分形基本概念
超支化聚合物
3. 分子量多分散性
超支化分子同树枝状分子相比，通常具有 较宽的分子量分布。
由于支化度的变化，超支化分子的分子量 分布一般大于传统的聚合物。
分子量的测定：
分子量测定的问题：
不适用: 凝胶渗透色谱(GPC) （体积排除色谱SEC方法）
适用：基质辅助激光脱附电离飞行时间质谱 (MALDI—TOF)
4、在催化剂领域中的应用
（1）、超支化聚合物分子内部的纳米微孔可以 螯合离子、吸附小分子或者作为小分子反应的催 化活性点，兼具均相催化剂和异相催化剂的优点。
（2）、催化活性点即可在高度支化聚合物表面 的外围端基上，也可以在高度支化聚合物的中心 核上。
（3）、催化剂的固载、回收和重复利用。
5、污水处理中的应用
分形的特征：
在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至无论是其整体或局部都难以用传统欧氏几何 的语言来描述； 具有（至少是近似的或统计的）自相似形式； 一般地，其“分形维数”（通常为豪斯多夫维数）会大于拓 扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 在多数情况下有着简单的递归定义。
高效脱色絮凝剂 用量少，效率高，pH应用范围广，操作简便
6、其他领域中的应用
（1）、光化学 （2）、分析化学 （3）、纳米材料 （4）、光电传感 （5）、自组装体系 （6）、液晶 （7）、聚合物电解质等
（三）超支化聚合物的性质
1、粘度较传统线性聚合物低 2、树状大分子具有球形结构，
分子间链缠结少
3、粘度随分子量增加而增大
粘度与分子结构的关系：
粘
线型
度
超支化
树枝状
分子量
粘度：线型 > 超支化 > 树枝状
分形和混沌的基本概念和应用
分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。
它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。
一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。
分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。
比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。
这个例子就是分形学的一个典型例子。
分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。
自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。
不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。
分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。
在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。
例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。
利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。
此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。
二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。
混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。
混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。
混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。
混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。
混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。
这些轨道不像我们所想的那样规律。
然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。
分形几何学的基本概念与应用
分形几何学的基本概念与应用分形几何学是一门研究复杂、自相似结构的几何学科。
它的研究对象包括自然界中的许多现象和图形，如云朵、山脉、植物的分枝结构等。
分形几何学的出现和发展，为我们认识自然界的复杂性提供了新的视角。
本文将介绍分形几何学的基本概念，并重点探讨其在科学研究和实际应用中的价值。
一、分形几何学的基本概念分形几何学最核心的概念是“分形”。
分形是指具有自相似性质或统计尺度不变性的几何图形或物体。
它具备以下特点：1. 自相似性：分形的一部分与整体的形状非常相似，即具有自我重复的特性。
无论从整体还是局部的角度观察，其形状和结构都保持不变。
2. 统计尺度不变性：无论在什么尺度上观察分形，都能发现相似的图形和结构。
分形具有无标度的特性，不受空间尺度的限制。
3. 复杂性和碎形维度：分形体现了自然界中复杂系统的普遍性和多样性。
通过碎形维度的衡量，我们可以描述分形的几何形态。
二、分形几何学的应用领域分形几何学的研究成果，对科学研究和实际应用有着广泛的影响和应用价值。
1. 自然科学领域在物理学、化学、天文学等自然科学领域，分形几何学的应用已经取得了许多重要的突破。
例如，在物质表面的研究中，分形维度可以帮助我们更好地理解物质的分布和表面形态；在流体力学领域，分形几何学可以用来描述复杂流体的运动和传输现象。
2. 生命科学领域分形几何学在生物学、医学和生态学等领域的应用也日益增多。
在生物进化研究中，利用分形模型可以揭示物种的分支进化和形态演化；在生物医学图像处理领域，分形分析可以用于肿瘤和病变的诊断。
