组合及组合数公式

组合及组合数公式
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m_(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念
从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．
3．组合数公式
C m n＝A m n
A m m＝
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
m！
＝
n！
m！(n－m)！
(n，m∈N*，m≤n)．
探究点一组合的概念
例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？
(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
探究点二组合的列举问题
思考怎样写一个问题的所有组合？
答和解排列问题类似，可以借助树形图来写一个问题的所有组合，组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序(如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b 等)来考虑，否则就会出现重复或遗漏．
例2从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．
踪训练2写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．
探究点三组合数公式及应用
思考1对比排列数的定义，能否给组合数下一个定义？
答从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．
思考2 由例2看出组合数C 34与排列数A 34有什么关系？你能写出求C 34的公式吗？
答 由例2可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排
列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合
的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33
.
例3(1)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；
(2)若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合为________．
跟踪训练3 (1)计算C 38－
n 3n ＋C 3n n ＋21的值； (2)求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n
.
例4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
巩固练习：
1.已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为________．
答案 4
2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．
答案 120
3．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．
答案 96
4．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．
答案 70
5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，求其中一个数是另一个数的两倍的概率．
6．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有________．
答案70
组合的应用
探究点一组合数的两个性质
思考1“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数有什么关系？
答
思考2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
(4)由(1)(2)(3)问的结果你能得到怎样的关系？
答
思考3由思考1、2你能得出组合数的性质吗？如何证明？
答组合数具备以下两个性质：
①C m n＝C n－m
n ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1
n
.
例1计算下列各式的值．
(1)C9699＋C9799；
(2)C n n＋1·C n－2
n
；
(3)C34＋C35＋C36＋…＋C310；
(4)A23＋A24＋A25＋…＋A2100.
探究点二简单的组合应用题
例2某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？
跟踪训练27名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
答案140
例3 (1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
探究点四有限制条件的组合问题
例4在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？。