式21116876=++++K …………2分(Ⅱ)猜测第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n K …………4分 证明:(1)当1=n 时显然成立; (2)假设),1(+∈≥=N k k k n 时也成立,即有2)12()23()2()1(-=-+++++k k k k k K …………6分 那么当1+=k n 时左边)13()3()13()23()2()1(+++-+-++++=k k k k k k K2222]1)1(2[)12(8144)13()3()12()12(133)12()23()2()1(-+=+=++-=+++-+-=+++-+-++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k K而右边2]1)1(2[-+=k这就是说1+=k n 时等式也成立. …………10分 根据(1)(2)知,等式对任何+∈N n 都成立. …………12分20解:(Ⅰ)设点),(y x P ,则)22,(+=+y x ,)22,(-=-y x . 由题设得34)22()22(2222=-++++y x y x .………(3分)即点P 到两定点(0,22)、(0,-22)的距离之和为定值34,故轨迹C 是以(0,22±)为焦点,长轴长为34的椭圆,其方程为112422=+y x .……(6分) (Ⅱ)设点M ),(11y x 、N ),(22y x ,线段MN 的中点为),(000y x M ,由BN BM =得0BM 垂直平分MN . 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=.123,322y x m x y 消去y 得01232622=-++m mx x .由0)12(24)32(22>--=∆m m 得6262<<-m .………(10分)∴322210m x x x -=+=,2)32(30m m m y =+-=.即)2,32(0mm M -. 由0BM ⊥MN 得1323220-=⋅--=⋅m m k k MN BM .故32=m 为所求.(14分) (Ⅲ)若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ),(11y x 、N ),(22y x ,且满足BN BM =,令线段MN 的中点为),(000y x M ,则0BM 垂直平分MN .联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.123,12322222121y x y x 两式相减得))(())((321212121y y y y x x x x -+-=-+.∴k y x y y x x x x y y k MN=-=++-=--=0021*******)(3. 又由0BM ⊥MN 得k x y k BM 12000-=-=.∴10-=x ,k y 30=.即)3,1(0kM -.又点0M 在椭圆C 的内部,故1232020<+y x .即12)3()1(322<+-⋅k.解得1>k .又点)3,1(0kM -在直线l 上,∴m k k +-=3.∴3233≥+=+=k k k k m (当且仅当3=k 时取等号).故存在直线l 满足题设条件,此时m 的取值范围为),∞+⋃--∞32[]32,(.21(本小题满分12分)解:(Ⅰ)以A 为坐标原点,射线AB 为x 轴的正半轴,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则依题意,可得以下各点的坐标分别为1(0,0,0),(4,20)(4,2,2),(32,2),A C C E ,,,10(,2)3F 4,3. ………………3分∴ 112(42,2)(,0),(1,0,2),33AC EF EC ==-=-u u u u r u u u r u u u r ,,,∴ 112(42,2)(,0)0.33AC EF ⋅==⋅-=u u u u r u u u r ,, 1(42,2)(1,0,2)0AC EC ⋅==⋅-=u u u u r u u u r ,∴1AC EF ⊥,1AC EC ⊥.又EFC EC EF 平面⊆, ∴ 1AC ⊥平面EFC . ………………6分(Ⅱ)设向量),,(z y x n =是平面AFC 的法向量,则 AF n AC n ⊥⊥,,而)2,34,310(),0,2,4(==∴ 0234310,024=++=+z y x y x , 令1=x 得)31,2,1(--=. ………………9分又∵1AC u u u u r是平面EFC 的法向量,∴ 13869441691413244,cos 111-=++⋅++--=>=<AC n .… 11分1A所以锐二面角E FC A --平面角的余弦值为13869.………………12分 22.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由)1()(2+-+=a ax x e x f x 可得 ]1)2([)(2+++='x a x e x f x.…2分 当1a =时,e f e f 5)1(,2)1(='=所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为)1(52-=-x e e y 即035=--e y ex ……………………………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知]1)2([)(2+++='x a x e x f x,若)(x f 是单调递增函数,则0)(≥'x f 恒成立, ……………………5分即01)2(2≥+++x a x 恒成立,∴04)2(2≤-+=∆a ,04≤≤-a ,所以a 的取值范围为]0,4[-. ………………………7分(Ⅲ)令)()()(2a ax x e e x f x g x x -+=-=,则关于x 的方程k x g =)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根.令0))2(()(2=++='x a x e x g x,解得(2)x a =-+或0x =.……………9分 当(2)0a -+≤,即2a ≥-时,在区间[0,)+∞上,0)(≥'x g ,所以)(x g 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程k x g =)(在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.…………10分当(2)0a -+>,即2a <-时,)(),(x g x g '随x 的变化情况如下表由上表可知函数)(x g 在[0,)+∞上的最小值为2))2((+=+-a ea g . …………12分 因为 函数)(x g 是(0,(2))a -+上的减函数,是((2),)a -++∞上的增函数, 且当+∞→x 时,+∞→)(x g所以要使方程k x g =)(即k e x f x+=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根,k 的取值范围必须是],4(2a ea a -++.…………14分。
高中数学选修2-1、2-2综合试题

④“ x > 2 ”是“ 1 4.由直线 x = 12 D . 15B . 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)1.复数 z 的虚部记作 Im (z ),若 z= 5 1 + 2i,则 Im ( z )=( )A .2B . 2iC .-2D .-2i2.考察以下列命题:①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题,则 p 、q 均为假命题③命题 p : ∃x ∈ R ,使得 s in x > 1 ;则 ⌝p : ∀x ∈ R ,均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为( ) A .1 B .2C .3D .43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中, M 为 A C 与 B D 的交点。
1 1 111 111若 AB = a , AD = b , AA = c 则与 BM 相等的向量是()11 1 1 1A . - a + b + cB . a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C . - a - b + cD . a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为 ( )2 xA .- 2ln 2 C . 1 ln 2 45.已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M (4,y ),它到焦点 F 的距离为 5,则 ∆OFM 的面积(O 为原点)为()A .1B .2C . 2D . 2 26.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:…①②③7.在正三棱柱ABC-A B C中,若AB=2B B,则AB与C B所成角的大小为()②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.6n+2B.6n-2C.8n+2D.8n-2111111A.60°B.75°C.105°D.90°8.给出下面四个类比结论()①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0;类比向量a,b,若a⋅b=0,则a=0或b=022③向量a,有a2=a2;类比复数z,有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0,则a=b=0;类比复数z,z有z2+z2=0,则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为()A.0B.1C.2D.39.已知抛物线=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线(a>0,b>0)的右焦点,且两曲线的交点连线过点F,则双曲线的离心率为()A.2B.2C.2+1D.2+210.设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度c增长,则球的表面积的增长速度与球半径()A.成正比,比例系数为C B.成正比,比例系数为2CC.成反比,比例系数为C D.成反比,比例系数为2C二、填空题(每小题5分,共20分。
人教A版高中数学必修一至必修五全册综合试题(含答案)

人教A版高中数学必修一至必修五全册综合试题(含答案)一、单选题1.执行如图所示的程序框图,若,则()A.1B.2C.3D.42.已知集合,设,则()A.B.C.D.3.已知圆锥的顶点为,底面圆的两条直径分别为和,且,若平面平面.现有以下四个结论:①平面;②;③若是底面圆周上的动点,则的最大面积等于的面积;④与平面所成的角为.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.44.2020年春节后,因受疫情影响,某高中学校为学生导学助学开展网课,为了解网课教学成果,该校为学生举行了一次网上匿名测试.已知测试成绩整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,且成绩在间的学生共有240人,不及格(低于60分)的人数为m,则( )A.,B.,C.,D.,5.一个几何体的三视图如图,则它的体积为()A.B.12C.10D.6.函数的图象大致为()A.B.C.D.7.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到的图象,则的值是A.1B.2C.D.08.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A.12,24,15,9B.9,12,12,7C.8,15,12,5D.8,16,10,69.直线的倾斜角为()A.;B.;C.;D.10.关于的不等式的解集为实数集,则的取值范围为()A.B.C.或D.或11.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻,时长均为5分钟,则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台,能听到新闻的概率是()A.B.C.D.12.在正项等比数列中,已知,,则()A .8B.5C.D.二、填空题13.已知函数的部分图象如图所示,则的函数解析式为__________.。