3. 技术工程领域在工程学、计算机科学和通信领域，分形几何学为我们提供了一些创新的解决方案。
例如，在图像压缩和数据传输中，可以利用分形编码来提高传输效率和图像质量；在通信网络设计中，采用分形结构可以提高网络的可靠性和稳定性。
4. 艺术与设计领域分形几何学的美学价值也不可忽视。
许多艺术家和设计师利用分形几何学的原理和方法创作出具有独特美感的艺术作品和设计。
分形图形与分形的产生
分形图形分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。
研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。
但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。
而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。
分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。
它是数学的一个分支。
我之前说过很多次，数学就是美。
而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。
而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。
分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。
而在生物界，分形的例子也比比皆是。
近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。
分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。
分形曲线与面积计算-精品
sinx1 cos x2
cos sin
Asin
cos
(1, 0)
1
0
cos sin
(0, 1)
0 sin
1
cos
5/11
MATLAB代码
function koch0(P,N)
end
plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
6/11
Kn的边数: Kn的周长:
Sn 4n
Ln
1 3n
4n
L0
Kn的维数: Dnln4/ln31.2618
Dn
lnN
/
ln
1
相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
第 k 条边: x y((tt)) ((1 1 tt))x yk k ttyx kk 11,t(0,1)
1
L kyd 0 x [1 ( t)yk tk y 1](x k 1x k)dt
1 2(xk1xk)(ykyk1)
x L k
9/11
面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 34n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
ln im Are(aKn)
10/11
二、竞赛题的实验设 (第一届全国大学生数学夏令营第6题 )
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
分形理论及其应用_刘莹（学术论文）
收稿日期:2005-07-04;修订日期:2006-02-22作者简介:刘 莹(1957-),女,江西南昌人,博士生导师,教授,主要从事微机械与微摩擦学研究。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071);南昌大学科研基金项目(z02879)。
第24卷 第2期2006年4月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 24N o .2Apr .2006文章编号:1001-3679(2006)02-0205-05分形理论及其应用刘 莹,胡 敏,余桂英,李小兵,刘晓林(南昌大学机电工程学院,江西南昌 330029)摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支,是科学研究中一种重要的数学工具和手段。
介绍了分形理论的基本概念,给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。
重点介绍了分形理论在从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。
最后,展望了分形理论的应用前景及其发展方向,提出分形理论将面临和有待解决的问题。
关键词:分形理论;分形维数;应用状况中图分类号:TB11;TH3;N 32 文献标识码:ATheory of Fractal and its ApplicationsL I U Y i n g ,HU M i n ,YU Gu-i y i n g ,LI X iao -bing ,L I U X iao -lin(M echan ical and E lectron i c Eng i neering Schoo,l N anchang U n i versity ,Ji angx i N anchang 330029PRC)Abst ract :Fracta l theor y is a branch of non li n ear science and an i m portant m eans for sc ience re -search.This paper introduces t h e basic concept and several calculati n g m ethods of fracta l d i m ension as a m ain para m eter of fractal theory .Pri m aril y ,it is summ arized that fractal t h eory have been used i nvarious fie l d s fr o m nat u re science to soc i a l science such as eng i n eer i n g ,physics ,che m istr y ,b i o m ed-i cine ,m aterial sc i e nce ,astrono m y and geography ,econo m y and m anage m en,t co m puter g raphics ,etc .In the end ,the foreg round and deve l o pm enta l orientation of fractal theory is prospected ,and proble m s i n face of fracta l theory is advanced.K ey w ords :Fractal theory ,Fracta l di m ension ,Applicati o n 分形理论作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。
分形几何学
2分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。
2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。
欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。
它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。
一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。
这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。
显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。
这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。
分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。
这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。
自仿射分形,自反演分形和自平方分形
自仿射分形，自反演分形和自平方分形是分形几何中的三种重要概念。
它们分别以自相似、自反演和自平方的特性而闻名，被广泛应用于数学、物理、生物学等领域。
本文将分别介绍这三种分形的基本概念、特点和应用，并对它们的发展和研究进行简要探讨。
一、自仿射分形1. 基本概念自仿射分形是指其每个部分都与整体相似的分形。
在自仿射分形中，整体的图形可以被分成若干个部分，每个部分都与整体相似，且比例尺相同。
这种自相似的特性使得自仿射分形具有无限的细节和结构，能够在不同尺度下展现出相似的图像。
著名的科赫雪花和谢尔宾斯基三角形就是自仿射分形的典型代表。
2. 特点自仿射分形的特点主要包括：自相似性、边界无限长度、面积有限、维数非整数等。
这些特点使得自仿射分形不同于传统的几何图形，展现出更加复杂和多样的结构。
3. 应用自仿射分形广泛应用于图像压缩、信号处理、地理信息系统等领域。
它能够有效地描述和处理自然界中复杂的图形和结构，为数据的分析和处理提供了新的途径和方法。
二、自反演分形1. 基本概念自反演分形是指通过一定的数学变换，将整体分成若干个部分，每个部分又是整体的缩小复制。
在自反演分形中，通过不断的反复迭代和变换，可以生成具有高度复杂结构和无限细节的图形。
著名的分段几何、龙曲线等都是自反演分形的典型代表。
2. 特点自反演分形的特点主要包括：无限复杂、嵌套结构、自相似性等。
这些特点使得自反演分形能够描述和展现出自然界中许多复杂的现象和图形，具有重要的理论和应用意义。
3. 应用自反演分形在信号处理、图像压缩、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
通过自反演分形的特性，可以更加有效地描述和处理复杂的图形和数据，为信息的存储和传输提供了新的技术手段。
三、自平方分形1. 基本概念自平方分形是指通过对整体进行一定的变换和缩放，使得整体可以被分成若干个部分，每个部分又是整体的缩小复制。
在自平方分形中，通过不断的平方变换和迭代，可以生成具有无限细节和结构的图形。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用引言分形理论是20世纪80年代提出的一种新的数学研究领域，它提出了一种全新的描述自然界和社会现象的数学模型。
分形理论的提出对科学领域产生了深远的影响，不仅在自然科学中有广泛的应用，而且在工程领域也有着重要的意义。
本文将介绍分形理论的基本概念及其在机械工程中的应用。
一、分形理论的基本概念1. 分形的定义分形是指在任意尺度下具有相似结构的图形或物体。
换句话说，分形是一种具有自相似性质的几何图形，即无论是放大还是缩小，都具有相同或相似的形状。
这种自相似性是传统几何图形所不具备的特征，因此分形具有特殊的几何结构特征。
2. 分形的特征分形具有以下几个显著特征：（1）分形维数：分形物体的维数可以是小数或者非整数。
这与传统的欧几里德几何中的整数维度有着本质的区别。
分形维数也被称为“分形量度”，用来描述分形图形的粗糙程度或者曲折程度。
（2）分形的不规则性：分形图形通常具有不规则性和复杂性，无法用传统的几何图形来精确描述。
（3）分形的自相似性：分形图形在各种尺度上都具有相似的结构，这是其与传统几何图形最大的区别。
以上特征使得分形成为一种新型的几何结构，有着广泛的应用前景。
