2.3公式法(1)
解一元二次方程公式(1)法学案
§2.3 公式法（1）【教学目标】1、理解用配方法推导一元二次方程求根公式的过程；2、熟记求根公式，会用公式法解一元二次方程；3、理解公式中的条件042≥-ac b .【重点】用公式法解一元二次方程．【难点】一元二次方程求根公式的推导过程．【相关链接】用配方法解方程：（1）02632=+-x x （2）y y y 441252+=+- 复习用配方法解数字系数的一元二次方程.【预习导航】一、阅读教材P 64～P 66.二、公式法解一元二次方程例1、用配方法解一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a用配方法解字母系数的一元二次方程学生可能感到困难，教学中教师注意引导学生做到数与字母的统一.注意条件0a ≠与042≥-ac b 的不可缺乏.一般地，对于一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 当042≥-ac b 时，我们称式子： aac b b x 242-±-=为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 例2、用公式法解方程x x x 23322-=+ 尝试练习：1、解方程：（1）226)3(2x x -=+ 解：将原方程化为一般形式，得：03522=-+x x∵a =2，b =5，c =-3，∴()0493245422>=-⨯⨯-=-ac b ∴22495242⨯±-=-±-=a ac b b x ∴.3,2121-==x x（2）213108x x --= （324x -=（3）2(1)88m m -+=- （4）1122-=++y y y解题反思：（1）一元二次方程的求根公式：______________________________________________.（2）我们称ac b 42-为关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式. 其中，①当042>-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；②当042=-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；③当042<-ac b 时，方程______（有、无）实数根。
推荐K12学习2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一练习新版北师
《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。
2.3等差数列的前n项和公式(1)
2.3 等差数列的前n 项(1)课前预习学前温习1.等差数列的定义:2.等差数列的通项公式3.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：n a =m a + ，（n ， m∈N*）.（2）若{}n a 为等差数列，且k+l=m+n ，（k ，l ，m ，n∈N*），则 .（3）若{}n a 是等差数列，则a a a ++k k m k 2m ，，，…（k ，m∈N*）是公差为 的等差数列. 新课感知1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2．如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？课堂学习 ● 互动探究知识精讲1、等差数列前n 项和公式的推导：（1） 用“倒序相加法”进行求和。
],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②由①+②，得 2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++n 个（）+（）+（）+...+（）)(1n a a n +=由此得到等差数列}{n a 的前n 项和的公式2)(1n n a a n S +=（2）其他的推导途径 123...n n S a a a a =+++=1111()(2)...[(1)]a a d a d a n d +++++++-=1[2...(1)]na d d n d ++++-=1[12...(1)]na n d ++++-=1(1)2n n na d -+ 2. 等差数列前n 项和公式的理解2)(1n n a a n S +=或n S =1(1)2n n na d -+ （1）公式的结构特征：第一个公式反映了等差数列的任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
2.3用公式法求解二元一次方程(一)
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
b b2 4ac x
2a
例 2 解方程：x2 3 2 3x. 解：化简为一般式：x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
当b2-4ac=0时，方程_有__两__个_相__等__的__实__数_根_____; 当b2-4ac<0时，方程_没__有_实__数__根____________.
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母△表示
练一练：
1、判断下列方程解的情况：
第二章 一元二次方程
第3节 用公式法求解一元二次方程(一)
回忆巩固
1、用配方法解方程的一般步骤是什么？ 2、解方程：2x2-7x+3=0
公式的推导
解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
解 : x2 b x c 0. aa
x2 b x c .
