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章末整合专题总结专题一通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前n项的和．现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)12，34，78，1516，3132，…；(2)－12，34，－58，716，－932，…；(3)3,33,333,3333，…；(4)1,3,6,10,15，….解析：(1)不难看出，各项的分母是2的n次幂，分子比分母小1，∴a n＝2n－1 2n.(2)观察数列的前5项发现如下规律：分子1,3,5,7,9与序号的关系是序号的2倍减1，即2n －1；分母2,4,8,16,32与序号的关系是2的序号次幂，即2n ，而各项的符号变化为负，正，负，正，…与序号的关系是(－1)n .所以数列的一个通项公式是a n ＝(－1)n ·2n －12n . (3)a n ＝39(10n －1)＝13(10n －1)． (4)a n ＝12n (n ＋1)． 总结点评：用观察法写出数列的通项公式．一般考虑如下几点：①考虑公式中是否有(－1)n 或者(－1)n －1部分．②考虑各项的变化规律与序号关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后，规律表现的不那么明显的项，同时注意等差、等比的关系．③应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方数列{n 2}与(－1)n 有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．【变式训练】1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)12，45，910，1617，…；(2)1，－13，17，－115，131，…；(3)34，78，1516，3132，…；(4)21,203,2005,20007，…；(5)0.2,0.22,0.222,0.2222，…；(6)1,0,1,0,1,0，…；(7)1，32，13，54，15，76，….解析：(1)∵各项的分子分别是12,22,32,42，分母比分子大1.∴数列的通项公式a n＝n2n2＋1.(2)奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1.∴数列的通项公式为a n＝(－1)n＋1·12n－1.(3)∵各项的分母分别是22,23,24,25，…，分子比分母小1，∴数列的通项公式为a n ＝2n ＋1－12n ＋1.(4)各项可看作21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2005＝2×1000＋5,20007＝2×10000＋7.∴数列的通项公式为a n ＝2×10n ＋(2n －1)．(5)把各项适当变形0.2＝2×0.1＝29×0.9＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，0.22＝2×0.11＝29×0.99＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100， 0．222＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11000，0.2222＝29×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110000，…， ∴数列的通项公式为a n ＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (6)奇数项皆为1，偶数项皆为0∴数列的通项公式为a n ＝1＋(－1)n －12. (7)各项可看作1＝1＋0，32＝12＋1，13＝13＋0，54＝14＋1，15＝15＋0，76＝16＋1，…， ∴数列的通项公式为a n ＝1n ＋1＋(－1)n 2. 2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．前n 项和关系式有两种形式：一种是S n 与n 的关系式，记为S n ＝f (n )，它可由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)直接求出通项a n ，但要注意n ＝1与n ≥2两种情况能否统一；另一种是S n 与a n 的关系式，记为f (a n ，S n )＝0，求它的通项公式a n .例2记等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 4＝1，S 8＝17，求{a n }的通项公式．解析：设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17知q ≠1，所以得a1(q4－1)q－1＝1①a1(q8－1)q－1＝17②由①、②式得q8－1q4－1＝17，整理，得q4＋1＝17.解得q4＝16，所以q＝2或q＝－2.将q＝2代入①式，得a1＝115，∴a n＝2n－1 15；将q＝－2代入①式，得a1＝－1 5，∴a n＝(－1)n×2n－15.例3已知在数列{a n}中，a n>0，S n是数列{a n}的前n项和，且a n＋1a n＝2S n，求a n.解析：此题按一般方法转化为数列{a n}的递推公式难以求出通项a n，不妨利用a n ＝S n－S n－1(n≥2)先把它转化为数列{S n}的递推公式，先求S n，再求a n.对于a n ＋1a n＝2S n 且a n >0① 当n ＝1时，a 1＋1a 1＝2a 1，∴S 1＝a 1＝1. 当n ≥2时，把a n ＝S n －S n －1代入①得S n －S n －1＋1S n －S n －1＝2S n ，化简得S 2n －S 2n －1＝1.所以数列{S 2n }是以S 21＝a 21＝1为首项，公差d ＝1的等差数列，即S 2n ＝1＋(n －1)·1＝n .∵a n >0，∴S n >0，∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1.而n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝n －n －1. 总结点评：对于已知S n ，求a n ，即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略了条件n ≥2而出错，必须验证n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)来表示． 【变式训练】2．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n(41－n)2，试求数列{|a n|}的前30项的和T30.解析：可利用通项与前n项和关系a n ＝S n－S n－1(n≥2)先求a n，再讨论a n的符号来求T30.a1＝S1＝3×1×(41－1)2＝60.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－3n＋63.∵n＝1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式a n＝－3n＋63.由a n＝－3n＋63≥0，得n≤21.即当n≤21时，a n≥0；当n≥22时，a n<0.∴T30＝|a1|＋|a2|＋…＋|a21|＋…＋|a30|＝(a1＋a2＋…＋a21)－(a22＋a23＋…＋a30)＝S21－(S30－S21)＝2S21－S30＝2×3×21×(41－21)2－3×30×(41－30)2＝765.3．累差法和累商法(1)形如：已知a1且a n＋1－a n＝f(n)，f(n)为可求和数列的形式均可用累差法．(2)形如：已知a1且a n＋1a n＝f(n)，f(n)为可求和数列的形式均可用累商法．例4根据条件求通项公式a n.(1)已知a1＝1，a n＋1－a n＝2n－n，求a n；(2)已知a1＝1，a n＋1a n＝n＋2n，求a n.解析：(1)∵a n＋1－a n＝2n－n，∴a2－a1＝21－1，a3－a2＝22－2，a4－a3＝23－3，…，a n－a n－1＝2n－1－(n－1)．∴当n≥2时，a n－a1＝(21－1)＋(22－2)＋…＋(2n－1－n＋1)＝(2＋22＋…＋2n－1)－[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝2n－n(n－1)2－2.∵a1＝1，∴a n＝2n－n(n－1)2－1.而a1＝1也适合上式．故{a n}的通项公式为a n＝2n－n(n－1)2－1.(2)∵a n＋1a n＝n＋2n，∴a2a1＝31，a3a2＝42，a4a3＝53，…，a na n－1＝n＋1n－1，∴当n≥2时，a na1＝3·4·5·…·(n＋1)1·2·3·…·(n－1)＝n(n＋1)2.∵a1＝1，∴a n＝n(n＋1)2.而a1＝1也适合上式，故{a n}的通项公式为a n＝n(n＋1)2.总结点评：题设条件是递推公式．根据递推公式求通项公式，常用两种方法：其一，由递推公式求出前五项，然后根据前五项的规律猜想通项公式；其二，利用递推公式中表现出的规律求解，如差后累加，商后累积等．【变式训练】3．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝n n＋1a n，求通项a n.解析：∵a n＋1＝nn＋1a n对所有正整数均成立，即a n＋1a n＝nn＋1恒成立，∴a2a1＝12，a3a2＝23，…，a na n－1＝n－1n.以上各式累乘得a2a1×a3a2×…×a na n－1＝12×23×…×n－1n，即a na1＝1n.又∵a1＝1，∴a n＝1n，且a1适合a n.综上，通项为a n＝1 n.4．构造法形如：已知a1，a n＋1＝pa n＋q(p，q为常数)形式均可用构造等比数列法，即a n＋1＋x ＝p(a n＋x)，{a n＋x}为等比数列，或a n＋2－a n＋1＝p(a n＋1－a n)，{a n＋1－a n}为等比数列．例5若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝1 2a n＋1，求a n.解法1：∵a n＋1＝12a n＋1，∴a n＋2＝12a n＋1＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝12(a n ＋1－a n ) 令b n ＝a n ＋1－a n (n ＝1,2,3，…)，则b 1＝a 2－a 1＝32－1＝12，b n ＋1＝12b n ， 数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列．∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解法2：设a n ＋1－A ＝12(a n －A )， 则a n ＋1－12a n ＝－12A ＋A ， 根据a n ＋1＝12a n ＋1可得：－12A ＋A ＝1，即A ＝2，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)． 令b n ＝a n －2，则b 1＝a 1－2＝－1，b n ＋1＝12b n ， ∴数列{b n }是以－1为首项，12为公比的等比数列．∵b n ＝b 1·q n －1＝(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴a n ＝2＋b n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解法3：(迭代法)a n ＝12a n －1＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －2＋1＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122a n －2＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －3＋1＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123a n －3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋1 ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋12＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋12＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. 