二、分形理论在机械工程中的应用1. 分形表面处理技术分形理论在机械工程中的应用最为广泛的领域之一就是表面处理技术。
利用分形理论，可以设计出具有特定粗糙度和摩擦特性的表面结构，从而实现对摩擦、磨损和润滑等性能的控制。
传统的表面处理方法往往要求加工具有规则的结构，而分形表面处理技术则可以通过模拟自然界中的分形结构，设计出更为复杂和多样化的表面形貌。
2. 分形几何构型在机械设计中的应用分形理论提出的自相似性概念在机械设计中也有着重要的应用。
在机械零部件的设计过程中，通过引入分形几何构型，可以实现对结构的自相似性设计，提高零部件的疲劳寿命和强度，改进结构的性能。
分形几何构型还可以用来设计具有分形特性的传感器和控制器等机电一体化系统，提高系统的精度和稳定性。
分形标度律
分形标度律一、分形标度律的起源分形标度律是一个揭示自然界和社会现象中自相似性和尺度相关性的概念。
它的起源可以追溯到20世纪80年代，当时法国数学家曼德布罗特在研究自然界和艺术中的自相似性时，提出了分形几何的概念。
分形几何描述的是具有非整数维度的几何形状，其中每个部分都以某种方式与整体相似。
这种自相似性和尺度相关性在许多自然现象和社会现象中都有所体现，如云彩的形状、山脉的高度分布、人口的分布、网络的连接等等。
二、分形的基本概念分形是指具有自相似性的几何形状，其每个部分都与整体相似。
这种自相似性可以是数学上的精确相似，也可以是统计上的相似。
分形可以是规则的，也可以是非规则的。
规则分形可以通过简单的数学公式或迭代算法来生成，如谢尔宾斯基三角形、科赫曲线等；而非规则分形则无法通过简单的数学公式来描述，只能通过计算机模拟或统计分析来近似描述。
三、分形标度律的数学表述分形标度律是指在一定条件下，某些量与尺度的对数成正比。
这个规律可以用数学公式来表示：y = c * x^n，其中y是某个量，x是尺度，c和n是常数。
在这个公式中，y与x的对数成正比，因此可以得出结论：这个量具有分形标度律。
分形标度律不仅在自然科学中有广泛的应用，在社会科学中也有广泛的应用，如人口统计学、市场营销、网络分析等等。
四、分形标度律的应用领域1.物理学：在物理学中，分形标度律被广泛应用于描述物质的扩散、凝聚和热传导等过程。
例如，在研究布朗运动时，通过测量不同尺度下颗粒的扩散距离，可以验证分形标度律的存在。
2.生物学：在生物学中，分形标度律被广泛应用于描述生物体的结构和功能。
例如，许多生物体的血管、肺部和消化道等都具有分形结构，这种结构有助于提高生物体的生存能力和适应环境的能力。
此外，在研究物种分布和生态系统的稳定性等方面，分形标度律也具有重要的应用价值。
3.地理学：在地理学中，分形标度律被广泛应用于描述地形地貌、城市规模分布和自然灾害等方面的现象。
计算机图形学08：分形几何
Sierpinski集
地毯设计作品
迭代函数系统模型
Julia集 集
产生方式： 在复平面C上，由一个带 有常数c的复变函数 f（z）的迭代生成。 。
Julia集
在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表 虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个 常数C，它是一个复数。在复平面上任意取一个点， 其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运 算： Zn+1=Zn2+c 就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。 再把新的Z作为旧的Z，重复运算。
分形几何造型的基本概念
Mandelbrot 1967年的
论文：“英国海岸线的长 度不确定” 海岸线的长度随测量尺度 变化而变化 对自然几何形态的数学研 究
（1）具有无限嵌套层次的精
细结构 （2）在不同尺度下具有某种 相似特性
分形几何造型的基本概念
分数维（Fractal Dimension） D=
粒子系统模型
模拟瀑布：
水粒从一个高度落下， 被一障碍物偏移，然 后散开到地面。不同 的颜色用来区分每步 的微粒路径。
粒子系统模型
模拟物体分解：
左边物体分解 成右边物体的 微粒状况。
正规文法模型
该模型的工具是并行重写系统。
它与形式语言理论中的一般重写系统有两点主要区别：一 是该系统中产生式的匹配对一个输入字符串的所有字符是 同时进行的；二是该系统没有终结符和非终结符之分。 它可分为两大类：一类是象von Koch曲线这样“比较规则” 的曲线 ；另一类是象植物枝一样的比较复杂的树状分形。
螺旋分形
在迭代函数系统中，框 架其实给整个系统传递 了信息。框架的方向以 及框架的大小决定怎么 缩放整个图，这其实是 定义了一个仿射变换， 仿射变换可以由一个函 数来表示，这也正是命 名“迭代函数系统”的 原因。简单地说，迭代 函数系统就是指把仿射 变换函数系统经过多次 迭代形成的分形。
分形基本概念
具有无限嵌套的自相似结构是混沌 现象的普遍特性。 现象的普遍特性。
Julia Set
Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C
令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散， 而發散與 收斂區域間的邊界，即為 Julia Set 的圖形。 根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合
混沌
混沌可以说他是确定性的行为； 或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实 际系统中，也可以说他是近似与确定性的， 然而却不是看起来像确定性的。 在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经 过充分长的时间后会变得毫无一致性。
Mandelbrot Set