a
a
x2
b a
x
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
学习是件很愉快的事
b b2 4ac x
2a
例1 解方程：x2-7x-18=0
解：这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵ b 2 - 4a c =(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
（1）3x2+2x+1=0 （2）x2+1=2x （3）x2-7x=18
2.3 运用公式法
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
学习 过程 预 习 导 （3） （1+2x） （1–2x）= 学 学 习 研 讨 1、分解因式：7x2-21x 2、填空： （1） （x+3） （x–3） =
学习内容
； （2） （4x+y） （4x–y）= ； （4） （3m+2n） （3m–2n）=
； ．
活动一 阅读课本 54 页上面部分内容并回答问题： 1、 观察式子 a2-b2,x2-25,9x2-y2 (1) 他们有没有相同的因式？他们能不能分解因式？ (2) 小组讨论，它们有什么共同特征？ (3) 你能按照（2）的特征再举几个例子吗？ 2、结合预习导学 2，完成下列填空 （1）9m2–4n2= （3）x2–9= ； （2）16x2–y2= ； （4）1–4x2= ． ；
（4）(m－a)2－(n＋b)2 （5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
2、 如图， 在一块边长为 a 的正方形纸片的四角， 各 形．用 a 与 b 表示剩余部分的面积，并求当
剪去一个边长为 b 的正方 a=3.6，b=0.8 时的面积．
a b
延 伸 拓 展 总结 反思 作业 1.解： （1）a2－81=（a+9） （a－9）; 2 （2）36－x =（6+x） （6－x）; 2 （3）1－16b =1－（4b）2=（1+4b） （1－4b）; 2 2 （4）m －9n =（m +3n） （m－3n）; 2 2 （5）0.25q －121p =（0.5q+11p） （0.5q－11p）; 2 （6）169x －4y2=（13x+2y） （13x－2y）; 2 2 2 2 （7）9a p －b q =（3ap+bq） （3ap－bq）; （8） 已知 a、b 为正整数，且 a2-b2=45，求符合要求的 a、b 的值。
数学运用公式法一
(反)
思
逸夫初级中学“三导三学五环节”导学案
年级：八年级科目：数学
课题
2.3运用公式法(一)
主备人
李驰
审核人
李驰
授课人
编号
04
授课
时间
班级
姓名
学习
目标
1、经历通过整式乘法的平方差的逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
2、：平方差公式分解因式.
难点：观察平方差特点并利用平方差公式分解因式
预习展示
分解下列因式（平方差公式）：
（1）、1-4x2；（2）、m2-4；（3）、x2-4y2；
（4）、3x3-12x；（5）、 。
学
习
流
程
引领探究
1、a2-b2= (a+b)(a-b)中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
2、(1)9(m+n)2-(m-n)2;（2）4(m+n)2-(m-n)2
有效检测
把下列各式分解因式
（1）-(x+y)2+z2
（2）9（a+b）2-4（a-b）2
（3）m4-16m4
（4）x2－（a+b－c）2
（5）
梳理拓展
1、对于任意的自然数 ， 能被24整除吗?为什么?
2、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？
学
习
流
程
学 案
导 案
导学预习
1、什么是因式分解？我们已经学过的因式分解的方法有什么？
2.3用公式法求解一元二次方程
即
x1 = x2 = 1 .
2
知识讲解
例2 解方程：4x2-3x+2=0
解： a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
知识讲解
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
归纳这 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用 这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方 程的解.
知识讲解
二 用公式法解一元二次方程
典例精析
例1：解方程 （1）x2 - 7x –18 = 0.
解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 的根 的判别式，用希腊字母“Δ”来表示.
知识讲解
不解方程判断下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0;
(2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 , ∴有两个不相等的实数根.
例3 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是（ B ） A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
2.3用公式法求解一元二次方程-一元二次方程的根的判别式(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根的判别式的理解程度各有不同。有的学生能够迅速掌握判别式的计算和应用，而有的学生在理解判别式与方程根的关系上存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个别差异，采取更为灵活多样的教学方法。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单的语言解释判别式的概念，并通过具体的案例进行分析，让学生能够直观地感受到判别式在实际问题中的应用。然而，我也注意到，对于一些学生来说，理论知识的掌握仍然需要更多的实际操作和练习。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生亲自动手解决问题，以提高他们的实际操作能力。
针对实际问题的应用，教师应设计不同难度层次的例题和练习，如求解几何图形的面积、物体的运动轨迹等，引导学生将判别式应用于实际问题中，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
注意：由于字数限制，上述内容并未达到2000字，但已尽量详细列出教学难点与重点的每个细节。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步拓展和深化每个部分的讲解和举例。
2.提高学生的逻辑推理能力，通过推导一元二次方程求根公式，理解判别式的意义及其在求解过程中的作用。
3.培养学生的数学运算能力，使其能够运用判别式快速判断一元二次方程的根的性质，并进行有效求解。
4.增强学生的数据分析观念，通过分析判别式的值对不同根的情况进行分类讨论，培养学生对数学问题深入探究的精神。
2.教学难点
-理解判别式Δ与方程根之间的数量关系。
-掌握在不同Δ值情况下，方程根的性质和求解方法。
-解决实际问题时，能够正确应用判别式进行分析。
举例：难点在于帮助学生理解判别式Δ与方程根的对应关系。教师需要通过图示、表格或动画等教学辅助手段，直观展示Δ值的增减如何影响方程根的数量和性质。例如，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。通过对比不同Δ值下的解题过程，让学生深刻理解判别式在解题中的作用。