总结点评：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．【变式训练】4．在正整数数列{a n }中，a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，求通项公式a n .解析：由递推关系式难以直接求其通项公式，此时，应设法构造辅助数列，使问题转化为等差或等比数列问题．∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2. 令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2， 即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令c n ＝b n －2，则c n ＋1＝12c n ，且a 1＝1， ∴b 1＝0，c 1＝－2，∴{c n }为等比数列，∴c n ＝－2(12)n －1＝－(12)n －2. ∴b n ＝2－(12)n －2，a n ＝n-212-()22.专题二 前n 项和的求法数列中求前n 项和是数列运算中的重要内容，高考题多涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n 项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、倒序相加法、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律．确定恰当的解题方法．常见的数列求和方法有以下几种：1．公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．例6数列{a n}的通项为a n＝2n＋1，则由b n＝a1＋a2＋…＋a nn所确定的数列{b n}的前n项和是()A．n(n＋2) B.12n(n＋4)C.12n(n＋5) D.12n(n＋7)解析：a1＋a2＋…＋a n＝S n＝n(a1＋a n)2即S n＝n(3＋2n＋1)2＝n(n＋2)，∴b n＝n(n＋2)n＝n＋2.令T n为数列{b n}的前n项和，则T n＝n(b1＋b n)2＝n(3＋n＋2)2＝n(n＋5)2.答案：C例7设数列{x n}满足log a x n＋1＝1＋log a x n(a>0，且a≠1，n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200的值为()A．100a B．101a2C．101a100D．100a100解析：由log a x n＋1＝1＋log a x n，得log a x n ＋1＝log a(ax n)，∴x n＋1x n＝a，即数列{x n}是公比为a的等比数列．设b1＝x1＋x2＋…＋x100，b2＝x101＋x102＋…＋x200，即在数列{x n}中每隔100项取和按原顺序排列构成新数列{b n}，则{b n}为等比数列，公比为Q＝a100.∴b2＝b1·Q＝100·a100.即x 101＋x 102＋…＋x 200＝100a 100. 答案：D总结点评：利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．【变式训练】5．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75. 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1. ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)． ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为1 2.∴T n＝14n2－94n.2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：①1n(n＋k)＝1k·(1n－1n＋k)；②若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；③1n＋1＋n＝n＋1－n等．例8已知数列{a n}，且a n＝1(3n－2)(3n＋1)，求其前n项和．解析：∵a n＝1(3n－2)(3n＋1)＝13(13n－2－13n ＋1)， ∴前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3n －2)(3n ＋1) ＝13[(1－14)＋(14－17)＋(17－110)＋…＋(13n －2－13n ＋1)] ＝13(1－13n ＋1)＝n 3n ＋1. 总结点评：本题将所求和式中的一项拆成两项，出现抵消项达到求和的目的，这种方法是裂项求和法，常见的拆项还有：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1b ＝a ＋1b ，1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)． 【变式训练】6．已知数列{a n }：1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…，求它的前n 项和．解析：∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比q ，并向后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．例9求和：S n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋2n －12n . 解析：数列1,3,5，…，2n －1成等差数列，数列12，14，18，…，12n 成等比数列，此例利用错位相减法可达目的．∵S n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n －1)×12n ① ∴12S n ＝1×14＋3×18＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1② ①－②得，12S n ＝1×12＋2×14＋2×18＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝1×12＋2×14－2×12n ＋11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n (n ∈N *)．总结点评：将通项公式a n ＝2n －12n 拆分成(2n －1)·12n ，2n －1为等差数列，12n 为等比数列，符合错位相减法的特点．【变式训练】7．利用等比数列前n项和公式的推导方法，求通项为a n＝nx n－1的数列的前n项和S n.解析：当x＝1时，S n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2；当x≠1时，S n＝1＋2x＋3x2＋…＋(n－1)x n－2＋nx n－1，①xS n＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)x n－1＋nx n.②①－②得(1－x)S n＝1＋x＋x2＋…＋x n－1－nx n＝1－x n1－x－nx n，∴S n＝1－x n(1－x)2－nx n1－x.4．倒序相加法当数列{a n}满足a k＋a n－k为常数时，可用倒序相加法来求数列{a n}的前n项和．例10设f (x )＝4x4x ＋2，求和S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008. 解析：因为f (x )＝4x4x ＋2， 所以f (1－x )＝41－x 41－x ＋2＝44＋2·4x ＝24x ＋2， 所以f (x )＋f (1－x )＝1.所以S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20072008＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20062008＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12008.② ①＋②得2S ＝2007.所以S ＝20072. 总结点评：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．【变式训练】8．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 13＝M ，a n ＋a n －1＋…＋a n －12＝N ，求S n .解析：(a1＋a n)＋(a2＋a n－1)＋…＋(a13＋a n－12)＝M＋N而a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a13＋a n－12＝M＋N13，∴S n＝(a n＋a1)n2＝(M＋N13)·n2.5．分组求和法如果一个数列中连续等段的和具有一定的规律性，则可考虑分组求和．分组求和实际上就是通过“拆”和“组”的手段把问题化归为可求或易求和的数列问题．解题时要依据段的特点，对n的取值进行讨论．例11求和S n＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n·(2n－1)．解析：n为偶数时，S n＝2×n2＝n；n为奇数时，S n＝2×n－12＋(－1)n·(2n－1)＝n－1－(2n－1)＝－n.∴S n＝(－1)n·n.总结点评：S n＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋……把每二项分成一组，其和为常数，便于求解，但注意项数，因此分为奇数和偶数讨论．【变式训练】9．(1)求数列112，214，318，…，(n ＋12n )的前n 项和；(2)求和S n ＝3＋33＋…＋33...3n 个.解析：(1)S n ＝112＋214＋318＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋1－12n . (2)a n ＝33...3n 个＝39×99...9n 个＝13(10n －1)． ∴S n ＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n －1)＝13(10＋102＋…＋10n )－n 3＝13×10(1－10n )1－10－n 3＝1027(10n －1)－n 3.专题三思想方法1.函数与方程的思想数列是特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题．比如求等差数列前n项和S n的最值，常转化为关于n的二次函数求最值或数形结合利用函数图象求最值．等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中含有a1，n，d(q)，a n，S n这五个基本量，已知其中任三个，通过解方程组可以求出其余两个．例12数列{a n}共七项，其中a1，a3，a5，a7成等差数列，其和为S；a2，a4，a6成等比数列，若S－a2·a6＝42，a1＋a4＋a7＝25，求a4.解法1：S＝a1＋a3＋a5＋a7，∵a1＋a7＝a3＋a5，∴2(a1＋a7)＝S.又a1＋a4＋a7＝25，∴a4＝25－(a1＋a7)＝25－S 2.∵a2，a4，a6成等比数列，∴a 24＝a 2a 6，又a 2a 6＝S －42，即a 24＝S －42，∴(25－S 2)2＝S －42，即S 2－104S ＋2668＝0，∴S ＝46或S ＝58，∴a 4＝±2或a 4＝±4. 检验知a 4＝－2或a 4＝4不合题意， 故a 4＝2或a 4＝－4.解法2：由解法1可知a 4＝25－S 2， ∴S ＝50－2a 4，又a 2·a 6＝a 24，代入S －a 2·a 6＝42， 可得50－2a 4－a 24＝42，即a 24＋2a 4－8＝0，解得a 4＝2或a 4＝－4.例13在等差数列{a n }中，首项a 1>0，S n 是其前n 项的和，且S 3＝S 10.问当n 等于多少时，S n 的值最大？