高中数学必修五综合测试题含答案(2)(K12教育文档)

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必修五综合测试题一.选择题1.已知数列{a n }中,21=a ,*11()2n n a a n N +=+∈,则101a 的值为 ( )A .49B .50C .51D .522121,两数的等比中项是( )A .1B .1C .1D .123.在三角形ABC 中,如果()()3a b c b c a bc +++-=,那么A 等于( )A .030B .060C .0120D .01504.在⊿ABC 中,BCb c cos cos =,则此三角形为 ( )A .直角三角形 B. 等腰直角三角形 C 。
等腰三角形 D 。
等腰或直角三角形 5。
已知n a 是等差数列,且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48,则a 6+ a 7= ( ) A .12B .16C .20D .24 6.在各项均为正数的等比数列{}n b 中,若783b b ⋅=, 则3132log log b b ++……314log b +等于( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D )87.已知b a,满足:a =3,b =2,b a +=4,则b a -=( )A .3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n 项和为( ) A 、63B 、108C 、75D 、839.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ).A .4B .8C .15D .3110.已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ).A .有一种情形B .有两种情形C .不可求出D .有三种以上情形11.已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上,DC=a ,从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β(α>β)则A 点离地面的高AB 等于( )A .)sin(sin sin βαβα-a B .)cos(sin sin βαβα-aC .)sin(cos cos βαβα-a D .)cos(cos cos βαβα-a12.若{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 4+a 5>0,a 4·a 5<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 的值为( ).A .4B .5C .7D .8二、填空题13.在数列{a n }中,其前n 项和S n =3·2n+k ,若数列{a n }是等比数列,则常数k 的值为14.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =Cctan ,那么△ABC 是 15.数列{}n a 满足12a =,112n n na a --=,则n a = ; 16.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n则157202b b a a ++等于 _三.解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.分已知c b a,,是同一平面内的三个向量,其中a ()1,2=。
必修一至必修五理科综合测试1-(1)

高二理科数学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ={-1,0,1},N ={x|x 2≤x},则M ∩N =( )A .{0,1}B .{0,-1}C .{-1,1}D .{-1,0,1} 2.函数)34(log 15.0-=x y 的定义域为( )A 、 )1,43(B 、),43(+∞C 、 ),1(+∞D 、),1()1,43(+∞⋃量,则a 在b 方向上的投影为( )3.已知向A. 5B. -5C. -2D. 24.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( )A.12B.16C.20D.24 5. 要得到函数)33sin(2)(π-=x x f 的图像,只需将函数x x f 3sin 2)(=的图像( )A .向左平移3π 个单位 B .向右平移3π个单位 C .向左平移9π 个单位 D .向右平移9π个单位6.如下图,该程序运行后输出的结果为 ( )A .15B .21C .28D .36 7.在△ABC 中,若3,1===c a b ,则∠C 等于( )A .030 B .060 C .0120 D .01508.已知函数f(x)=x 3-2x 2+2有唯一零点,则下列区间必存在零点的是( )A .)23,2(--B .)1,23(--C .)21,1(--D .)0,21(-9. 与直线04=--y x 和圆02222=-++y x y x 都相切的半径最小的圆的方程是( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B. (x+1)2+(y+1)2=4C. (x-1)2+(y+1)2=2 C. (x-1)2+(y+1)2=4 10. 已知3log 3log 22+=a ,3log 9log 22-=b ,2log 3=c 则a,b,c 的大小关系是( )A . a b c =>B . a b c =<C .a b c << D.a b c >>11.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆy =0.7x+0.35,那么表中m 的值为 ( ))0,3(),1,2(-=-=b aA .4B .3.15C .4.5D .3 12.设()f x 是定义在R 上的减函数,且2222(1015)(1224),f n n f m m m n --≥-++则的取值 范围是( )A .[0,27]B .[0,729]C .[169,196]D .[169,729]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13. 2000= 弧度14.一个正方体的展开图如图所示,A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中AB 与CD 的夹角为___________度。
高中数学必修1-必修5综合测试题(附答案)

高二数学必修1-必修5考试题一、选择题(每小题5分,共40分,在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的,请把正确选项填涂在答题卡上。
) 1. 对于下列命题:①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤,②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>,下列判断正确的是A. ① 假 ② 真B. ① 真 ② 假C. ① ② 都假D. ① ② 都真2. 条件语句的一般格式是3. 某校为了了解学生的课外阅读情况,随即调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示。
根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为A. 0.6 小时B. 0.9 小时C. 1.0 小时D. 1.5 小时4. 有一圆柱形容器,底面半径为10cm ,里面装有足够的水,水面高为12cm,有一块金属五棱锥掉进水里全被淹没,结果水面高为15cm ,若五棱锥的高为3πcm ,则五棱锥的底面积是A. 100π cm 2B. 100 cm 2C. 30π cm 2D. 300 cm 2人数(人)时间(小时)A.D. C.5. 已知数列1{}n n a pa +-为等比数列,且23n nn a =+,则p 的值为A.2B.3C.2或3D.2或3的倍数6. 若α、β表示平面,a 、b 表示直线,则a ∥α的一个充分条件是A. α⊥β且a ⊥βB. αβ=b 且a ∥bC. a ∥b 且b ∥αD. α∥β且a ⊂β7. 已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x x a a --+,若g(a)=a, 则f(a)的值为 A.1 B.2C.154D.1748. 已知()f x 是以2为周期的偶函数,当[0,1]x ∈时,()f x x =,那么在区间[1,3]-内,关于x 的方程()1f x kx k =++(其中k 走为不等于l 的实数)有四个不同的实根,则k 的取值范围是 A .(1,0)-B .1(,0)2-C .1(,0)3-D .1(,0)4-二、填空题(每小题5分,共30分。
高中数学必修1、2、3、4、5综合试卷及答案详解(优秀经典测试卷)

XXX 中学数学必修1-5测试卷一、选择题(共12个,每个5分,共60分)1.若集合A={1,3,x},B={1,2x },A ∪B={1,3,x}则满足条件的实数x 的个数有( ) (A ) 1个 (B ) 2个 (C )3个 (D ) 4个2.若函数y=f (x )的定义域是[2,4],则y=f (12log x )的定义域是( )(A ) [12,1] (B ) [4,16] (C )[116,14] (D )[2,4 ] 3.设偶函数f (x )的定义域为R ,当[0,)x ∈+∞时f (x )是增函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是( )(A )()f π>(3)f ->(2)f - (B )()f π>(2)f ->(3)f - (C )()f π<(3)f -<(2)f - (D )()f π<(2)f -<(3)f - 4.0.7log 0.8a =, 1.1log 0.9b =,0.91.1c =,那么( )(A )a <b <c (B )a <c <b (C )b <a <c (D )c <a <b 5、已知点(1,2),(3,1)A B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A .524=+y x B .524=-y x C .52=+y x D .52=-y x6、 两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为( ) A .4 B .21313 C .51326 D .710207.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( )(A)22(B)4 (C)24(D)28、a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b ⊂M ,a ∥b ,则a ∥M ;③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中正确命题的个数有( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 9.如图是计算12+14+16+…+120的值的一个程序框图,其中在判断框中应填入的条件是( )A .i <10B .i>10C .i <20D .i >20 10.