唯一性定理

则 1 2
n n n
即
1 2 0
则
n ( )dV
n

n
ds 0
V
S n
S曲面内 0 C
S曲面上
0
n
S曲面上
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边值问题:
第二章 2.7
1.
给定边界上的电位函数,即已
知

f1(s)
s
，

S为边界 上的点。(狄里克利边界条件)
2. 给定边界上的电位函数的法向导数,即已知

n
f 2(s) 。（牛曼边界条件）
1
3. 边界 1 2 ，即已知
2
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1

第二章 2.7
当1和2 选择相同的参考点时, C 0
1 2 解唯一.
三类边界问题
3.
1
f1 (s)

n 2 f2 (s)
将格林第一恒等到式的积分曲面写成 1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
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7

ds
V
S n
而 2 2 (1 2 ) 21 22 0
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4
第二章 2.7
则
( )2 dV ds
V
S
n
又 ∵ 由边界条件有 1 2
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∴ 在 曲面边界上， 1 2 0
设在体积V内，其满足边值 f1(s) 的拉普拉 斯方程的解不是唯一的，有1 和 2两个解。
即有 21 0
22 0
令 1 2
即 f1(s) f2(s)
将 代入格林第一恒等式：
即
(


2



)dV
f1(s)
, n 2
（混合边界条件）

f2 (s)
1
第二章 2.7
唯一性定理： 在静电场中，满足以上三类边值之一的
泊松方程和拉普拉斯方程的解是唯一的。
唯一性定理的证明：
一类边值问题
1.

f1 (s)
采用反证法来证明解的唯一。
设在闭合面S内的体积V中，其电位函数
满足拉普拉斯方程。
2 0
2
拉普拉斯方程
泊松方程
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2
第二章 2.7
见书218面，
由格林第一恒等式：对任意标量函数
(2
V

)dV


s

n
ds
令 则
(2
V

)dV


S
ds
n
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第二章 2.7
故
( )2dV


ds

0
V
S
n
即 0 S曲面内 C(常数)
S曲面上 0
C 0
故在S曲面内，其解是唯一的。 1 2
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第二章 2.7
2.

n
f2 (s)
二类边值问题
仍然采用反证法证明.设有两个解满足拉氏方程.