最大值是多少？解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝S 10，得3(a 1＋a 1＋2d )2＝10(a 1＋a 1＋9d )2，则d ＝－16a 1.所以S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝na 1＋12n (n －1)(－16a 1)＝－112a 1(n －132)2＋16948a 1， 故当n ＝6或n ＝7时，S n 取得最大值，最大值为72a 1. 总结点评：数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作是以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题是常用的思想方法．【变式训练】10．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n为数列{S n n }的前n 项和，求T n 的最大值． 解析：列方程组可求得S n ，继而求得T n ，把T n 看成关于自变量n 的函数来求最大值即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . ∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝2115a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝3a 1＋7d ＝－5，解得a1＝9，d＝－2.∴S n＝na1＋n(n－1)2d＝9n－(n2－n)＝10n－n2.则S nn＝10－n.∵S n＋1n＋1－S nn＝－1，∴数列{S nn}是以9为首项，公差为－1的等差数列．则T n＝n·[9＋(10－n)]2＝－12n2＋192n＝－12(n－192)2＋3618.∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，T n有最大值45.2．整体思想整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想．整体思想的灵活运用，通常可将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简捷．例14在等比数列{a n}中，前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求S30.解析：易知公比q≠1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 10＝a 11－q (1－q 10)＝10 ①S 20＝a 11－q (1－q 20)＝30 ②. ②÷①，得1＋q 10＝3，即q 10＝2，代入①，得a 11－q ＝－10.故S 30＝a 11－q(1－q 30)＝－10×(1－23)＝70.总结点评：在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部分为一个整体，采用整体代换，整体消元，可以大大减少运算量，提高解题速度．【变式训练】11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3 解析：{a n }为等比数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…成等比数列，令S 3＝k .∵S 6S 3＝3，S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k . S 9－S 6＝4k ，∴S 9＝7k ，S 9S 6＝73，故选B.答案：B3．分类讨论的思想分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决．分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗．例15在数列{a n }中，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，3n (n 为偶数)，求其前n 项和S n . 解析：显然奇数项组成等差数列且公差为4，偶数项组成等比数列且公比为9.①当n ＝2m (m ∈N *)时，S n ＝1＋5＋…＋(4m －3)＋9＋92＋…＋9m ＝m (4m －2)2＋9(1－9m )1－9＝n (n －1)2＋98(3n －1)． ②当n 为奇数时，则n －1为偶数，∴S n ＝S n －1＋a n ＝(n －1)(n －2)2＋98(3n －1－1)＋2n －1＝n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)． 综合上述可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n －1)2＋98(3n －1)(n 为偶数)，n (n ＋1)2＋98(3n －1－1)(n 为奇数).总结点评：解答本题时容易误认为其公差为2，公比为3.因此在分析情景比较新颖的数列问题时，最好是从特例入手，也就是先写出该数列的前几项．【变式训练】12．求数列1，－22,32，－42，…，(－1)n －1n 2，…的前n 项和．解析：①当n 为偶数时，S n ＝(1－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋[(n －1)－n ]·[(n －1)＋n ]＝－[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＋n ]＝－n (n ＋1)2. ②当n 为奇数时，则n －1为偶数，∴S n ＝S n －1＋n 2＝－(n －1)n 2＋n 2＝n (n ＋1)2. 综合①②可知：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n (n ＋1)2(n 为偶数)n (n ＋1)2(n 为奇数).4．转化思想转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法．数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决．例16设a 0是常数，且a n ＝3n －1－2a n －1(n ∈N *)．证明：对任意n ≥1，都有a n ＝15[3n ＋(－1)n －1·2n ]＋(－1)n ·2n a 0.证明：这里a n －1的系数是－2，无法直接用递推法求解．先将已知递推式的两边同除以3n －1得到a n 3n －1＝1－2a n －13n －1，即3·a n 3n ＝1－2·a n －13n －1.若令b n ＝a n 3n ，则有3b n ＝1－2b n －1.设3(b n ＋k )＝－2(b n －1＋k )，即3b n ＝－5k －2b n －1，∴－5k ＝1，即k ＝－15.于是b n －15b n －1－15＝－23， 即{b n －15}是以b 1－15为首项，公比为－23的等比数列．∴b n －15＝(b 1－15)(－23)n －1＝(a 13－15)(－23)n －1＝(1－2a 03－15)(－23)n －1， ∴a n ＝3n [2－10a 015·(－23)n －1＋15]， ∴a n ＝15[3n ＋(－1)n －1·2n ]＋(－1)n ·2n a 0(n ≥1)．总结点评：有些数列虽然不是等差数列或等比数列，但可以通过变形，化简，转化为等差数列或等比数列问题进行解决．【变式训练】13．已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n≥1，n∈N*)，求通项a n.解析：由已知条件得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴a n＋1＋1a n＋1＝2(n≥1，n∈N*)．∴数列{a n＋1}是一个公比为2的等比数列，且首项为a1＋1＝2，∴a n＋1＝(a1＋1)·q n－1＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n－1.。
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针对训练 2.( ·无锡市高三统考)下图中实线代表地形等高线，虚线
代表潜水等水位线(单位：米).读图分析回答(1)～(2)题。
(1)有关图中河流的叙述正确的是( )
①图中河流流向为由a到b ②图中河流流向为由b到a
③此图表明该处潜水补给河水 ④此图表明该处河水补给潜水
A．①③
B．②③
中,1、3布置水井是合理的,1、2取水有冲突,是不合理的.
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②水井中水面离地面高度的计算：H=H海拔-H潜水位
HA＝65－50＝15米，HB＝55－46＝9米 (2)等潜水位线图与排水沟：排水沟线应平行于等潜水 位线且潜水埋藏深度较浅的地方。如图中，排水沟5是 合理的，而4不合理。
A．长江三角洲地区都吹东北风 B．副热带高压南侧洋面处于台风活动期
C．台湾海峡受上升气流影响而多雨 D．华北地区干燥少雨 (2)下列诗句描述的降水情景，可能出现在图示时期的是( ) A．清明时节雨纷纷 B．黄梅时节家家雨 C．雨滴梧桐秋夜长 D．清风细雨湿梅花
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解析：第(1)题，从图中看出副热带高压脊在长三角的南部(或东南部)，此时长 三角多盛行东南风，A项错误；台风从低纬度北上遇到强大的副热带高压时， 不能继续北上，只能在其南侧活动，B项正确；台湾海峡正好处在副高的控制 之下，天气晴朗干燥，C项错误；图中副热带高压脊大致位于25°N附近，材 料中的“雨带位于高压脊以北5～8个纬度”，说明华北地区不处于雨带范围 之内，所以干燥少雨，D项正确。第(2)题，此图所示的雨带位于江淮地区，梅 雨和秋雨最为恰当。冬末春初时节，锋面雨带尚未
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针对训练
1．( ·江苏卷)(双选)我国东部地区 的主要锋面雨带，通常位于西太平洋副 热带高压脊线以北5～8个纬度距离处， 并随西太平洋副热带高压的北进南退而 挪动。右图为“西太平洋副热带高压脊 线位置示意图”.读图,回答(1)～(2)题。
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章末知识整合由于本章公式较多，且各公式间又相互联系，因此，本章的题目可一题多解．解题时除采用常规的公式法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法等也是本章解题中常用的方法．1．一般公式法一般公式法是指速度、位移公式的运用，即基本规律的运用，它们均是矢量式，使用时要注意物理量的正负．2．平均速度法定义式v－＝st对任何性质的运动都适用，而v－＝12(v0＋v t)只适用于匀变速直线运动．3．中间时刻速度法“一段时间的中间时刻的瞬时速度v t2等于该物体在这段时间内的平均速度v－”，适用于任何一段匀变速直线运动．4．比例法对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的五个比例关系，用比例法求解．5．逆向思维法把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知的情况．6．图象法应用vt图象，可把较复杂的问题转变为简单的数学问题解决，尤其是图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速找出答案．7．巧用推论Δs＝s n－s n－1＝aT2解题匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即Δs＝s n－s n－1＝aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δs＝aT2来求．图象问题【例1】(2013·梅州模拟)一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的st图象如图所示，则( )A ．15 s 末汽车的位移为300 mB ．20 s 末汽车的速度为－1 m/sC ．前10 s 内汽车的加速度为3 m/s 2D ．