若P (A ∪B )=1,则事件A 与B 的关系是( )A .A 、B 是互斥事件 B .A 、B 是对立事件C .A 、B 不是互斥事件D .以上都不对11.、在等比数列{}n a 中,117a a ⋅=6,144a a +=5,则1020a a 等于( ) A .32B .23 C .23或32 D .﹣32或﹣2312、△ABC 中,已知()()a b c b c a bc +++-=,则A 的度数等于( )A .120B .60C .150D .30 二.填空题(共4个,每个5分,共20分)13.数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈,则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为15.已知函数()sin()cos()f x x x =+θ++θ是偶函数,且[0,]2πθ∈,则θ的值为 .16.下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =,2k k Z π∈}. ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数3sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π得到3sin 2y x =的图像.⑤函数sin()2y x π=-在[0]π,上是单调递减的.其中真命题的序号是 . 三、解答题(共6题,总分70分 17.已知函数213()cos sin cos 1,22f x x x x x R =++∈.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在[,]124ππ上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S a n =-(*n N ∈).(Ⅰ)证明数列{3}n a +是等比数列,求出数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设3n n nb a =,求数列{}n b 的前n 项和n T ;19、△ABC 中,c b a ,,是A ,B ,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且cos cos 2B bC a c=-+ (1)求∠B 的大小; (2)若a =4,35=S ,求b 的值。
高中数学必修综合测试卷(三套+含答案)

高一数学必修一综合测卷子一、选择题〔本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.假设集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =⋃,则m 的值为〔 〕 A .1 B .1- C .1或1- D .1或1-或02、函数1()(0)f x x x x =+≠是〔 〕A 、奇函数,且在(0,1)上是增函数B 、奇函数,且在(0,1)上是减函数C 、偶函数,且在(0,1)上是增函数D 、偶函数,且在(0,1)上是减函数 3. 已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射,假设1和8的原象分别是3和10,则5在f 下的象是〔 〕A .3B .4C .5D .64. 以下各组函数中表示同一函数的是〔 〕⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ,52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ;⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(,()g x =; ⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x fA 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸5.假设)(x f 是偶函数,其定义域为()+∞∞-,,且在[)+∞,0上是减函数,则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是〔 〕A .)23(-f >)252(2++a a f B .)23(-f <)252(2++a a f C .)23(-f ≥)252(2++a a f D .)23(-f ≤)252(2++a a f 6.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-)1(log 2)(231x ex f x )2()2(≥<x x 则[])2(f f =〔 〕 A .2 B .3 C .9 D .187.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是〔 〕8.给出以下结论:①11)(--+=x x x f 是奇函数;②221)(2-+-=x x x g 既不是奇函数也不是偶函数;③)()()(x f x f x F -= )(R x ∈是偶函数 ;④xxx h +-=11lg )(是奇函数.其中正确的有〔 〕个A .1个B .2个C .3个D .4个9. 函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减,则实数a 的取值范围是〔 〕A .(]3,-∞-B .[]0,3-C . [)0,3-D .[]0,2-10.函数33()11f x x x =++-,则以下坐标表示的点肯定在函数f(x)图象上的是〔 〕A .(,())a f a --B .(,())a f a -C .(,())a f a -D .(,())a f a ---11. 假设函数a x x x f +-=24)(有4个零点,则实数a 的取值范围是〔 〕A . []0,4- B. []4,0 C. )4,0( D. )0,4(-12. 设()f x 是奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,又(3)0f -=,则()0x f x ⋅<的解集是〔 〕 A .{}|303x x x -<<>或 B .{}|303x x x <-<<或C .{}|3003x x x -<<<<或D .{}|33x x x <->或二、填空题〔本大题共4小题,每题5分〕13.假设函数2()(1)3f x kx k x =+-+是偶函数,则()f x 的递减区间是 ;14.已知函数11()()142x x y =-+的定义域为[3,2]-,则该函数的值域为 ;15. 函数()()R b a xbax x f ∈+-=,25,假设()55=f ,则()=-5f ; 16.设函数()f x =x |x |+b x +c ,给出以下四个命题: ①假设()f x 是奇函数,则c =0②b =0时,方程()f x =0有且只有一个实根 ③()f x 的图象关于(0,c )对称④假设b ≠0,方程()f x =0必有三个实根 其中正确的命题是 (填序号)三、解答题〔解容许写文字说明,证明过程或演算步骤〕17.(10分)已知集合{}0652<--=x x x A ,集合{}01562≥+-=x x x B ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<---=09m x m x x C〔1〕求B A ⋂〔2〕假设C C A =⋃,求实数m 的取值范围;18.〔本小题总分值12分〕已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中)10(≠>a a 且,设()()()h x f x g x =-.〔1〕求函数()h x 的定义域,推断()h x 的奇偶性,并说明理由; 〔2〕假设(3)2f =,求使()0h x <成立的x 的集合。
人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3.1变化率与导数 练习(P6)在第3 h 和5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近,原油温度大约以1 ℃/h 的速度下降;在第5 h 时,原油温度大约以3 ℃/h 的速率上升.练习(P8)函数()h t 在3t t =附近单调递增,在4t t =附近单调递增. 并且,函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想. 练习(P9)函数()r V =(05)V ≤≤的图象为 根据图象,估算出(0.6)0.3r '≈,(1.2)0.2r '≈.说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 A 组(P10)1、在0t 处,虽然1020()()W t W t =,然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以,企业甲比企业乙治理的效率高.说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆,所以,(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以 m /s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆,所以,(5)10s '=. 因此,物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m /s ,它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ,时间为t ,则2(0)kt t θ=>. 由题意可知,当0.8t =时,2θπ=. 所以258k π=,于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆,所以(3.2)20θπ'=.因此,车轮在开始转动后第 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知,函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零,所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得,函数()f x 在4x =-,2-,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减. 说明:“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数()f x '的图象如图(1)所示;第二个函数的导数()f x '恒大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加;对于第三个函数,当x 小于零时,()f x '小于零,当x 大于零时,()f x '大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度.2、说明:由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息,并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换.3、由(1)的题意可知,函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-,所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2导数的计算 练习(P18)1、()27f x x '=-,所以,(2)3f '=-,(6)5f '=.2、(1)1ln 2y x '=; (2)2x y e '=; (3)4106y x x '=-; (4)3sin 4cos y x x '=--;(5)1sin 33xy '=-; (6)21y x '=-.