球面反射和折射

第三节球面反射和折射

1、盛水银的容器绕铅垂轴以匀角速度转动，角速度为。试求：

s rad /1=ω(1)水银面所成的形状；(2)该凹面镜的熊距。

解：如图所示，P 点的斜率为

r g

mg r m dr dz tg 2

2ωωα===故22

2r g

z ω=与抛物线的标准形式

px

y 22=比较，得焦点坐标为

2

p

z =2

22ωg

p =故m g p z f 9.41

28.922'2=×====ω2、体温表的断面如图所示，已知水银柱A 离顶点O 距离为2．5mm，设玻璃的折射率n＝1．50，若欲看到水银柱放大6倍的虚象，顶点O 处曲率半径R 应为多大？

解：球面折射的焦距为(R>0)

R R n n n f 32

31)(23''−=−−−=−−=R f s x 35.2+−=−=横向放大率为

635.2)3(=+−−=−=R

R x f βR

R 18153+−=故mm

R 1=3、某人把折射率n＝1.50、半径为10cm 的玻璃球放在书上看字，试问：

(1)看到的字在何处？横向放大率是多少？

(2)若将玻璃球切成两半并取半球，令其平面向上，而让球面和书面相接触，这时看到的字在何处？横向放大率为多少？

解：(1)由于P 点位于右侧球面的顶点，故横向放大率β＝1，故仅需计及左侧球面的折射成象即可。折射成象的物象公式为

r

n n s n s n −=−'''11将，，和代入上式，得

10−=−=R r 23=n 0.1'=n 20−=s cm

s 40'1−=3''1==s

n ns β

成一虚象。

(2)如图(b)所示，

R

PC OP =≈根据折射定律

2

21sin sin 'sin i i n i n ==按几何关系，得

R x OP x i ==

1sin ''sin 2CP x OP x i ≈=故

''CP x n R x n =即cm R n n CP 7.6105.11''=×==110

7.615.1'15.1'''122=⋅=⋅=⋅=CP CP s s n n y y β4、空气的折射率在温度为300K、一个大气压下时，对可见光中心波长为1.0003。设大气层是等温的。试问密度系数为多少时，

地球表面大气较密而能使光线沿海平面弧度弯曲(在无云的天空中，理论上可以整夜看到落日，其形状被剧烈地沿铅直方向压缩)。设折射率n 的性质为(n －1)正比于大气密度，且等温大气层1／e 的高度为8700m。解：因(n－1)正比于大气密度，设

8700

1)(R

r e r n −−⋅=−ρ

式中，R 为地球的半径，这里取；ρ为大气密度系数，即

m R 3106400×=(1)

87001)(R r e

r n −−⋅+=ρ对式(1)求导，得(2)

8700

87001)(R r e dr r dn −−⋅−=ρ如图所示，当大气密度较密时，光线沿地球海平面弧度弯曲行进。从A 点到B 点得总光程为

θ

r r n AB l )(][==根据费马原理，A 点到B 点阿光程应取极值，即

0)(=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=θr n dr dn r dr dl 或(3)()r r n dr dn −=由式(2)和式(3)，得(4)

r r n e R r )(870018700=⋅−−ρ式(1)代入式(4)，得

()8700

870018700

R r R r e r n e r −−−−⋅+==⋅ρρ将代入上式，得

m R r 3106400×==ρρ+=××18700

1064003

故00136

.0=ρ由于一个大气压下，温度为300K 时，

0003

.010003.1100=−=−=n ρ

故53.40

=ρρ由此可知，当密度系数为实际情况得4.53倍时，才能使光线沿地球海平面弧度弯曲。