前25 s 内汽车做单方向直线运动解析：由位移时间图象可知：前10 s 汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s ，加速度为0，所以C 项错误；10～15 s 汽车处于静止状态，汽车相对于出发点的位移为30 m ，A 项错误；15～25s 汽车向反方向做匀速直线运动，速度为v ＝Δs Δt ＝20－3025－15m/s ＝－1 m/s ，B 项正确，D 项错误．答案：B【例2】 某物体运动的vt 图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．物体在第1 s 末运动方向发生改变B ．物体在第2 s 内和第3 s 内的加速度是相同的C ．物体在第6 s 末返回出发点D ．物体在第5 s 末离出发点最远，且最大位移为0.5 m 解析：物体在前2 s 内速度方向均为正方向，A 项错误；物体在第2 s 内和第3 s 内的vt 图线的斜率相同，故加速度相同，B 项正确；物体在前4 s 内的总位移为零，在第2 s 末和第6 s末离出发点最远，最大位移为s m ＝12×1×2 m＝1 m ，故C 、D 两项均错误．答案：B点评：考查对vt 图象的理解是本章在高考中的高频考点，考试时一定要明确所给图象显示的知识内容．如图象的截距、斜率、所围面积、图象交点等，所传达的是什么物理知识或反映的是物理量之间的什么关系等，抓住这些信息去进行判断选择． 实验数据的处理【例3】 (2012·山东高考)某同学利用图甲所示的实验装置，探究物块在水平桌面上的运动规律．物块在重物的牵引下开始运动，重物落地后，物块再运动一段距离停在桌面上(尚未到达滑轮处)．从纸带上便于测量的点开始，每5个点取1个计数点，相邻计数点间的距离如图乙所示．打点计时器电源的频率为50 Hz.(1)通过分析纸带数据，可判断物块在两相邻计数点________和________之间某时刻开始减速．(2)计数点5对应的速度大小为________m/s ，计数点6对应的速度大小为________m/s(保留三位有效数字)．(3)物块减速运动过程中加速度的大小为a ＝______m/s 2，若用a g来计算物块与桌面间的动摩擦因数(g 为重力加速度)，则计算结果比动摩擦因数的真实值______(选填“偏大”或“偏小”)．解析：(1)由于计数点6之前相邻计数点之间距离之差约为2 cm ，而计数点6、7之间的距离比计数点5、6之间的距离多1.27 cm ，故可判断物块在相邻计数点6和7之间某时刻开始减速．(2)计数点5对应的速度v 5＝s 462T ＝＋－22×0.1m/s≈1.00 m/s. 物块做加速运动时加速度大小为a 加＝Δs 加T 2＝2.00×10－20.12＝m/s 2＝2.00 m/s 2. 则计数点6对应的速度为v 6＝v 5＋a 加T ＝(1.00＋2.00×0.1)m /s ＝1.20 m/s.(3)物块做减速运动时的加速度大小为a ＝Δs 减T 2＝2.00×10－20.12 m/s 2＝2.00 m/s 2. 由牛顿第二定律得：μmg ＝ma ，所以μ＝a g，由于除去物块与桌面间的摩擦力，纸带还受到摩擦力的作用，故计算结果比动摩擦因数的真实值偏大．答案：(1)6 7(或7 6) (2)1.00 1.20(3)2.00 偏大一、单项选择题1．(2013·广东高考)某航母跑道长为200 m ，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s 2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )A ．5 m/sB ．10 m/sC ．15 m/sD ．20 m/s解析：由v 2t －v 20＝2as 得：v 0＝v 2t －2as ＝10 m/s.选项B 正确．答案：B2.质点做直线运动的vt 图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内平均速度的大小和方向分别为( )A ．0.25 m/s ，向右B ．0.25 m/s ，向左C ．1 m/s ，向右D ．1 m/s ，向左解析：前8 s 内平均速度v —＝12×2×3＋12－8＝－0.25 m/s ，说明平均速度的大小为0.25 m/s ，方向向左．答案：B3.(2013·广东六校联考)如图所示为物体做直线运动的vt 图象．若将该物体的运动过程用st 图象表示出来(其中s 为物体相对出发点的位移)，则下列四幅图描述正确的是( )答案：C二、双项选择题4．(2013·梅州皇华中学月考)有关下图所示vt图象的说法，错误的是( )A．物体做匀速直线运动B．速度随时间而增加C．第3 s的速度是10 m/sD．第3 s末的速度是10 m/s解析：由图象可知，图象的斜率ΔvΔt ＝53m/s2＝a为一固定值，即该物体做匀加速直线运动，故A项错误，B项正确．一般我们所说的速度为物体的瞬时速度，故D项为正确表述．答案：AC5．(2013·全国新课标高考)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移-时间(x-t)图线，由图可知( )A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大解析：在时刻t1，b车追上a车，选项A错误．根据位移图象的斜率表示速度可知，在时刻t2，a、b两车运动方向相反，选项B正确．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加，选项C正确，D项错误．答案：BC6．(2013·全国大纲版高考)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2 s，它们运动的图象分别如直线甲、乙所示．则( )A．t＝2 s时，两球的高度相差一定为40 mB．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等D．甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等解析：由于甲乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，t＝2 s时，两球的高度相差不一定为40 m，两球从抛出至落到地面所用的时间间隔不相等，选项A、C错误．根据速度图象与横轴所夹面积表示位移可知，t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等，选项B正确．由于甲乙两小球先后以同样的速度竖直向上抛出，甲球从抛出至到达最高点的时间间隔与乙球相等，选项D正确．答案：BD三、非选择题7．汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如下图所示．(1)画出汽车在0～60 s内的vt图线．(2)求在这60 s内汽车行驶的位移．解析： (1)由加速度图象可知，前10 s 汽车匀加速，后20 s 汽车匀减速并恰好停止，因为图象的面积表示速度的变化，此两段的面积相等，最大速度为20 m/s ，所作的vt 图象如下图所示，利用速度图象的面积求出位移．(2)汽车运动的位移为匀加速、匀速、匀减速三段面积之和 s ＝s 1＋s 2＋s 3 ＝12×20×10＋20×30＋12×20×20＝900 m. 答案：(1)速度图象如解析图所示 (2)900 m8．如图是某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带．(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz ，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________．(2)A 、B 、C 、D 是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出．从图中读出A 、B 两点间距s ＝______；C 点对应的速度是________．(计算结果保留3位有效数字)解析：(1)T ＝1f＝0.02 s. (2)读A 、B 两点数值：1.00 cm 、1.70 cm ，故：s ＝1.70－1.00＝0.70 cm ，v C ＝v －BD ＝BD 2t ＝0.90＋1.100.2×10－2 m/s ＝0.100 m/s.答案：(1)0.02 s (2)0.70 cm 0.100 m/s。
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章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来． 解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求．②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4. 又因为因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，且B ⊆A ，利用数轴所以－p 4≤－1. 所以p ≥4，故实数p 的取值范围为{p |p ≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＜4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集的个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：当x ＝1时，y ＜3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y ＜2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y ＜1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在；当x ≥4时，y ＜0，也不满足y ∈N *.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．(2)当a－3＞5，即a＞8时，A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；当a＞8时，A∪B＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合∁A(A∩B)＝________．解析：因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x<1或x>3}，所以A∩B＝{x|－4<x<1或3<x<4}．所以∁A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}四、利用集合的运算求参数[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解．解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅；当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析： 每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn 图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12。
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第 一 章 人 口 与 环 境
【解析】 本题考查学生的图表阅读能力与对区域 人口和经济状况的了解程度。解题难点是读图。注 意图中曲线反映了产业人口构成的时间变化，箭头 表示三角形坐标系中坐标数值增大的方向。第(1)题， 首先确定泰国、德国的产业人口构成曲线，上为泰 国曲线，下为德国曲线(第二、三产业德国比重高于 泰国)，然后判断各国产业构成特点及其变化趋势。 泰国1937～1999年，第一产业人口比重下降，排除 A项；1999年德国第三产业人口比重约65%，泰国 第一产业比重接近50%，排除C、D两项。第(2)题， 读出1960年、1999年泰国的产业人口比重，比较其 发展变化。 【答案】 (1)B (2)A
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第 一 章 人 口 与 环 境
例1 下图是德国和泰国产业人口构成的变化 示意图。读图，回答(1)～(2)题。
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第 一 章 人 口 与 环 境