在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的： Zn+1=Zn^2+C。 其中，Z和c都是复数，由各自的实部 Z c 和虚部组成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy
可能有人感到， 可能有人感到，只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中， 规形状才能应用在科学中，然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域---有时 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何， 也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树 生姜根、海岸线等自然现象， 枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天 经济、气象、 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。 应用。
Logistic集 Logistic集
所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗 一些即局部与整体相似。 一些即局部与整体相似。对局部放大后的 形象与整体形象相同或近似相同。 形象与整体形象相同或近似相同。除上面 讲到的周期窗口外， 讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间 序列的自相似结构实例也必将有助于我们 的理解。 的理解。
分形在化学中的应用概述
分形在化学中的应用概述摘要：分形几何自其创立以来就被引入到了化学研究中，使得很多化学问题得到了更好的解释。
文章总结了分形科学在化学中的应用情况，包括宏观化学动力学、多相催化反应体系、高分子和凝胶化学、生物有机化学、腐蚀科学以及电沉积等方面。
关键词：分形，应用，化学动力学，腐蚀1分形理论简介经典几何学是以欧氏几何学为基础的逻辑体系, 它将自然界的空间规律归结为点、线及面的规律，其中线和面都被理想化为规则而光滑的，微积分与近代数学的许多分支均以此为基础。
然而，真实的线、面并不总是光滑的，许多物体的形状也是极不规则的，例如起伏的山脉、曲折的河流及变幻的浮云等。
同样，这种现象在化学中也很普遍，如：多相催化剂表面、高分子的凝聚体结构、砂岩的多孔结构以及许多不可逆的化学振荡与化学混沌现象的曲线等，这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。
此外，大量的化学谱图(如光谱、波谱等) 曲线实际上也多是不光滑的，其粗糙度与信息量的关系值得探讨。
此类曲线的共同特点是虽然处处连续，但处处不可微。
诸如此类的几何结构体系，应如何确定其空间维数呢，传统数学对此无能为力，无法作出定量描述。
于是，在70 年代中期，分数维几何学(fractal geometry) 应运而生[1]。
分数维几何学的创始人，法国数学家曼德尔布罗(B. B. Mandelbrot) [2]于1967 年曾在美国《科学》上发表了一篇题为“英国的海岸线有多长?”的论文，分形思想即从这里萌芽生长。
这篇文章的结论令人惊诧：英国的海岸线长度是不确定的，它依赖于测量时所使用的尺度。
用分形理论计算，英国的海岸线是1.3 维。
在此基础上，于1982 年他又出版了论著《自然界的分形几何学》[3]。
此后，分形概念在众多学术领域中产生了强烈的影响，并得到广泛的应用。
分形理论的基本观点是维数的变化可以是连续的，处理的对象总是具有非均匀性与自相似性或自仿射性。
自相似性就是指局部是整体成比例缩小的性质。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
分形理论
量维数为：
log N ( ) DC lim 0 log(1/ )
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(3)、豪斯道夫（Hausdorff）维数
设一个整体S划分为N个大小和形态完全相同的小图形，每一个小图形的 线度是原图形的r倍，则豪斯道夫维数为：
log N ( ) DH lim 0 log(1/ )
(4)根据分布函数求维数
对于大小和分布没有特征长度的图形或物体，从其分布函数可求得分形维数。 例如月球表面照片上有不同大小的月坑，月坑直径为r，把直径大于r的月坑存
在的几率记为p (r)，若把直径的分布几率密度记为p(s)，
则有p (r)= ∫∞ r p (s)ds，可证明上式为幂型p(r) ∝r-D ，其中D为分形维数。
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改变观察
尺度求维数
分形维数
根据频谱
求维数
的确定
根据测度
关系求维数
根据分布 函数求维数 根据相关 函数求维数
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(1)改变观察尺度求维数
用圆和球、线段和正方形以及立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形 图形．例如用长度为r的线段集合近似海岸线那样的复杂曲线，把得到的线 段总数记为N(r)，如果该曲线有N(r) ∝r-D的关系，即可称这曲线具有D维数。 对海岸线和随机行走轨迹分形维数的测定，多数采用此法。
空间称为该分形体的无标度空间，在此范围以外，就不是分形了。
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自相似性