八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案(1)(无答案) 北师大版
§2.3运用公式法 （1）【学习目标】能运用平方差公式进行分解因式，充分了解平方差公式的特征。
【学习重点】掌握运用平方差公式分解因式【学前准备】1.写出分解因式的定义：2.什么叫提取公因式法3.提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？4.运用提公因式法分解因式：（1） ab a 842+ （2） 23212x x +-（3） ()()y x b y x a +++343 （4） ()()x y n y x m 222---（5） )(3)(22x y y x -+- （6） 32)(2)(5m n n m ---【师生探究合作交流】1.在多项式的乘法运算中()()__________=-+b a b a ，左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过就是： ____=()()b a b a -+，左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？_____________2.公式()()b a b a b a -+=-22的特点是： ①等号的左边是一个多项式，②这个多项式的每一项都能写成平方的形式，如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.特别提醒：公式中的字母a 和b 既可以代表一个单项式，也可以表示一个多项式。
3．例题例1、分解因式：（1） 9-4x 2解：9-4x 2 =( 3 2)-( 2)=(3+ )(3- ) (2) 2291x a -解：2291x a -=( 2)-( x 312)=( +x 31)( -x 31)(3) 12+-x解：12+-x =1-2x =( 2)-( 2) =( )( )(4)b m b a 22-解：例2、分解因式：(1) ()()229b a b a --+ (2) a a 823-解： 解：(3) ()()22c b a b a +--+ (4) ()222y x x --解： 解：【议一议】判断下列分解因式是否正确，若错误请改正．（1）222222)(c b ab a c b a -++=-+（2）)1)(1(1)(122224-+=-=-a a a a你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1.课本第1题写在书上2.把下列各式分解因式：① 222m b a - ② 241x +-③ ()()221--+x y x ④ 14-a⑤ ()()22c b a c b +--+ ⑥ 4416a x +-★3.如图，在一块边长为acm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm 的正方形，求剩余部分的面积。
北师大版数学九年级上册：2.3.1 公式法 学案
2.3.1 公式法 导学案
【学习目标】
1．掌握求根公式的推导过程，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
2．通过推导求根公式，提高逻辑思维能力和运算能力。
【学习重难点】
重点：掌握求根公式并会用公式法熟练地求解一元二次方程．
难点：一元二次方程求根公式的推导．
【学习过程】
一、【复习回顾】
用配方法解方程：06-x 4x 22
=+
二、【探究】
1.仿照以上解题过程，利用配方法解一元二次方程，ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)。
这样，我们就得到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式：。
用求根公式解一元二次方程的方法称为 .
我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示． 实数根
△＜相等的实数根
△的实数根
△时，方程没有0当时，方程有两个0当时，方程有两个不相等0＞当=
例题讲解：06-x 4x 22
=+;
随堂练习：
(1)x 41x 42=+ ; (2)03x 2-x 2=+.
课后作业：
学习手册：2.3.1 公式法。
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案
北师大版数学九年级上册2.3《公式法》教案一. 教材分析《北师大版数学九年级上册2.3《公式法》》这一节主要讲述了一元二次方程的解法——公式法。
通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
本节课通过公式法解一元二次方程，使学生能够更加深入地理解一元二次方程的解法，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念和性质，以及配方法解一元二次方程。
但部分学生对于公式的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，加强学生对公式法的理解和运用。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。
2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.掌握一元二次方程的公式法解法。
2.运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握一元二次方程的公式法解法。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的配方法解法，引导学生思考：是否有一元二次方程的通用解法？从而引出本节课的内容——公式法。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的公式法解法，引导学生理解公式法的原理。
公式法解一元二次方程的步骤：（1）确定方程的系数a、b、c；（2）计算判别式Δ=b²-4ac；（3）根据公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出方程的解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用公式法解一元二次方程。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固公式法解一元二次方程的方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法解一元二次方程的应用场景。
让学生举例说明，培养学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对公式法解一元二次方程有一个清晰的认识。
2.3公式法
∴原方程无实根.
公式法解一元二次方程的基本步骤：
（1）化为一般形式； （2）确定a、b、c的值；
（3）计算b2-4ac的值；
（4）代入公式，最后化简并给出结论。
b b 4αc(a≠0, b2-4ac≥0) x 2α 随堂练习P65
2
1.用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
∴方程有两个不相等的实根.
学习是件很愉快的事
b b 4αc x 2α
2
(a≠0, b2-4ac≥0)
例 1 解方程：x2-7x-18=0
解：∵a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
下课了!