习题 A 组(P18)1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆,所以,0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V V π'=.4、(1)213ln 2y x x '=+; (2)1n x n x y nx e x e -'=+; (3)2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=; (4)9899(1)y x '=+; (5)2x y e -'=-; (6)2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+,解得032x =. 6、(1)ln 1y x '=+; (2)1y x =-. 7、1xy π=-+.8、(1)氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.(2)(7)25.5A '=-,它表示氨气在第7天左右时,以克/天的速率减少. 习题 B 组(P19) 1、(1) (2)当h 越来越小时,sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.(3)sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时,0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-,所以01x y ='=-.所以,曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以,上午6:00时潮水的速度为0.42-m /h ;上午9:00时潮水的速度为0.63-m /h ;中午12:00时潮水的速度为0.83-m /h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24-m /h.1.3导数在研究函数中的应用 练习(P26)1、(1)因为2()24f x x x =-+,所以()22f x x '=-.当()0f x '>,即1x >时,函数2()24f x x x =-+单调递增; 当()0f x '<,即1x <时,函数2()24f x x x =-+单调递减. (2)因为()x f x e x =-,所以()1x f x e '=-.当()0f x '>,即0x >时,函数()x f x e x =-单调递增; 当()0f x '<,即0x <时,函数()x f x e x =-单调递减. (3)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-.当()0f x '>,即11x -<<时,函数3()3f x x x =-单调递增; 当()0f x '<,即1x <-或1x >时,函数3()3f x x x =-单调递减. (4)因为32()f x x x x =--,所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>,即13x <-或1x >时,函数32()f x x x x =--单调递增;当()0f x '<,即113x -<<时,函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠,所以()2f x ax b '=+. (1)当0a >时,()0f x '>,即2bx a >-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增; ()0f x '<,即2bx a<-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.(2)当0a <时,()0f x '>,即2bx a <-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增;()0f x '<,即2bx a>-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明:因为32()267f x x x =-+,所以2()612f x x x '=-.注:图象形状不唯一.当(0,2)x ∈时,2()6120f x x x '=-<,因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习(P29)1、24,x x 是函数()y f x =的极值点,其中2x x =是函数()y f x =的极大值点,4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、(1)因为2()62f x x x =--,所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=,得112x =. 当112x >时,()0f x '>,()f x 单调递增;当112x <时,()0f x '<,()f x 单调递减.所以,当112x =时,()f x 有极小值,并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. (2)因为3()27f x x x =-,所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=,得3x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即3x <-或3x >时;②当()0f x '<,即33x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当3x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为54; 当3x =时,()f x 有极小值,并且极小值为54-. (3)因为3()612f x x x =+-,所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即22x -<<时;②当()0f x '<,即2x <-或2x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当2x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为10-; 当2x =时,()f x 有极大值,并且极大值为22 (4)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=,得1x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即11x -<<时;②当()0f x '<,即1x <-或1x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当1x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为2-; 当1x =时,()f x 有极大值,并且极大值为2 练习(P31)(1)在[0,2]上,当112x =时,2()62f x x x =--有极小值,并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-,(2)20f =.因此,函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. (2)在[4,4]-上,当3x =-时,3()27f x x x =-有极大值,并且极大值为(3)54f -=; 当3x =时,3()27f x x x =-有极小值,并且极小值为(3)54f =-; 又由于(4)44f -=,(4)44f =-.因此,函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.(3)在1[,3]3-上,当2x =时,3()612f x x x =+-有极大值,并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=,(3)15f =.因此,函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.(4)在[2,3]上,函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-,(3)18f =-.因此,函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题 A 组(P31)1、(1)因为()21f x x =-+,所以()20f x '=-<. 因此,函数()21f x x =-+是单调递减函数.(2)因为()cos f x x x =+,(0,)2x π∈,所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π∈. 因此,函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. (3)因为()24f x x =--,所以()20f x '=-<. 因此,函数()24f x x =-是单调递减函数. (4)因为3()24f x x x =+,所以2()640f x x '=+>. 因此,函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、(1)因为2()24f x x x =+-,所以()22f x x '=+.当()0f x '>,即1x >-时,函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<,即1x <-时,函数2()24f x x x =+-单调递减. (2)因为2()233f x x x =-+,所以()43f x x '=-.当()0f x '>,即34x >时,函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<,即34x <时,函数2()233f x x x =-+单调递减.(3)因为3()3f x x x =+,所以2()330f x x '=+>. 因此,函数3()3f x x x =+是单调递增函数. (4)因为32()f x x x x =+-,所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>,即1x <-或13x >时,函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<,即113x -<<时,函数32()f x x x x =+-单调递减.3、(1)图略. (2)加速度等于0.4、(1)在2x x =处,导函数()y f x '=有极大值; (2)在1x x =和4x x =处,导函数()y f x '=有极小值; (3)在3x x =处,函数()y f x =有极大值; (4)在5x x =处,函数()y f x =有极小值.5、(1)因为2()62f x x x =++,所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=,得112x =-. 当112x >-时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当112x <-时,()0f x '<,()f x 单调递减.所以,112x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.(2)因为3()12f x x x =-,所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当2x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为16; 当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为16-. (3)因为3()612f x x x =-+,所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=,得2x =±.