大自然的物体形态千变万化，对于这些不规则的物体形态，我们往往不 能用欧式理论描述。但是如果我们从一个形体上任意选取一个局部区域，对 其进行放大，再将放大后的图形与原图加以比较，我们发现它们之间形状特 征呈现出令人惊讶的自相似性。举一个例子，对于一支花朵，有主干和支干， 如果把支干掰下来和主干比较，那么它们之间极为相似，如果再仔细地看一 看花心的话，又会发现花瓣和花瓣之间是对称的，而且也是相似的。总而言 之，物质的各个部分都或多或少的具有自相似结构。
分形理论在物理学中的应用
分形理论在物理学中的应用随着科学技术的不断发展，分形理论作为一种新兴数学工具，越来越受到各学科领域的重视，并被广泛应用于物理学中，为人类理解自然界的规律提供了新的思路和方法。
一、分形理论的基本概念分形是由分形维数来描述的一类图形，分形维数通常比整数大且为非整数。
分形理论主要研究的是非线性系统中的自相似性结构，这些结构是由一些基本单元通过自同构基于某些变换，进行不断细分，生成的纷繁复杂特征。
由于这种不断细分的过程，分形所表现出来的状态还是非常混沌的，从而具有了自相似性的特点和可复制性的性质，是一种十分特殊的结构。
二、分形理论在物理学中的应用2.1 热力学分形结构的复杂性可以被用来处理难以用传统方法处理的物理问题。
例如，在讨论非均质体系中的热力学过程时，研究分形特征可以提供有关体系纷繁复杂的形态和性质的信息。
分形在热力学中的应用主要体现在两个方面，第一是作为研究非均质物质状态的量化手段，可以描述不同尺度上的物理性质；第二是研究某些不可逆过程，例如相变等，运用分形理论可以解释物理过程。
2.2 图像处理分形理论作为一种有力的数学工具，可以用于图像处理。
在数字图像处理中，分形已经被广泛地用来对图像进行压缩和重建。
目前，分形压缩技术已经成为一种广泛使用的压缩技术，具有压缩率高、图像质量好及少损失等特点，成功地被应用到数码相册、数字电视及互联网相关领域。
2.3 环境科学环境科学是一门涉及到广泛领域的综合性学科，而分形理论在环境科学中的应用尤为重要。
例如，研究土地利用变化、植被变化、土壤侵蚀等问题时，运用分形的形态分析以及分形的统计特征分布分析，可以更好地描绘这些自然现象，并为环境修复和保护提供参考依据。
2.4 力学分形理论在力学研究中也有着广泛的应用。
根据分形理论的观点，宏观世界中存在着无数微观部分组成的整体。
对于机械问题，运用分形理论来研究物体的表面形貌、材质等特征，分析其微观结构分布变化情况，可以更好地解释物理过程，为实际工程问题提供理论指导。
分形图形生成原理探究
分形图形生成原理探究随着计算机技术的不断发展，分形图形在数字艺术、自然科学和工程领域中得到广泛应用。
分形是一种具有自相似性质的数学对象，其生成原理深受人们的关注。
本文将探究分形图形的生成原理，介绍分形的基本概念，以及常用的分形生成算法。
一、分形的基本概念分形是一种具有自相似性质的几何图形。
即整体结构和局部细节之间存在某种相似关系，不论放大还是缩小，都可以看到相同的图形。
分形的自相似性质使得它们具有无限的细节和复杂度。
二、分形图形的生成原理1. 迭代运算迭代运算是生成分形图形的常用方法之一。
这种方法通过重复应用某种变换或映射规则，不断生成新的图形。
具体步骤如下：- 首先选定一个初始图形，例如一个简单的线段或几何形状。
- 然后根据一定的规则进行变换或映射操作，生成下一级的图形。
- 重复上述步骤，直到达到期望的分形效果。
迭代运算可以产生各种各样的分形图形，如科赫曲线、谢尔宾斯基三角形等。
2. 噪声函数噪声函数是通过随机性来生成分形图形的一种方法。
噪声函数可以产生随机性纹理或图案，并通过适当的参数调节，实现分形效果。
生成分形图形的基本步骤如下：- 首先定义一个噪声函数，它可以是简单的随机数生成器或更复杂的数学函数。
- 然后使用噪声函数来计算每个像素的数值或颜色，从而生成图像。
噪声函数可以用于生成山脉、云彩等具有分形特征的自然图像。
三、常用的分形生成算法1. 递归细分递归细分是一种通过使用分形规则进行逐级细分的方法。
它基于拆分和替代的原则，不断将图形细分为更小的部分，然后用更小的部分替代原有的部分。
递归细分可以生成多种复杂的分形图形，如分形树、雪花等。
2. 碎形图像编码碎形图像编码是一种基于碎形压缩理论的分形生成方法。
它通过找到一组变换规则和关联函数，将整个图像分割成小的区域，然后用适当的变换规则对每个区域进行编码。
这种方法可以生成高质量的分形图像，并用较小的存储空间保存。
3. 分形几何建模分形几何建模是一种通过将分形规则应用于三维空间中的几何体来生成分形图形的方法。
分形理论及其在化学和化工中的应用(精)
1现在天津大学化工学院化工研究所就读博士。
收稿日期:1997210217;修改稿收到日期:1998204221专题综述分形理论及其在化学和化工中的应用郭从容1杨桂琴王雪松崔建中严乐美张万东(天津大学理学院化学系,天津300072摘要分形(F ractal 是一门正处于迅速发展中的新学科,其影响范围和应用领域也在日益扩大。
本文简要介绍了分形理论的基本概念,以及分形应用于化学及化工领域中的研究进展情况。
关键词分形概念,分形维数,分形应用The Fractal Theory and its Application i n Chem istryand Chem ical Eng i neer i ngGuo Congrong Yang Gu iqin W ang Xuesong Cu i J ianzhong Yan L em ei Zhang W andong(D epartm ent of Chem istry ,Schoo l of Science ,T ianjin U niversity ,T ianjin 300072AbstractF ractal theo ry is a rap idly develop ing sub ject of science .Its influence range and app licati on field are en larging .In th is pap er ,the concep t of fractal is exp lained ,andits app licati on in the research in chem istry and in chem ical engineering isdescribed .Keywords fractal ,fractal di m en si on ,fractal app licati on 1分形理论简介经典几何学是以欧氏几何学为基础的逻辑体系,它将自然界的空间规律归结为点、线及面的规律,其中线和面都被理想化为规则而光滑的,微积分与近代数学的许多分支均以此为基础。