(1)关于德国和泰国产业人口构成及其变化的叙述， 正确的是( ) A．1937～1999年，泰国第一产业人口比重呈上升 趋势 B．1961～1999年，德国第二产业人口比重呈下降 趋势 C．1999年，两国均以第二产业人口比重为最高 D．1999年，两国均以第三产业人口比重为最高 (2)1960～1999年，泰国产业人口数量变化最大的是 ( ) A．农业 B．工业 C．商业 D．旅游业
的道路。第(4)题，从1990年到2032年，是我国人口 年龄结构最佳的“黄金时期”，老年人口和少年人口 比重较低，青壮年劳动人口比例高，社会负担轻， 有利于经济的快速发展。第(5)题，解决性别比例失
苏教版高中数学必修一 第三章 章末知识整合(附答案)
章末知识整合一 指数、对数的基本运算[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π. (2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2， 又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2. 答案：(1)π (2)2 规律方法1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简．[即时演练] 1.计算：(1)(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．(2)(2015·浙江卷)2log 23＋log 43＝________． 解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.(2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3. 答案：(1)278 (2)3 3二 幂函数的图象与性质[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m2<(3－2a )－m2的a 的取值范围．解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小， 所以m 2－2m －3<0.利用二次函数的图象可得－1<m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称， 所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1. 所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12.又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23<a <32.故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32. 规律方法1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)． (1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性； (2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式． 解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， 所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. 所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因此函数f (x )＝x 12.三 指数函数与对数函数的图象与性质 [例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，ax －2x －1＞0，即(x －1)(ax －2)＞0.当0＜a ＜2时，2a ＞1.解不等式得x ＜1或x ＞2a .当a ＜0时，解得2a＜x ＜1.故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1；当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a .(2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1， 在(2，4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a－2＜0，u（2）＝2a－22－1≥0，解得1≤a＜2.所以实数a的取值范围为[1，2)．规律方法1．求解f(x)的定义域，注意a的取值影响，要进行分类讨论．2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u(2)≥0得到关于a的不等式组．[即时演练] 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．四 函数模型的实际应用[例4] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．图甲 图乙(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1，1)和(6，2)．可求得k ＝0.2，b ＝0.8.所以y 甲＝0.2(x ＋4)．故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172.故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大． 即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．[即时演练] 4.某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．五 转化与数形结合思想[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0， 函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. 规律方法1．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[即时演练] 5.(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象(如图所示)． 由图象知，两图象有2个交点，则0＜b ＜2.答案：{b|0＜b＜2}。
【金版学案】2021学年高中物理（知识结构+学习测评）第一章 章末知识整合 粤教版选修1-1(1)
【金版学案】2021-2021学年高中物理（知识结构+学习测评）第一章章末知识整合粤教版选修1-1一、单项选择题Ⅰ(每题3分，共60分)1．关于摩擦起电、传导起电、感应起电，以下说法错误的选项是( )A．这是起电的三种不同方式B．这三种方式都产生了电荷C．这三种起电方式的实质是一样的，都是电子在转移D．这三种方式都符合电荷守恒定律答案：B2．真空中有两个静止的点电荷q1、q2.假设它们之间的距离变成原先的2倍，而把它们的电荷量都变成原先的4倍，那么两电荷间的库仑力将变成原先的( )A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍答案：C3．关于点电荷的以下说法中不正确的选项是( )A．体积较大的带电体也可能看成点电荷B．足够小(例如体积小于1 mm3)的电荷，必然能够看做点电荷C．点电荷是一种理想化模型D．一个带电体可否看成点电荷，不是看它尺寸的绝对值，而是看它的形状和大小对彼此作使劲的阻碍是不是能忽略不计答案：B4．以下现象中，与静电现象无关的是( )A．干燥的冬季脱化纤服装时常常听到响声B．利用太阳能电池的计算器在光线照射下能正常利用C．运油料的油罐车后有一条拖地的铁链D．高大建筑物上装有避雷针答案：B5．如下图是电场中某区域的电场线散布，a、b是电场中的两点，那么( )A．电荷在a点受到电场力方向必然与场强方向一致．B．同一点电荷放在a点受到的电场力比放在b点受到电场力小．C．正电荷放在a点静止释放，在电场力作用下运动的轨迹与电场线一致．D．a点的电场强度较大．解析：正电荷在电场受力方向与电场方向相同，负电荷受电场力方向与电场方向相反，a点的电场线较密，a点的电场较强．选D.答案：D6．以下关于磁感线说法不正确的选项是( )A．磁感线能够形象的描述磁场的强弱与方向B．沿磁感线方向，磁场愈来愈弱C．所有磁感线都是闭合的D．磁感线与电场线一样都不能相交答案：B7．关于磁场和磁感线的描述，以下说法中正确的选项是( )A．磁感线只能形象地描述各点磁场的方向B．磁极之间的彼此作用是通过磁场发生的C．磁感线是磁场中客观存在的线D．磁感线老是从磁体的北极动身、到南极终止答案：B8．关于磁通量，以下说法中正确的选项是( )A．过某一平面的磁通量为零，该处磁感应强度不必然为零B．磁通量不仅有大小，而且有方向，因此是矢量C．磁感应强度越大，磁通量越大D．磁通量确实是磁感应强度解析：磁通量Φ＝BS⊥，磁通量由磁感应强度与垂直于磁场的面积一起决定，当磁场与面积平行时，磁通量为零，磁通量是标量．选A.答案：A9．关于垂直于磁场方向的通电直导线所受磁场作使劲的方向，正确的选项是( )A．既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直B．既与磁场方向平行，又与电流方向平行C．跟磁场方向垂直，跟电流方向平行D．跟磁场方向平行，跟电流方向垂直答案：C10．以一个点电荷为球心，在其周围空间中画出一个球面，关于球面上的各点( ) A．电场强度的大小相同，方向不同B．电场强度的大小相同，方向相同C．电场强度的大小不同，方向不同D．电场强度的大小不同，方向相同答案：A11．以下说法正确的选项是( )A．摩擦起电是制造了电荷B．静电排除是电荷消失了C．用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电D．静电老是有害的答案：C12．关于电场线和磁感线，以下说法正确的选项是( )A．电场线和磁感线都是闭合的曲线B．磁感线是从磁体的N极动身，终止于S极C．电场线和磁感线都不相交D．电场线和磁感线都是现实中存在的答案：C13．关于如下图的实验，以下说法正确的选项是( )A．它第一是由法拉第完成的B．它证明了运动的磁针能产生感应电流C．它揭露了电与磁之间存在彼此作用D．以上说法都不对解析：奥斯特发觉电流的磁效应．答案：C14．如下图，一导体棒放置在处于匀强磁场中的两条平行金属导轨上，并与金属导轨组成闭合回路．当回路中通有电流时，导体棒受到安培力作用．要使安培力增大，可采纳的方式有( )A．减小导体棒的长度B．减小磁感应强度C．改变电流方向D．减小电流强度解析：由F＝BIL知，假设增大安培力F，选项C正确．答案：A15．如下图，带箭头的直线是某一负点电荷形成的电场中的一条电场线，在这条直线上有a、b两点，用E a和E b表示a、b两处的场壮大小，有( )A．a、b两点场强方向相同B．电场线从a点指向b点，因此E a>E bC．电场线是直线，因此E a＝E bD．不知a、b周围的电场线散布，E a和E b的大小关系不能确信解析：电场线是负点电荷产生，b点比a点靠近电荷，因此b点的电场较大，选A.答案：A16．将面积为0.50 m2的线圈放在磁感应强度为2.0×10－3 T的匀强磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，那么穿过线圈的磁通量是( )A．1.0×10－3 Wb B．0.50×10－3 WbC．0.25×10－3 Wb D．0答案：A17．磁感应强度是一个矢量，磁场中某点磁感应强度的方向是( )A．正电荷在该点所受力方向B．沿磁感线由N极指向S极C．小磁针N极或S极在该点的受力方向D．在该点的小磁针静止时N极所指方向答案：D18．两个等量点电荷P、Q在真空中产生电场的电场线(方向未标出)如下图．以下说法中正确的选项是( ) A．P、Q是两个等量正电荷B．P、Q是两个等量负电荷C．P、Q是两个等量异种电荷D．P、Q产生的是匀强电场答案：C19．如下图，表示磁感应强度B，电流强度I和安培力F三者彼此关系图，哪个图是不正确的( )答案：D20．如右图所示，一小段通电直导线AB放在磁场中，其受力方向是( )A．水平向左B．水平向右C．竖直向上D．竖直向下答案：A二、单项选择题Ⅱ(每题4分，共24分)21．