下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当2x =-时,()f x 有极大值,并且极大值为22; 当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为10-. (4)因为3()48f x x x =-,所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=,得4x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:因此,当4x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为128-; 当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128. 6、(1)在[1,1]-上,当112x =-时,函数2()62f x x x =++有极小值,并且极小值为4724. 由于(1)7f -=,(1)9f =,所以,函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9,4724. (2)在[3,3]-上,当2x =-时,函数3()12f x x x =-有极大值,并且极大值为16; 当2x =时,函数3()12f x x x =-有极小值,并且极小值为16-. 由于(3)9f -=,(3)9f =-,所以,函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16,16-.(3)在1[,1]3-上,函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=,(1)5f =-,所以,函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927,5-.(4)当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-,(5)115f =,所以,函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128,117-. 习题 B 组(P32)1、(1)证明:设()sin f x x x =-,(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<,(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=,(0,)x π∈,即sin x x <,(0,)x π∈. 图略(2)证明:设2()f x x x =-,(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-,(0,1)x ∈所以,当1(0,)2x ∈时,()120f x x '=->,()f x 单调递增,2()(0)0f x x x f =->=;当1(,1)2x ∈时,()120f x x '=-<,()f x 单调递减,2()(1)0f x x x f =->=;又11()024f =>. 因此,20x x ->,(0,1)x ∈. 图略(3)证明:设()1x f x e x =--,0x ≠. 因为()1x f x e '=-,0x ≠所以,当0x >时,()10x f x e '=->,()f x 单调递增,()1(0)0x f x e x f =-->=;当0x <时,()10x f x e '=-<,()f x 单调递减,()1(0)0x f x e x f =-->=;综上,1x e x ->,0x ≠. 图略 (4)证明:设()ln f x x x =-,0x >. 因为1()1f x x'=-,0x ≠ 所以,当01x <<时,1()10f x x'=->,()f x 单调递增, ()ln (1)10f x x x f =-<=-<; 当1x >时,1()10f x x'=-<,()f x 单调递减, ()ln (1)10f x x x f =-<=-<;当1x =时,显然ln11<. 因此,ln x x <. 由(3)可知,1x e x x >+>,0x >.. 综上,ln x x x e <<,0x > 图略2、(1)函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象,类似“”或“”的形状. 若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值,从图象上能大致估计它的单调区间.(2)因为32()f x ax bx cx d =+++,所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论:当0a ≠时,分0a >和0a <两种情形: ①当0a >,且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ,且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>,即1x x <或2x x >时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增;当2()320f x ax bx c '=++<,即12x x x <<时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >,且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≥,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增.②当0a <,且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ,且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>,即12x x x <<时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增;当2()320f x ax bx c '=++<,即1x x <或2x x >时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <,且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≤,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1.4生活中的优化问题举例 习题 A 组(P37)1、设两段铁丝的长度分别为x ,l x -,则这两个正方形的边长分别为4x ,4l x -,两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+,0x l <<.令()0f x '=,即420x l -=,2lx =.当(0,)2l x ∈时,()0f x '<;当(,)2lx l ∈时,()0f x '>.因此,2lx =是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.所以,当两段铁丝的长度分别是2l时,两个正方形的面积和最小.2、如图所示,由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为2a x -,高为x .(1)无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02ax <<.(2)因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=,得2a x =(舍去),或6a x =. 当(0,)6a x ∈时,()0V x '>;当(,)62a ax ∈时,()0V x '<.因此,6ax =是函数()V x 的极大值点,也是最大值点.(第2题)所以,当6ax =时,无盖方盒的容积最大. 3、如图,设圆柱的高为h ,底半径为R , 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=,得2V h R π=. 因此,2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+,0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=,解得R =.当R ∈时,()0S R '<;当)R ∈+∞时,()0S R '>. 因此,R =是函数()S R 的极小值点,也是最小值点. 此时,22V h R R π===. 所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.4、证明:由于211()()n i i f x x a n ==-∑,所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=,得11ni i x a n ==∑,可以得到,11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.这个结果说明,用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的,这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ,则半圆的半径为2xm ,半圆的面积为28x π2m ,矩形的面积为28x a π-2m ,矩形的另一边长为()8a xx π-m(第3题)因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++,0x <<令22()104a l x x π'=+-=,得x =.当x ∈时,()0l x '<;当x ∈时,()0l x '>.因此,x =()l x 的极小值点,也是最小值点.时,所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ,而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式,再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-,利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-,0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=,即12104q -+=,84q =.当(0,84)q ∈时,0L '>;当(84,200)q ∈时,0L '<;因此,84q =是函数L 的极大值点,也是最大值点.所以,产量为84时,利润L 最大,习题 B 组(P37)1、设每个房间每天的定价为x 元,那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.令1()7005L x x '=-+=,解得350x =.当(180,350)x ∈时,()0L x '>;当(350,680)x ∈时,()0L x '>. 因此,350x =是函数()L x 的极大值点,也是最大值点. 所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元/件时,利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b-=-+⨯=--,54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=,解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时,()0L x '>;当455(,)84a b bx +∈时,()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点,也是最大值点.