结束寄语
•
•
配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
x2 ＝-2.8(不合题意,舍去). 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
独立 作业
知识的升华
2.3运用公式法
任何一个正奇 你发现了什么规 数都可以表示 律？能用因式分 解来说明你发现 成两个相邻自 的规律吗？ 然数的平方差。 对于正奇数 2n+1(n为自然 2 2 数)，有 n 1 n
1 3 5 7 …
1 12 02
3 22 12
5 32 22
7 42 32
…
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1 n n 1 n 2n 1
1.把下列各式分解因式
(1)(a 2 b 2 ) 2 4 a 2 b 2
（1）x -12xy+36y (1)18a2-50 4 2 2 4 (2)16a +24a b +9b (2)-3ax2+3ay4 2 2 (3)-2xy-x -y (3)(a+b)2-4a2 2 (4)4-12(x-y)+9(x-y) (4)-25x2y2+100 2+2a2x+a3; (5) ax 2 2 (5)4(a-b) -9(2a+3b) 2+6xy－3y2. (6) － 3 x 2 2 2 (6)(x +3x) -(x+1)
已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
3.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
4.如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ A、20 B、-20 C、10 D、-10 5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ A 、6 B、±6 C、3 D、±3 ） ）
3_公式法_教案1
§2．3 公式法授课教师：课时安排 1课时教学内容及教法分析公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续，即它实际上是配方法的一般化和程序化．利用它可以更为简捷地解一元二次方程．本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程．公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、b、c的值，在b2-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入求根公式即可求出解．因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方法，所以在教学中，首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的一元二次方程．教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程(二)能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．教学重点一元二次方程的求根公式．教学难点求根公式的条件：b2-4ac≥0教学方法讲练相结合教具准备多媒体课件教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入课题[师]前面我们学习了利用配方法解一元二次方程．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片)1．用配方法解方程2x2-9x+8=0[生]解：，2x 2-9x+8=0 两边都除以2，得移项，得；．配方，得．两边分别开平方，得[师]同学们做得很好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．Ⅱ．讲授新课[师]刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)呢?大家可参照解方程2x 2-9x+8=0的步骤进行．[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得x 2+ ac x a b +=0． [生乙]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0．好，接下来该如何呢?[生丙]移项，得x 2+ac x a b -= 配方，得x 2+22)2()2(ab ac a b x a b +-=+,(x+22244)2a ac b a b -=. [师]这时，可以直接开平方求解吗?[生丁]不，还需要讨论．因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以开平方．[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求2244aac b -≥0．因为4a 2>0恒成立，所以只需b 2-4ac 是非负数即可．因此，方程(x+a b 2)2＝2244a ac b -的两边同时开方，得x+a b 2=±2244aac b -. 大家来想一想，讨论讨论：±2244a ac b -=±a ac b 242-吗? ……[师]当b 2-4ac ≥0时， x+a b 2=±2244a ac b -=±||242a ac b - 因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a>0还是a<0，都不影响最终的结果： ±aac b 242- 所以x+ab 2=±a ac b 242-, x=-ab 2±a ac b 242- =aac b b 242-±- 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，它的根是 x=aac b b 242-±- [师]由此我们可以看到：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
2.3用公式法求解一元二次方程
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
独立 作业
知识的升华
P43习题2.5 1,2,3题;
祝你成功！
独立 作业
知识的升华
根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广 六尺八寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角 线长1丈,那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
B
即x 8 x 0.
2
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意, 舍去).
1.会用求根公式解一元二次方程； 2.通过公式的推导，加强推理技能训练，进一步 发展逻辑思维能力．
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
3 3.x1 1; x2 . 2
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4 .3 y
2
1 2 3 y.
3 4. y1 y2 . 3
小结
拓展
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
2.3 公式法(2) (1)
上课时间:
2014年9月
温故复习（2分钟）
1.一元二次方程的求根公式是什么？ 用公式法解一元二次方程的步骤是怎 样的？ 2.当b ²-4ac的符号怎样时，方程有两个 不相等的实数根？有两个相等的实数 根？没有实数根？
学习目标（1分钟）
2. 方程 x kx 1 0 的根的情况是（C） A.只有一个实数根 B.有两个实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2
3.关于X的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实数根，则m的取值范围是 m 1
2
4. （P44随堂练习）帮小颖列出方程并求解。
解：依题意得，
解 : 设这两位数的个位数字为x, 根据题意, 得
x 10x 3 x. 2 整理得x 11x 30 0.
2
解得x1 5, x2 6.
x 3 5 3 2, 或x 3 6 3 3.
答 : 这个两位数为25, 或36.
2 .将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
有两个实数根. 1 k 变:当k______ 4 时,关于x的方程kx²+x-1=0有 实数根.