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分形几何的基本思想
分形的思想
多少世纪以来，人们总是用欧几里得几 何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、 正方形、圆……）来描述我们这个生存的世 界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现 象的新的对象。分形就是这样一种对象。
分形的思想初见于公元1875至1925年数学 家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就 是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼 德勃罗于1975年创造的，曼德勃罗在该领域 有着广泛的发现。
研究对象
有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出 了这样一个问题：英国的海岸线有多长？
英国的海岸线地图
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲线 还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分展开， 与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么 东西的无数次的自我复制。
从严格意义上讲，分形是这样一种对象， 将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原 先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆 的一部分放大后便变得比较平直。分形可分 为两类：一是几何分形，它不断地重复同一 种花样图案；另一种是随机分形。计算机和 计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带 回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够 立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、 艺术图案或细微的景观。
不管你信不信，上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看， 也可以看到更加细致的东西。因为，分形能够保 持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较 典型的分形图形，它们都具有严格的自相 似特性（仔细看看，是不是这样？）。但 是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严 格自相似。所以，用“具有自相似”特性来 定义分形已经有许多局限了。
如下是产生上图的出发点
自然界中的其他事物
取下一片蕨类植物叶子似 乎与整体有某种相似性。 England的海岸线从视觉 上也感觉有某种自相似性
自然界中的分形
山
星 云
星
云
天空中的云朵 植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
自然界中的分形
股票价格曲线 岩石裂缝 金属损伤裂缝 道路分布 神经末梢的分布 …………
让我们来看下面的一个例子。下图是 一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它 的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅 在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整 体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈 的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自 然界中，有许多景物和都在某种程度上存在 这种自相似特性，即它们中的一个部分和它 的整体或者其它部分都十分形似。其实，远 远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天 气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。 这正是研究分形的意义所在。例如，在道· 琼 斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一 个更长的阶段的曲线图极为相似。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很 好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生 成的。在生成自然真实的景物中，分形具有独 特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物 的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一 个普遍特征是具有无限的细致性。上面的 动画所演示的是对Mandelbrot集的放大， 只要选对位置进行放大，就会发现：无论 放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会 减少。但是，注意观察上图，我们会发现： 每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们：其实，分形并不要求 具有完全的自相似特性。