所以,销售价为458a b+元/件时,可获得最大利润.1.5定积分的概念 练习(P42) 83. 说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤,体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习(P45)1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅,1,2,,i n =L .于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑取极值,得说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想,熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习(P48)2304x dx =⎰. 说明:进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看,表示由曲线3y x =与直线0x =,2x =,0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题 A 组(P50) 1、(1)10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰; (2)50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰; (3)100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰.说明:体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为:18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(m ); 距离的过剩近似值为:271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(m ). 3、证明:令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑, 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰, 说明:进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义,0⎰表示由直线0x =,1x =,0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因此4π=⎰.5、(1)03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤,所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =,1x =-,0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.(2)根据定积分的性质,得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤,在区间[0,1]上30x ≥,所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.(3)根据定积分的性质,得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤,在区间[0,2]上30x ≥,所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明:在(3)中,由于3x 在区间[1,0]-上是非正的,在区间[0,2]上是非负的,如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又有负项,而且无法抵挡一些项,求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰,这样,3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的,再利用定积分的定义,容易求出031x dx -⎰,23x dx ⎰,进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见,利用定积分的性质可以化简运算. 在(2)(3)中,被积函数在积分区间上的函数值有正有负,通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题 B 组(P50)1、该物体在0t =到6t =(单位:s )之间走过的路程大约为145 m.说明:根据定积分的几何意义,通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、(1)9.81v t =.(2)过剩近似值:8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑(m );不足近似值:81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑(m ) (3)49.81tdt ⎰;49.81d 78.48t t =⎰(m ).3、(1)分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点,将它分成n 个小区间:[0,]l n ,2[,]l l n n ,……,(2)[,]n ll n -, 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-(1,2,i n =L ),其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ,2[,]l l n n ,……,(2)[,]n ll n-上质量分别记作:12,,,n m m m ∆∆∆L ,则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.(2)近似代替当n 很大,即x ∆很小时,在小区间(1)[,]i l iln n-上,可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是,细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=(1,2,i n =L ).(3)求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. (4)取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑,所以20l m x dx =⎰..1.6微积分基本定理练习(P55)(1)50; (2)503; (353; (4)24; (5)3ln 22-; (6)12; (7)0; (8)2-.说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 A 组(P55)1、(1)403; (2)13ln 22--; (3)9ln 3ln 22+-;(4)176-; (5)2318π+; (6)22ln 2e e --. 说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为:位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和. 习题 B 组(P55)1、(1)原式=221011[]222x e e =-; (2)原式=4611[sin 2]22x ππ=; (3)原式=3126[]ln 2ln 2x =. 2、(1)cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰;(2)sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰; (3)21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰; (4)21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、(1)0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. (2)由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程,为了解这个方程,我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质,当0t >时,0.201t e -<<,从而 5000495245t <<, 因此,500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯,52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯,所以,70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而,在解方程0.2492452455000t t e -+-=时,0.2245t e -可以忽略不计.因此,.492455000t -≈,解之得 524549t ≈(s ). 说明:B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分,可视学生的具体情况选做,不要求掌握. 1.7定积分的简单应用 练习(P58)(1)323; (2)1.说明:进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习(P59)1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰(m ).2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰(J ).习题 A 组(P60)1、(1)2; (2)92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =,即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 4240(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰(m ). 4、设t s 后两物体相遇,则20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰,解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时,物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰(m ).5、由F kl =,得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰(J ).6、(1)令55()501v t t t=-+=+,解之得10t =. 因此,火车经过10s 后完全停止. (2)1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰(m ). 习题 B 组(P60)1、(1)22a aa x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积,因此2222aaa a x dx π--=⎰(2)120[1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形(如图所示)的面积,因此,2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明:建立如图所示的平面直角坐标系,可设抛物线的方程为2y ax =,则2()2b h a =⨯,所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是,抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =,22x =. 