有ABC三个带电塑料小球，A和B、B和C、C和A都是彼此吸引的，若是A带正电，那么( ) A．B、C均带负电B．B带负电，C不带电C．B、C中有一个带负电，另一个不带电D．B、C都不带电解析：A带正电，A和B彼此吸引，B有两种带电的可能，一是带负电，二是不带电，B和C彼此吸引，C 也有两种带电的可能，一是带正电，二是不带电，考虑C和A彼此吸引，可得B和C中有一个带负电，另一个不带电．选C.答案：C22．如下图，在水平匀强磁场中，用两根相同的细绳水平悬挂一条粗细均匀的直导线，导线中通以从左到右的电流，现在两根细绳受力都是T.为使T＝0可采纳以下方式中的( )A．把电流强度增大到某一值B．把电流强度减小到某一值C．使电流I反向D．使磁场B反向解析：由左手定那么可判定导体受安培力的方向向上，与绳索拉力方向相同，假设减小绳索拉力，增大安培力即可，由式F安＝BIL可得A对．答案：A23．如下图，一束负电粒子自下而上垂直进入一磁场区域．发觉该粒子发生如图的偏转．以下说法正确的选项是( )A．磁场方向可能水平向左B．磁场方向可能水平向右C．磁场方向可能垂直纸面向里D．磁场方向可能垂直纸面向外答案：C24．绝缘细线上端固定，下端悬挂一轻质小球a，a的表面镀有铝膜，在a的近旁有一绝缘金属球b，开始时a、b都不带电，如下图．现使b带电，那么( )A．ab之间不发生彼此作用B．b将吸引a，吸住后不放开C．b当即把a排斥开D．b先吸引a，接触后又把a排斥开解析：b带电后，吸引a直至接触b，ab接触时，a带上与b同性质的电荷，因此，ab之间产生排斥作用而离开．选D.答案：D25．如以下图所示，条形磁铁放在水平桌面上，在其中正中央的上方固定一根长直导线，导线与磁铁垂直，给导线通一垂直纸面向外的电流，那么( )A．磁铁对桌面的压力减小，不受桌面的摩擦力作用B．磁铁对桌面的压力减小，受到桌面的摩擦力作用C．磁铁对桌面的压力增大，不受桌面的摩擦力作用D．磁铁对桌面的压力增大，受到桌面的摩擦力作用解析：通电导线所在处的磁场由左指向右，导线受到安培力作用，由左手定那么可判定安培力的方向向下，磁铁受导线的反作使劲，方向向上，因此，磁铁受到的支持力减小．磁铁没有水平运动的趋势，故不受摩擦力的作用．答案：A26．四种电场的电场线如下图，一正电荷q 仅在电场力作用下由M 点向N 点加速运动，且加速度愈来愈大．那么该电荷所在的电场是图中的( )解析：电场线的疏密表示电场的强弱，由M 到N 加速度愈来愈大，要求N 的电场较强，电场线较密，因此选D.答案：D三、多项选择题(每题4分，共16分)27．两个相同的金属小球，带电量之比为1∶7，相距为r ，二者彼此接触后再放回原先的位置上，那么它们间的库仑力可能为原先的( )A.47B.37C.97D.167解析：①假设两球原带异种电荷，接触后各带3q 电量，F ′∶F ＝q 1′2q 1q 2＝9∶7；②假设两球原带同种电荷，接触后各带4q 电量，F ″∶F ＝q 1″2q 1q 2＝16∶7.答案：CD 28．关于地磁场，以下说法正确的选项是( )A ．地磁的两极与地理的两极重合B ．指南针的两极必然指向地理的两极C ．地磁的南北与地理的南北大致相反D ．地磁的北极在地理的南极周围答案：CD29．选项所示的各电场中，A 、B 两点场强方向不相同的是( )答案：AD30．某电场区域的电场线如下图，a 、b 是其中一条电场线上的两点，以下说法正确的选项是( )A ．点a 的电场强度方向必然沿着过点a 的电场线向右B ．点a 的电场强度必然大于点b 的场强C ．正电荷在点a 受到电场力必然大于它在点b 受到的电场力D．负电荷在点a受到的电场力必然小于它在点b受到的电场力答案：ABC。
高中生物 第5章 细胞的能量供应和利用章末知识整合 新人教版必修1
高中生物第5章细胞的能量供应和利用章末知识整合新人教版必修1【金版学案】xx-xx学年高中生物第5章细胞的能量供应和利用章末知识整合新人教版必修1专题1 与酶有关的曲线解读►专题归纳1、表示酶高效性的曲线(1)催化剂可加快化学反应速率，与无机催化剂相比，酶的催化效率更高。
(2)酶只能缩短达到化学平衡所需时间，不改变化学反应的平衡点。
(3)酶只能催化已存在的化学反应。
2、表示酶专一性的曲线(1)在A反应物中加入酶A，反应速率较未加酶时明显加快，说明酶A催化底物A参加反应。
(2)在A反应物中加入酶B，反应速率和未加酶时相同，说明酶B不催化底物A参加反应。
3、影响酶活性的曲线(1)在一定温度范围内，随温度的升高，酶的催化作用增加，超过这一范围酶催化作用将减弱。
(2)在最适pH时，酶的催化作用最强，高于或低于最适pH，酶的催化作用都将减弱。
(3)过酸、过碱、高温都会使酶失活，而低温只是抑制酶的活性，酶分子结构未被破坏，温度升高可恢复活性。
(4)反应溶液pH的变化不影响酶作用的最适温度。
4、底物浓度和酶浓度对酶促反应的影响(1)在其他条件适宜、酶量一定的条件下，酶促反应速率随底物浓度增加而加快，但当底物达到一定浓度后，受酶数量和酶活性限制，酶促反应速率不再增加。
(2)在底物充足，其他条件适宜的条件下，酶促反应速率与酶浓度成正比。
►例题分析如图分别表示温度、pH与酶活性的关系，下列有关叙述不正确的是()A、曲线A上的b点对应的温度表示该酶的最适温度B、人体内胃蛋白酶的活性与曲线B部分相似C、曲线B、C说明不同的酶有不同的最适pHD、酶的活性随温度的升高而增强解析：酶的活性受温度和pH 值影响，曲线A的最高点b表示该酶的最适温度，胃蛋白酶的pH 范围为酸性，最适pH值是1、5。
答案：D►跟踪训练1、某工厂生产了一种含有蛋白酶的洗衣粉。
请回答以下问题。
(1)质检局为了检验该洗衣粉中是否真的含有蛋白酶，设计了如下图所示装置进行实验：如果出现的结果是____________________________________________________，则说明该洗衣粉中含有蛋白酶。
第六章-圆周运动章末复习-知识点和题型总结-2023年高一物理期末高效复习专题
第六章：圆周运动章末复习知识点一：匀速圆周运动及其描述一、匀速圆周运动1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．线速度(1)定义式：v＝Δs Δt.如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．2．角速度：半径转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值，即ω＝ΔφΔt(如图所示)．国际单位是弧度每秒，符号是rad/s.3．转速与周期(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．(2)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用符号T 表示．(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝1n .4．匀速圆周运动的特点(1)线速度的大小处处相等．(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度三、描述圆周运动的各物理量之间的关系1．线速度与周期的关系：v＝2πr T.2．角速度与周期的关系：ω＝2πT.3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.知识点二、同轴转动和皮带传动1．同轴转动(1)角速度(周期)的关系：ωA＝ωB，T A＝T B.(2)线速度的关系：vAvB＝rR.2．皮带(齿轮)传动(1)线速度的关系：v A＝v B(2)角速度(周期)的关系：ωAωB＝rR、TATB＝Rr.知识点三、向心力1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．2．大小：F＝mω2r＝m v2 r.3．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．二：向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．几种常见的实例如下：实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向＝F T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝F f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合知识点四：向心加速度的方向及意义1．物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．二：向心加速度的公式和应用1．公式a n ＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)a n与r的关系图象：如图552所示．由a nr图象可以看出：a n与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．图552知识点五：生活在的圆周运动一：火车转弯问题1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．图5732．向心力分析如图573所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mg tan θ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mg tan θ＝m v 2 0R，可得v0＝gR tan θ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．4．轨道压力分析(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．②当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力．二：拱形桥汽车过凸形桥(最高点)汽车过凹形桥(最低点) 受力分析牛顿第二定律求向心力 F n ＝mg －F N ＝m v 2rF n ＝F N －mg ＝m v 2r牛顿第三定律求压力F 压＝F N ＝mg －m v 2rF 压＝F N ＝mg ＋m v 2r讨论v 增大，F 压减小；当v 增大到rg 时，F 压＝0v 增大，F 压增大 超、失重汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态知识点六：离心运动1．离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．2．离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．3．离心运动、近心运动的判断如图578所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F n 与所需向心力⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2r 或mr ω2的大小关系决定．图578(1)若F n ＝mr ω2(或m v 2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．(2)若F n＞mrω2(或m v2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．(3)若F n＜mrω2(或m v2r)即“提供”不足，物体做离心运动．由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．知识点七.竖直平面的圆周运动１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
章末整合(一)
方法四 分离定律与自由组合定律之间的关系
【典例4】黄色皱粒(Yyrr)与绿色圆粒(yyRr)豌豆杂交， F1的基因型种类及比例为( A ) A．4种，1∶1∶1∶1 B．3种，1∶2∶1 C．2种，1∶1 D．4种，3∶1∶3∶1 F1基因型种类 比例 Yy×yy 2(Yy、yy) 1:1 先拆分 2(rr、Rr) 1:1 rr×Rr 再组合
提出问题
作出假说
①生物的性状是由遗传因子(后称为基因) 控制的；②体细胞中的遗传因子是成对存 在的；③生物体在形成配子时成对的遗传 因子彼此分离，分别进入不同的配子中， 配子中只含有每对遗传因子中的一个；④ 受精时，雌雄配子的结合是随机的。
F1是杂合子，在形成配子时，应该产生两 种数量相等的配子，F1与隐性类型杂交后 代的性状分离比应该是1∶1。
返回