具有无限嵌套的自相似结构是混沌 现象的普遍特性。
Julia Set
Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C
令複數 C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代入，則 Z 平面上部分區域收斂，部分區域發散， 而發散與 收斂區域間的邊界，即為 Julia Set 的圖形。 根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合
曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰 丽的几何图形.这个点集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,这 是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大 千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是 曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的.
你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象 燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你 把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的 局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似 的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽 的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为"魔 鬼的聚合物".为此,曼德勃罗在1988年获得 了"科学为艺术大奖".请看如下的图形产生过 程,其中后一个图均是前一个图的某一局部 放大:
混沌
混沌可以说他是确定性的行为； 或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实 际系统中，也可以说他是近似与确定性的， 然而却不是看起来像确定性的。 在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经 过充分长的时间后会变得毫无一致性。
Mandelbrot Set
在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的： Zn+1=Zn^2+C。 其中，Z和c都是复数，由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy
可能有人感到，只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中，然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而 混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树 枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。
Logistic集
所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗 一些即局部与整体相似。对局部放大后的 形象与整体形象相同或近似相同。除上面 讲到的周期窗口外，以下一些时间或空间 序列的自相似结构实例也必将有助于我们 的理解。
雪花，(2)闪电，(3)血管系统，(4)海 岸线，(5)鹦鹉螺，(6)菜花，(7)雏型村， (8)谢尔宾斯基垫片，(9)某人在看电视， 电视中还是某人在看电视······， (10)布朗运动，(11)社会经济的许多演化 过程，(12)一个故事：从前有座山，山上 有座庙，庙里有一个老和尚给小和尚讲故 事：从前有座山······请大家充分 发挥想像力，举更多的例子。
分形几何
普通几何学研究的对象，一般都具有整数 的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的 面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几 年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不 一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是 几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者 的极大关注。
严格地而且正式地去定义分形是一件非常 复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正 规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。 在这些定义中，最为流行的一个定义是：分 形是一种具有自相似特性的现象、图象或者 物理过程。也就是说，在分形中，每一组成 部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小 了一些而已。