轴对称图形与等腰三角形专题

第15章轴对称图形与等腰三角形

15.1 轴对称图形

专题一轴对称性质的应用

1.如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）

2.已知，如图（1），Rt△ABC ≌Rt△ADE，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的

点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后

选择一种关系予以证明．

专题二规律探究题

3.通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.

4.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐

标是（a，b），则经过第2019次变换后所得的A点坐标是________．

专题三操作题

5.小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图

形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是

．．轴对称图形的是( ).

6.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你

用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.

C

A

B

D

F

E

y

x

O

A

B C

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

第1次

关于x轴对称

第2次

关于y轴对称

第3次

关于x轴对称

第4次

关于y轴对称

B

Ａ

D

C

图甲 图乙

专题四 图案设计题

7.用四块如图a 的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图b 、图c 、图d 中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.

15.2 线段的垂直平分线

专题一 线段垂直平分线知识的应用

1.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ， 求证：BE +CF ＞EF ．

2.△ABC 中，∠A =90°,AB =AC ,D 、E 、F 分别在AB ，AC ，BC 上，且AD =AE ，CD 为EF 的中垂线，求证BF =2AD .

3.已知，如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE =DF ．求证：AD 垂直平分EF ．

合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：

学生甲：因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上（•到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD 垂直平分EF ．

学生乙：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，DE =DF ，AD =AD ，•所以Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）,所以AE =AF （全等三角形的对应边相等），所以A

点在图 a 图c 图 d 图b M

线段EF 的垂直平分线上，又因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上，所以AD 垂直平分EF ．

分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因．

专题二 作图与实际问题

4.如图，A 、B 、C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请你作出变电站的位置（用P 点表示），并说明你的理由.

5.A 、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A 的坐标是（2，2），点B 的坐标是（7，3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C ，使C 点到A 、B 两校的

距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（2）若在公路边建一游乐场P ，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P 的位置，并求出它的坐标．

6.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄．

（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 的位置时，•距离村庄N 最近，请在公路AB 上分别画出P ，Q 的位置（保留作图痕迹）．

（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段上距离M ，N 两村都越来越近？在哪一段上距村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远（分别用文字表述你的结果，•不必证明）？

（3）在公路AB 上是否存在这样一点H ，使汽车行驶到该点时，与村庄M ，N •的距离相等？如果存在，请在图中AB 上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，•请简要说明理由．

·A

·B ·C