科学计算方法12(样条插值)

证明: 由插值条件知
R( x0 ) R( x0 ) 0 R( x1 ) R( x1 ) 0
如果x 等于 x0 或 x1 有f(x0)=H(x0)和f(x1)=H(x1) 。
如果x 不等于 x0 或 x1,考虑构造辅助函数
F(t)
f
(t
)
H
(t
)
[
f
(
x)
H(
x)]
(t (x
x0 x0
)2 )2
13:42
4/41
The given data points in the figure are (1,2), (2,1), (4,4), and (5,3), and the cubic spline is given by
13:42
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Hermite插值问题 不仅要求函数值相等，而且要求若干阶导数值 也相等。即插值函数 H(x) 满足H (xi) = f (xi), H′(xi) = f ′ (xi),…, H(m) (xi) = f (m) (xi)。
0(
x)
(
x
x0
)(
x x0
x1 x1
)2
1( x) C( x x1 )( x x0 )2
1(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
x
x0 x1
0(x) 0 0
0
(
x
)
1
0
1(x) 0 0
1( x) 0 1
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H ( x) (1 2
x x0 )( x x1 )2 x1 x0 x0 x1
两点三次插值问题, 已知插值条件如下:
f ( x0 ) y0
f ( x0 ) m0
f ( x1 ) y1 f ( x1 ) m1
插值函数 H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3
H13:4(2x0 ) y0 , H ( x1 ) y1 , H ( x0 ) m0 , H ( x1 ) m1
(t x1 )2 ( x x1 )2
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显然F(t) 有三个零点 x0, x, x1, 由Rolle定理知,存在 F (t ) 两个零点 t0, t1。故 F (t ) 有四个相异零点
x0 t0 x t1 x1
反复应用 Rolle 定理, 得 F(4)(t)有一个零点
一般认为Pn(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好？
Runge反例 (rungeinterp)
f(x)=1/(x^2+1), (-5<=x<=5)
x=-5:5; y=1./(x.^2+1); u=-5:.01:5; v=polyinterp(x,y,u); plot(x,y,'o',u,v,'-')
)(
x x0
x1 x1
)2
1(
x)
(1
2
x x0
x1 x1
)(
x x1
x0 x0
)2
x
x0 x1
0(x) 1 0
0 ( x) 0 0
1(x) 0 1
1( x) 0 0
回顾13::4如2 果x0为f ( x) ( x x0 )2 g( x)的2重根, 则f ( x0 ) 0。
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0 ( x) C( x x0 )( x x1 )2
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例 设 y = f(x) 在区间 [a, b]上连续,且 f (x) 在 (a, b) 内具有2阶导数。如果当x∈ (a, b)时|f ''(x)|≤M, 则
| R1(x) | M(b a)2 / 8
证明 由Lagrange插值误差公式
f ( )
R1( x) f ( x) P1( x)
F (4) ( )
f
(4) (
)
(
x
f (x) H(x) x0 )2 ( x x1
)2
(4!)
0
R( x)
f (x) H(x)
f
(4) (
4!
) [(
x
x0
)(
x
x1
)]2
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分段三次Heimite插值
x x0 x1 0(x) 0 0 0( x) 1 0 1(x) 0 0 1( x) 0 1
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0 ( x) (ax b)( x x1 )2
a 2 / ( x0 x1 )3
b 1 / ( x0 x1 )2 2 x0 / ( x0 x1 )3
0(
x)
(1
2
x x1
x0 x0
( x a)( x b) 2
令h(x) = |( x – a )( x – b )|
max h( x) h( a b ) (b a)2
a xb
2
4
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| R1(x) | M (b a)2 / 8
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分段线性插值
插值节点满足: x0<x1<···<xn 已知 f (xk) = yk (k= 0,1,2,···,n)
y0
(1 2
x x1 )( x x0 )2 x0 x1 x1 x0
y1
(
x
x0
)(
x1 x1
x x0
)2
m0
(
x
x1
)(
x0 x0
x x1
)2
m1
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两点Hermite插值的误差估计
R( x)
f (x) H(x)
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(4) ( (
4!
x))
[(
x
x0
)(
x
x1 )]2
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存在唯一性
定理5.4 x0和x1互异, 满足插值条件的次数小于等于三 次的Hermite插值是存在且唯一的。
证明:
1 1
0
0
x0 x1 1 1
x02 x12 2 x0 2 x1
x03 x13 3 x02 3 x12
a0
a1
aa23
y0
y1
mm10
1 x0 x02 x03
1 0
x1 1
x12 2 x0
x13 3 x02
( x1 x0 )4
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0
1
2 x1 3 x12
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Hermite插值的基函数
H ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
x x0 x1 0(x) 1 0 0 ( x) 0 0 1(x) 0 1 1( x) 0 0
先设定区间序号k, 使得 xk ≤x ≤ xk+1
再定义局部变量s为x -xk
记一阶差商为
k
yk1 xk1
yk xk
插值函数可写为:
P(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )
yk
s k
该13式:42 是通过(xk,yk)和(xk+1,yk+1)两点的线性函数。
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The given data points in the figure are (1,2), (2,1), (4,4), and (5,3), and the linear spline is given by