方法三 判定性状(或基因)显隐性的方法
【典例3】下表是大豆花色的遗传实验结果，根据哪些组 合能判断出显性花色的类型？
组合 亲本表现型
一 二 三 紫花×白花 紫花×白花 紫花×紫花
F1的表现型和植株数目 紫花 白花 405 411 807 0 1 240 413
F1表现的紫花为显性 白花为新出现的性 状，为隐性性状
第一章
遗传因子的发现 (章末整合)
网 络 构 建
3:1
9:3:3:1
1:1
1:1
1:1:1:1
1:1:1:1
方法整合区
方法一 遗传因子、性状等概念间的相互联系 方法二 例析“假说—演绎法” 方法三 判定性状(或基因)显隐性的方法 方法四 分离定律与自由组合定律之间的关系 方法五 遗传图解的书写方法 方法六 F2中的异常分离比—9∶3∶3∶1的变形比例及其成因 方法七 关于表现型、基因型概率的计算方法
第一章 章末知识整合 课件—2020-2021学年中图版地理必修一(共37张PPT)
A．9 时
B．8 时
C．15 时
D．16 时
(2)若阴影部分为 7 月 6 日，非阴影部分为 7 月 7 日，则甲地
的地方时为( )
A．15 时
B．9 时
C．3 时
D．12 时
解析：第(1)题，昼半球中央经线地方时为 12 时，甲地所在的 经线与昼半球中央经线经度差为 45°，所以地方时差为 3 小时；中 心点为北极点，地球自转方向为逆时针，所以甲地的地方时为 9 时，答案选 A。第(2)题，图示阴影与非阴影界线为日期分界线， 即 180°经线和 0 时经线，顺地球自转方向，过 180°经线日期减一 天，过 0 时经线日期加一天。根据地球自转方向为逆时针，甲左 侧的经线为 0 时经线，与甲地相差 3 小时，所以甲地的地方时为 3 时，答案选 C。
(5)交通条件：内外交通便利，有利于大型设备运输； (6)安全因素：出于国防安全考虑，有的建在山区、沙漠地区， 有的建在地广人稀处。
2．卫星发射时间、方向和回收场地选择 (1)发射时间 发射一般选择在晴朗无云的夜晚，主要是便于定位和跟踪观 测，而我国发射时间主要选择在冬季，便于航天测控网对飞船的 监控、管理、回收。我国有多艘“远望号”监测船在南半球纬度 较高的海域，选择冬季是为了避开南半球恶劣的海况。
0 时经线为平分夜半球 的经线或与正午 12 时 的经线正相对的经线。
较大日期(今日)西侧的 界线为 0 时经线。较大
不同 也可由晨昏线与赤道的 日期(今日)东侧的界线
交点按区时推算
为 180°经线
1．下图是“以北极为中心的北半球图(大圆为赤道)”。读图， 回答(1)～(2)题。
(1)若阴影部分为黑夜，则甲地的地方时为( )
直射次数 南北回归线 1 次，南北回归线之间的地点 2 次
第二章章末整合
一、波的图象反映的信息及其应用从波的图象可以看出：(1)波长λ；(2)振幅A ；(3)该时刻各质点偏离平衡位置的位移情况；(4)如果波的传播方向已知，可判断各质点该时刻的振动方向以及下一时刻的波形；(5)如果波的传播速度大小已知，可利用图象所得的相关信息进一步求得各质点振动的周期和频率：T ＝λv ，f ＝v λ. 例1 如图1所示的横波正在沿x 轴正方向传播，波速为0.5 m/s.请回答下列问题：图1(1)质点P 此时速度方向如何？加速度方向如何？(2)质点K 和P 哪个先回到平衡位置？(3)经过半个周期，质点L的位移和路程分别等于多少？波传播的距离是多少？(4)请画出此波经过1 s后的波形曲线．解析(1)由于波沿x轴正方向传播，可判断质点P向上振动，即质点P速度方向向上；加速度方向与位移方向相反，指向y轴负方向．(2)质点P向上振动，回到平衡位置的时间大于T 4，而质点K经T4回到平衡位置，故质点K先回到平衡位置．(3)质点L经过半个周期，回到平衡位置，位移为0；路程为2A＝0.2 m．波传播的距离为12λ＝1.0 m．(4)T＝λv＝2.00.5s＝4 s，而Δt＝1 s＝T4，在T4内波传播λ4，经T4后的波形如图中虚线所示．答案见解析针对训练1一列简谐横波在t＝0时刻的波形图如图2实线所示，从此刻起，经0.1 s波形图如图2虚线所示，若波传播的速度为10 m/s，则()图2A．这列波沿x轴负方向传播B．这列波的周期为0.4 sC．t＝0时刻质点a沿y轴正方向运动D．从t＝0时刻开始质点a经0.2 s通过的路程为0.4 mE．x＝2 m处的质点的位移表达式为y＝0.2sin(5πt＋π) m解析从题图可以看出波长等于4 m，由已知得波速等于10 m/s，周期T＝0.4 s；经0.1 s波传播的距离x＝vΔt＝1 m，说明波沿x轴负方向传播；t＝0时刻质点a沿y轴负方向运动；从t＝0时刻开始质点a经0.2 s，即半个周期通过的路程为0.4 m；由y＝A sin (ωt＋φ)易得E 正确．答案ABDE二、波的图象与振动图象的区别和联系面对波的图象和振动图象问题时可按如下步骤来分析：(1)先看两轴：由两轴确定图象种类．(2)读取直接信息：从振动图象上可直接读取周期和振幅；从波的图象上可直接读取波长和振幅．(3)读取间接信息：利用振动图象可确定某一质点在某一时刻的振动方向；利用波的图象可进行波传播方向与某一质点振动方向的互判．(4)利用波速关系式：波长、波速、周期间一定满足v ＝λT＝λf . 例2 图3(a)为一列简谐横波在t ＝2 s 时的波形图，图(b)为介质中平衡位置在 x ＝1.5 m 处的质点的振动图象，P 是平衡位置为x ＝2 m 的质点．下列说法正确的是( )图3A ．波速为0.5 m/sB ．波的传播方向向右C ．0～2 s 时间内，P 运动的路程为8 cmD ．0～2 s 时间内，P 向y 轴正方向运动E ．当t ＝7 s 时，P 恰好回到平衡位置解析 根据题图(a)得波长λ＝2 m ，根据题图(b)得T ＝4 s ，所以v ＝λT＝0.5 m/s ，选项A 对．根据题图(b)可知x ＝1.5 m 处的质点在t ＝2 s 时，振动方向沿y 轴负方向，利用“上、下坡”法可以判断波的传播方向向左，选项B 错．在t ＝2 s 时质点P 在最低点，又因T ＝4 s ，可知t ＝0时质点P 在最高点，所以0～2 s 时间内质点P 通过的路程为8 cm ，选项C 正确.0～2 s 内质点P 向y 轴负方向运动，选项D 错.2～7 s 共经过54T ，所以P 刚好回到平衡位置，选项E 对．答案 ACE针对训练2 图4(a)为一列简谐横波在t ＝0.10 s 时刻的波形图，P 是平衡位置在x ＝1.0 m 处的质点，Q 是平衡位置在x ＝4.0 m 处的质点；图(b)为质点Q 的振动图象．下列说法正确的是( )图4A．在t＝0.10 s时，质点Q向y轴正方向运动B．在t＝0.25 s时，质点P的加速度方向沿y轴正方向C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴负方向传播了6 mD．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cmE．质点Q做简谐运动的表达式为y＝0.10sin 10πt m解析由质点Q的振动图线可知，t＝0.10 s 时质点Q向y轴负方向振动，选项A错误；又由波的图象可知，波向x轴负方向传播，波的周期为T＝0.2 s，t＝0.10 s 时质点P向y轴正方向振动，经过0.15 s＝34T时，即在t＝0.25 s时，质点P振动到x轴下方位置，且速度方向沿y轴正方向，加速度方向也沿y轴正方向，选项B正确；波速v＝λT ＝8 m0.2 s＝40 m/s，故从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴负方向传播的距离为x＝vΔt＝40×0.15 m＝6 m，选项C正确；由于质点P不是在波峰或波谷或者平衡位置，故从t＝0.10 s到t＝0.25 s的34周期内，通过的路程不等于3A＝30 cm，选项D错误；质点Q做简谐振动的表达式为y＝A sin (2πT)t＝0.10sin (2π0.2)t＝0.10sin 10πt m，选项E正确．答案BCE三、波动问题的多解性波动问题出现多解性的原因：(1)空间周期性：波在均匀介质中传播时，传播的距离Δx＝nλ＋x0(n＝0,1,2，…)，式中λ为波长，x0表示传播距离中除去波长的整数倍部分后余下的那段距离．(2)时间周期性：波在均匀介质中传播的时间Δt＝nT＋t0(n＝0,1,2，…)，式中T表示波的周期，t0表示总时间中除去周期的整数倍部分后余下的那段时间．(3)传播方向的双向性：本章中我们解决的都是仅限于波在一条直线上传播的情况，即有沿x 轴正方向或负方向传播的可能．(4)介质中质点间距离与波长的关系的不确定性：已知两质点平衡位置间的距离及某一时刻它们所在的位置，由于波的空间周期性，则两质点间存在着多种可能波形．做这类题时，可根据题意，在两质点间先画出最简波形，然后再做一般分析，从而写出两质点间的距离与波长关系的通式．例3如图5所示，实线是某时刻的波形图线，虚线是0.2 s 后的波形图线．图5(1)若波向左传播，求它传播的距离及最小距离；(2)若波向右传播，求它的周期及最大周期；(3)若波速为35 m/s ，求波的传播方向．解析 (1)由题图知，λ＝4 m ，若波向左传播，传播的距离的可能值为Δx ＝nλ＋34λ＝(4n ＋3) m(n ＝0,1,2，…)，最小距离为Δx min ＝3 m(2)若波向右传播，Δx ＝⎝⎛⎭⎫nλ＋14λ＝(4n ＋1) m(n ＝0,1,2，…)，所用时间为Δt ＝⎝⎛⎭⎫n ＋14T ＝0.2 s ，故T ＝0.84n ＋1s(n ＝0,1,2，…)，所以T max ＝0.8 s. (3)Δx ＝v ·Δt ＝35×0.2 m ＝7 m ＝(λ＋3) m ，所以波向左传播．答案 见解析针对训练3 如图6所示，简谐横波在t 时刻的波形如实线所示，经过Δt ＝3 s ，其波形如虚线所示．已知图中x 1与x 2相距1 m ，波的周期为T ，且2T <Δt <4T .则可能的最小波速为________ m/s ，最小周期为________ s.图6解析 由题图可知波长为λ＝7 m ．若波向右传播，则Δt ＝17T ＋nT ，故T ＝Δt n ＋17，结合题目可知n ＝2,3；若波向左传播，则Δt ＝67T ＋mT ，故T ＝Δt m ＋67，结合题目可知m ＝2,3.当波向右传播，且n ＝2时，周期T 最大，为T ＝75 s ，波速最小，最小波速为v ＝λT ＝775m/s ＝5 m/s.当波向左传播，且m ＝3时，周期最小，最小周期为T ＝79s.7答案59。
章末知识整合
章末知识整合[整合·网络构建]专题1 转化与化归思想的应用[典例1] 假设正数a ,b 满足ab ＝a ＋b ＋3 ,求ab 的取值范围． 分析： "范围〞问题是数学中的常见问题 ,一般可将 "范围〞看成函数定义域、值域 ,或看成不等式的解集等．解：法一(看成函数的值域)：因为ab ＝a ＋b ＋3 ,所以b ＝a ＋3a －1(显然a ≠1) ,且a ＞1. 所以ab ＝a ·a ＋3a －1＝ (a －1 )2＋5 (a －1 )＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9 ,当且仅当a －1＝4a －1, 即a ＝3时取等号．又a ＞3时 ,(a －1)＋4a －1＋5单调递增 , 所以ab 的取值范围是[9 ,＋∞)．法二(看成不等式的解集)：因为a ,b 为正数 ,所以a ＋b ≥2ab .又ab ＝a ＋b ＋3 ,所以ab ≥2ab ＋3 ,即(ab )2－2ab －3≥0. 解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去) ,所以ab ≥9 ,即ab 的取值范围是[9 ,＋∞)．法三：假设设ab ＝t ,那么a ＋b ＝t －3 ,所以a ,b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝ (t －3 )2－4t ≥0 a ＋b ＝t －3＞0ab ＝t ＞0即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9 t ＞3 t ＞0解得t ≥9 ,即ab ≥9 ,所以ab 的取值范围是[9 ,＋∞)．归纳拓展不等与相等是相对的 ,在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式 ,其求解思路都是通过等价转化 ,把它们最|||终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集 ,因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的 ,这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换 ,而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．