于是,所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明:2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组(P65)1、(1)3; (2)4y =-.2、(1)22sin cos 2cos x x x y x+'=; (2)23(2)(31)(53)y x x x '=-+-; y xO1(第1(2)题)yxh b O(第2题)(3)22ln ln 2x xy x x '=+; (4)2422(21)x x y x -'=+.3、32GMm F r'=-. 4、(1)()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.(2)(3)4f '=-表明在3℃附近时,红茶温度约以4℃/min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>,即0x >时,()f x 单调递增;当()0f x '=<,即0x <时,()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++,所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=,即12px =-=时,()f x 有最小值. 由12p-=,得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=,所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+, 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=,即3cx =,或x c =时,函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时,函数2()()f x x x c =-有极大值,所以0c >. 由于 所以,当3c x =时,函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时,23c=,6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时,AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ,(1,1)P , 所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--,即1()1y x a a=--.当0x =时,1a y a =-,即点B 的坐标是(0,)1a a -. 因此,AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=,即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =,或2a =时,()0S a '=,0a =不合题意舍去. 由于 所以,当2a =,即直线的倾斜角为时,的面积最小,最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ,另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为. 所以,长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ,则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++,0 1.6x <<.令()0V x '=,即26 4.4 1.60x x -++=. 所以,415x =-(舍去),或1x =. 当(0,1)x ∈时,()0V x '>;当(1,1.6)x ∈时,()0V x '<. 因此,1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点,也是最大值点. 所以,当长方体容器的高为1 m 时,容器最大,最大容器为 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时,旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=,即105000x -+=,50x =.又(0)100000f =,(80)108000f =,(50)112500f =. 所以,50x =是函数()f x 的最大值点.所以,当旅游团人数为150时,可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时,可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为,长为x ,所以宽为623.7x, 打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--,5.0898.38x <<. 令()0S x '=,即23168.3966.340x -=,22.36x ≈(负值舍去),623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点,且为极大值,从而是最大值点.所以,打印纸的长、宽分别约为,时,可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时,总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=,即3000q -+=,300q =.当300q =时,25000y =;当400q =时,20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点. 所以,每年养300头猪时,可使总利润最大,最大总利润为25000元.14、(1)2; (2)22e -; (3)1;(4)原式=22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x xdx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰; (5)原式=22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明:利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =,得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰(J )第一章 复习参考题B 组(P66)1、(1)43()10210b t t '=-⨯. 所以,细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.(2)当05t ≤<时,()0b t '>,所以细菌在增加;当55t <<+时,()0b t '<,所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ,中心角为α弧度时,扇形的面积为S .因为212S r α=,2l r r α-=,所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-,02l r <<.令0S '=,即40l r -=,4lr =,此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点.所以,扇形的半径为4l、中心角为2弧度时,扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,那么222r h R +=.因此,222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-,0h R <<.令22103V R h ππ'=-=,解得h =.容易知道,h R =是函数()V h 的极大值点,也是最大值点.所以,当h R =时,容积最大.把3h R =代入222r h R +=,得3r R =.由2R r απ=,得3α=.所以,圆心角为α=时,容积最大. 4、由于28010k =⨯,所以45k =. 设船速为x km /h 时,总费用为y ,则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+,0x >令0y '=,即29600160x -=,24x ≈. 容易知道,24x =是函数y 的极小值点,也是最小值点.当24x =时,960020(1624)()9412424⨯+÷≈(元/时) 所以,船速约为24km /h 时,总费用最少,此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km /h 行驶时,行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯,50100x ≤≤ 令0y '=,解得53x ≈(km /h ). 此时,114y ≈(元) 容易得到,53x ≈是函数y 的极小值点,也是最小值点.因此,当53x ≈时,行车总费用最少.所以,最经济的车速约为53km /h ;如果不考虑其他费用,这次行车的总费用约是114元.6、原式=4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x =⎧⎨=-⎩得,直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =,1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰3(1)6k -=.又因为16S =,所以31(1)2k -=. 于是1k =-说明:本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰,由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理 练习(P77)1、由12341a a a a ====,猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是1,其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积, 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习(P81) 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a , 若1n na p a +=,其中p 是非零常数,则{}n a 是等比数列; ……………………大前提 又因为0cq ≠,则0q ≠,则11n n nn a cq q a cq++==; ……………………………小前提所以,通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >,得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中,大边对大角”,小前提是“AD BD >”,而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题 A 组(P83)1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+.3、当6n ≤时,122(1)n n -<+;当7n =时,122(1)n n -=+;当8n =时,122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-L L (2n >,且n N *∈). 