3.三角形两边长分别是6和8，第三边长是一元二次方
程x2-16x+60=0的一个根，则三角形面积是（ D ）
A 24
C 48
B 24或 8 5
D 8 5
选做：
1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位 数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
2020新品上市广东省河源市江东新区九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程(1)
用公式法求解一元二次方程学习目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2.会熟练应用公式法解一元二次方程．学习过程一、自研自探（一）温故知新：用配方法解下列方程：⑴x2-7x-18＝0 ⑵ 4x2+4=8x（二）新知探究【探究一】研读课本 p41页的探究内容，理解求根公式的推导过程。
尝试用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。
解：方程两边都除以a，得。
配方，得：。
合并，得：。
移项，得：。
∵a≠0，所以4a2>0，当b2－4ac≥0时，得x＋b2a＝。
∴x＝。
即对于一元二次方程a x2＋b x＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝，这个式子称为一元二次方程的公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫法。
【探究二】请思考在【探究一】中，当b2－4ac<0时，一元二次方程a x2＋b x＋c＝0(a≠0)有实数根吗？并说出理由。
结论：一般地，关于x的一元二次方程a x2＋b x＋c＝0(a≠0)的根的情况有：(1)当b2－4ac＞0时，方程有实数根。
(2)当b2－4ac=0时，方程有实数根。
(2)当b2－4ac<0时，方程实数根。
其中在解形如的一元二次方程a x2＋b x＋c＝0(a≠0)根的情况可以用b2- 4ac来判定，所以把b 2- 4ac 叫做一元二次方程a x 2＋b x ＋c ＝0 根的 ，并用符号“ ”来表示。
二、互动合作（合作探究内容） 小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。
把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。
【合作探究】1．不解方程，找出a, b, c 并判定方程根的情况．(1)9x 2＋6x ＋1＝0； (2)16x 2＋8x ＝－3； (3)2x －9x 2＋8＝0； (4)-x 2－18＝7x .2. 关于x 的一元二次方程x 2-m x +(m-2)=0的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、无法确定3. 用公式法解下列各方程（格式请参阅课本42页例题）：例题： x 2-2x -3=0；解：这里a= , b= , c= .∵b 2- 4ac= ＞∴x= =即x 1= x 2=(1) 5x 2+2x =1； (2)(3)50x x -+= 。
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《1.3 运用公式法①》导学案
编写人：陈平儒 审核人： 陈宗玉 编写时间：2013-11-21
班级： 组别： 组名： 姓名：
【学习目标】
会用平方差公式对符合条件的多项式分解因式，发展逆向思维能力。
【教学重、难点】
重点：用平方差公式对符合条件的多项式分解因式
难点：对平方差公式的特征的准确掌握与正确运用。
【学法指导】
逆用整式乘法的平方差公式对能写成两个整式的平方的差的多项式进行因式分解。
【知识链接】
1、请你写出整式乘法的平方差公式：（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）＝
2、填空：
（1）（x+3）（x –3） = ；x 2–9= ；
（2）（4x+y ）（4x –y ）= ；16x 2–y 2= ；
（3）（1+2x ）（1–2x ）= ；1–4x 2= ．
（4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ；9m 2–4n 2= ；（
由上面的过程可以看出，把平方差公式反过来写： ，就可
以利用它进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法分解因式。
问题2、把下列各式分解因式：
（1）49–25x 2 （2）81a 2–2
91b
从上述解答过程可以看出：公式中的字母不仅可以表示数，还可以表示
问题3、将下列各式分解因式： （1）4（a –b ）2–（a +b ）2 （2）3m 3–27m 通过解答此题可以看出：当多项式有公因式时，通常应 ，然后再 。
【基础达标】B 1、判断正误： （1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （2）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( ) （3）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( ) B2、把下列各式分解因式： （1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2 （3）a 2b 2－m 2 （4）(m －a )2－(n ＋b )2 （5）–16x 4＋81y 4 （6）3x 3y –12xy （7）x 4- x 4y 4 （8）a 2(x –y )+ b 2 (y-x ) C3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的
正方形．
用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积．
【课堂小结】
收获：
疑惑：
【当堂检测】
A1、把下列各式分解因式：
（1） 36- x 2 （2） m 2-9n 2
（3） 169 x 2-4 y 2 （4） 2449a a 2
b 2
B2、把下列各式分解因式：
（1） 49(a-b)2-16(a-b)2 （2）(2x+y)2-(x+2y)2
（3） 3ax 2-3ay 4 （4） p 4-1
C3、 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是Rcm 和rcm ，求它们所围成的环形的面积。
如果R=8.45,r=3.454呢？
【课后反思】。