[变式训练]1．如果关于x 的不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立 ,那么实数m 的取值范围是________．解析：因为4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0恒成立 ,从而原不等式可以利用不等式的根本性质 ,等价转化为2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3(x ∈R)．即2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )＞0对一切实数x 恒成立 ,所以Δ＝(6－2m )2－4×2(3－m )＝4(m －1)·(m －3)＜0 ,解得1＜m ＜3.答案：(1 ,3)2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x,假设对任意x ∈[1 ,＋∞) ,f (x )>0恒成立 ,试求实数a 的取值范围．解：法一：在区间[1 ,＋∞)上 ,f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立 ,等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ,x ∈[1 ,＋∞) ,而y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在定义域内单调递增 ,所以当x ＝1时 ,y min ＝3＋a .于是当y min ＝3＋a >0时 ,不等式f (x )>0恒成立 ,故a >－3.法二：f (x )＝x ＋a x＋2 ,x ∈[1 ,＋∞) ,当a ≥0时 ,函数f (x )的值恒为正；当a <0时 ,函数f (x )单调递增 ,故当x ＝1时 ,f (x )min ＝3＋a ,于是当f (x )min ＝3＋a >0时 ,函数f (x )>0恒成立 ,故－3<aa 的取值范围是a >－3.专题2 函数与方程思想的应用[典例2] 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ,如果M ⊆[1 ,4] ,求实数a 的取值范围．解：M ⊆[1 ,4]有两种情况：其一是M ＝∅ ,此时Δ<0；其二是M ≠∅ ,此时Δ＝0或Δ>0 ,下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2 ,那么有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2) ,(1)当Δ<0时 ,－1<a <2 ,M ＝∅⊆[1 ,4]；(2)当Δ＝0时 ,a ＝－1或2.当a ＝－1时 ,M ＝{－1}⃘[1 ,4]．当a ＝2时 ,M ＝{2}⊆[1 ,4]；(3)当Δ>0时 ,a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根x 1 ,x 2 ,且x 1<x 2 ,那么M ＝[x 1 ,x 2] ,M ⊆[1 ,4]⇔1≤x 1≤x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (1 )>0且f (4 )>0 1≤a ≤4 且Δ>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3>018－7a >0 1≤a ≤4 a <－1或a >2.解得2<a <187, 所以M ⊆[1 ,4]时 ,a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 187. 归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题 ,通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来,运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究,使问题获得解决．方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识,通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分,如函数解析式y＝f(x)也可看作方程．函数有意义那么方程有解,方程有解那么函数有意义等．函数与方程思想表达了静与动,变量与常量的辩证统一,是重要的数学思想方法之一．具体包括：(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的取值情况．(2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题,以及函数在实际中的应用．(3)利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不可分,从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中,很多可以从函数的角度进行求解．如f(x)＞a恒成立等价于f(x)min＞a.[变式训练]3．求证：sin2x＋4sin2x≥5.证明：设sin2x＝t ,原式变形为f(t)＝t＋4 t ,那么f (t )在t ∈(0 ,1]时为单调递减函数．因为0＜sin 2 x ≤1 ,所以当sin 2 x ＝1.即t ＝1时 ,f (t )有最|||小值 ,f (t )min ＝5.所以f (t )＝t ＋4t ≥5 ,即sin 2 x ＋4sin 2 x≥5. 4．定义在(－1 ,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数 ,且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0 ,求实数a 的取值范围．解：由f (1－a )＋f (1－a 2)＜0得f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1) ,所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1 1－a ＞a 2－1 －1＜1－a 2＜1⇒0＜a ＜1.所以a 的取值范围是(0 ,1)．专题3 分类讨论思想的应用[典例3] 解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R)．分析：先将不等式左边分解因式 ,然后对两根的大小比拟 ,分类求解不等式．解：原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0.对应的一元二次方程的根为x 1＝2a ,x 2＝－a .(1)当a >0时 ,x 1>x 2 ,不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时,原不等式化为x2<0 ,无解；(3)当a<0时,x1<x2 ,不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述,原不等式的解集为：当a>0时,{x|－a<x<2a}；a＝0时,x∈∅；当a<0时,{x|2a<x<－a}．归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略,分类相当于缩小讨论的范围,故能将问题化整为零,各个击破．在解答数学题时,由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性,而且就问题本身来说,也受到多种条件的交叉制约,形成错综复杂的局面,很难从整体上加以解决．这时就从分割入手,把整体划分为假设干个局部,先去解决各个局部问题,最|||后到达整体上的解决．通俗一点说,就是 "化整为零,各个击破〞,这种处理数学问题的思想,就是 "分类讨论〞的思想,分类讨论问题充满了数学辩证思想,它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用．分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象,确定对象的范围．(2)确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏．(3)逐类讨论 ,获得阶段性结果．(4)归纳总结 ,得出结论．[变式训练]5．假设不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ,求实数a 的取值范围．解：当a －2＝0 ,即a ＝2时 ,原不等式为－4<0 ,所以a ＝2时成立．当a －2≠0时 ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a <2 4 (a －2 )2－4 (a －2 ) (－4 )<0.解得－2<a <2.综上所述 ,a 的取值范围为－2<a ≤2.6．求函数y ＝2－3x －4x的最|||值． 解：显然x ≠0.①当x >0时 ,y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x , 令y 1＝3x ＋4x ,因为x >0 ,所以3x >0 ,4x>0. 故y 1＝3x ＋4x ≥2 3x ·4x＝4 3. 当且仅当3x ＝4x ,即x ＝23(负值舍去)时 ,取等号 ,所以(y 1)min ＝43 , 当y 1取最|||小值时 ,y 取最|||大值．所以当x ＝23时 , y max ＝2－4 3.②当x <0时 ,y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x , 令y 2＝3x ＋4x ,那么－y 2＝(－3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x . 因为x <0 ,所以－3x >0 ,－4x>0. 故－y 2≥2 (－3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝43 , 即y 2≤－43 ,当且仅当－3x ＝－4x ,即x ＝－23(正值舍去)时 ,取等号 所以(y 2)max ＝－43 ,当y 2取最|||大值时 ,y 取最|||小值． 题型4 数形结合思想的应用[典例4] 求使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围．分析：因不等式左边为对数式 ,右边为整式 ,故不可解 ,所以可借助函数图象求解．解：如右图所示 ,在同一平面直角坐标系中作出函数y 1＝log 2(－x ) ,y 2＝x ＋1的图象,易知两图象交于点(－1,0)．显然y1＜y2的x的取值范围是(－1 ,0)．归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来,从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系,使问题变得简单,数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等,有时,可以用数形结合的思想寻找解题思路,具体表达为：(1)由数化形,由条件绘制相似图形,使图形能充分反映出它们的数量关系,从而解决问题．(2)由形化数,借助于图形,通过观察研究,得出图形中蕴含的数量关系,反映出事物的本质特征．(3)数形转换,化抽象为直观,化难为易．[变式训练]7．f(x)是定义域R上的偶函数,当x≥0时,f(x)＝x2－4x ,那么不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析：作出y＝f(x)的图象如以下图,f(5)＝f(－5)＝5.所以|x＋2|＜5 ,即－7＜x＜3.答案：(－7 ,3)8．函数f (x )＝ax 2＋bx ,且－1≤f (－1)≤0 ,2≤f (1)≤4 ,求b ＋1a ＋2的取值范围．解：由－1≤f (－1)≤0 ,2≤f (1)≤4 ,可得－1≤a －b ≤0 ,2≤a ＋b ≤4.求b ＋1a ＋2的取值范围即是求经过 点(a ,b )和点(－2 ,－1)的直线的斜率的范围．关于a ,b 构成的平面区域如以下图 ,根据图象可以得到b ＋1a ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 1.。