5、121217n n b b b b b b -=L L (17n <,且n N *∈). 6、如图,作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 又因为AD ∥BE ,AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.(第6题)因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等,又因为AB DE =,AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的,又因为DEC C ∠=∠,DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题 B 组(P84)1、由123S =-,234S =-,345S =-,456S =-,567S =-,猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略.2.2直接证明与间接证明 练习(P89)1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=,所以,命题得证.2>,只需证22>,即证1313+>+>,只需要22>,即证4240>,这是显然成立的. 所以,命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==, 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===, 从而222()16a b ab -=,所以,命题成立.说明:进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习(P91)1、假设B ∠不是锐角,则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以,假设不成立. 从而,B ∠一定是锐角.2成等差数列,则=所以22=,化简得5=225=,即2540=, 这是不可能的. 所以,假设不成立..说明:进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题 A 组(P91)1、由于0a ≠,因此方程至少有一个跟b x a=. 假设方程不止一个根,则至少有两个根,不妨设12,x x 是它的两个不同的根,则 1ax b = ①2ax b = ②①-②得因为12x x ≠,所以120x x -≠,从而0a =,这与已知条件矛盾,故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=,即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=,则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=,即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ,B 都是锐角,所以0A B π<+<,从而2A B π+=,与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-, 即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<,所以4A B π+=.说明:本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为 1tan 12tan αα-=+,所以12tan 0α+=,从而2sin cos 0αα+=.另一方面,要证 3sin 24cos2αα=-, 只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=, 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得,(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=,于是命题得证. 说明:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明,但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列,所以211b ac =+.假设2B π<不成立,即2B π≥,则B 是ABC ∆的最大内角,所以,b a b c >>(在三角形中,大角对大边), 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以,假设不成立,因此,2B π<.习题 B 组(P91)1、要证2s a <,由于22s ab <,所以只需要2s s b<,即证b s <.因为1()2s a b c =++,所以只需要2b a b c <++,即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边,所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+,2y b c =+ ② 要证2a cx y+=,只要证2ay cx xy +=,只要证224ay cx xy += 由①②,得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++, 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++, 所以,224ay cx xy +=,于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+,即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+,这就是①式.所以,命题成立.说明:用综合法和分析法证明命题时,经常需要把两者结合起来使用. 2.3数学归纳法 练习(P95)1、先证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. (1)当1n =时,左边=1a ,右边=11(11)a d a +-=, 因此,左边=右边. 所以,当1n =时命题成立. (2)假设当n k =时,命题成立,即1(1)k a a k d =+-. 那么,11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以,当1n k =+时,命题也成立.根据(1)和(2),可知命题对任何n N *∈都成立.再证明:该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. (1)当1n =时,左边=11S a =,右边=111(11)12a d a ⨯-⨯+=,因此,左边=右边. 所以,当1n =时命题成立.(2)假设当n k =时,命题成立,即1(1)2k k k S ka d -=+.那么,1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-所以,当1n k =+时,命题也成立. 根据(1)和(2),可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题 A 组(P96) 1、(1)略.(2)证明:①当1n =时,左边=1,右边=211=, 因此,左边=右边. 所以,当1n =时,等式成立. ②假设当n k =时等式成立,即2135(21)k k ++++-=L . 那么,22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+L . 所以,当1n k =+时,等式也成立.根据①和②,可知等式对任何n N *∈都成立.(3)略.2、1111122S ==-⨯,2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯,3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯.。
高中数学必修1-5综合测验

8、从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任数2台,其中两种品牌的彩电齐全的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
9、已知关于 的不等式 的解集为 ,则 的值是( )
(A)10(B)-10 (C)14 (D)-14
10、已知函数 是定义在R上周期函数为 的偶函数,当 时, ,则 , , 的大小关系是( )
=
=
20.解:(1)
又 是奇函数
(2) 、 且
由
即 在R上单调递增
又
(3) 恒成立
恒成立
恒成立 其中
设 ,有
设 对称轴
且 或 且 或 且
得 或 或
综合以上 知:
.
一 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
C
D
C
C
C
D
A
二 填空题
11 . ; 12. ; 13. : 14. (2).(4)
三 解答题15.
(1)
的单调递增区间是 (
(2)
16 (1)直三菱柱 — 中,
面 面
又 BC=2, ,D是中点,
又
从而 面
(2) 取 的中点 ,在 中,
又 四边形 是平行四边形 面
③设数列 满足 ,求 的前 项和为
20、设函数 对任意的 ,都有 ,当 >0时, >0,且
①判断函数 的奇偶性,且证明;
②判断函数 的单调性,且 在 上的最值;
③问是否存在这样的实数 ,使得 >0对所有的 均成立?若存在,则求出实数 的范围;若不存在,试说明理由。
广州市第八十九中学 必修(1.2.4.5)参考答案
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1.已知全集U=R
和N关系的韦恩(
2.已知复数z满足(1
A
3.“a≠0”是“函数f(
A.
C. 充分必要条件
4.有5
A、36种
5.设m、n
A.若m//α,
B.若m⊂α,n
C.若α⊥β, m
D.若α⊥β, m
6.已知x,y
7.已知双曲线
22
22
x y
a b
-
A.5x2-
4
5
y2=1
8.若把函数y=
y轴对称,则m
程
三、解答题:本大题共5
演算步骤.
18.(本小题满分14分)
已知()sin(2)6
f x x π
=-+(Ⅰ)求函数f (x )(Ⅱ)在△ABC 中,a 、b 、△ABC 的面积.
19. (本小题满分14分)
已知数列{a n }和{b n }满足:数,n 为正整数.
(Ⅰ)是否存在实数λ在,请说明理由;
(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式
20.(本小题满分14分)
如图,平面ABCD ⊥平面PAD 梯形,其中BC//AD ,∠BAD =90的中点,E ,F 分别是PC ,OD (Ⅰ)求证:EF//平面PBO (Ⅱ)求二面角A - PF - E
12).
Q 两点,且以PQ 为对角线的菱l 的方程. P ,Q ,使得△POQ 是以O
一、选择题
BCACD ADCBB
二、填空题
三、解答题
1.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为f(x)=sin(2x
2
2
=sin(2x+
所以函数f(x)
(Ⅱ)因为f(x)=
1
2
,所以
又02
6
A A
π
π
,所以
从而
5
2,
663
A A
πππ
+==
故
在△ABC中,∵a=1,b+c=2,A
∴1=b2+c2-2bc cos A,即1=4-3
故bc=1
从而S△ABC=
1
sin
24
bc A=
19.解:(Ⅰ)
即
2
24
3
39
λλλ
⎛⎫⎛
-=-
⎪
⎝⎭⎝
所以对于任意λ,{a n}
(Ⅱ) 因为b n+1=(-1)n+1[
=-
2
(1)(3
3
n
n
a n
-⋅-+
当λ≠-18,b1=-(λ+18)
.
14分)
∴
2
21
4
x
y
+=……………(6分)
.
0,+∞).
POQ是以O为直角顶点的直角三
16分)。