概率论试题(含解析)

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，则__(|)P B A 等于

（A ）0； （B ）1/3； （C ）2/3； （D ）2/5.

答：（ B ）

2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数,则下列选项正确的是

（A ）()f x 连续； （B ）()(),P X a f a a R ==∀∈；

（C ）()f x 的值域为[0,1]； （D ）()f x 非负。

答：（ D ）

3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而

（A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。

答：（ A ）

4、已知连续型随机变量X Y 、相互独立,且具有相同的概率密度函数()f x ，设随机变

量min{,}Z X Y =，则Z 的概率密度函数为

（A ）2)]([z f ； （B ）2()()z

f u du f z -∞⎰； （C ）2)](1[1z f --； （D ）2(1())()z f u du f z -∞-⎰.

答:（ D ） 5、设12+1,,

,,,,m m n X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的容量为n 的简单样本，则统计量2

1

2

1()m i i n i i m n m X m X ==+-∑∑服从的分布是

（A ）(,)F n m m - （B ）(1,1)F n m m --- （C ）(,)F m n m - （D ）(1,1)F m n m ---

答:（ C ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

6、某人投篮，每次命中的概率为23

，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627. 7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0,

x Ae

x f x --⎧⎪≥=⎨⎪⎩其它，则常数A =12. 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0(,)0,x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩

其它，则概率(1)P Y ≤=2.

9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则

)(Y X D -=1.8.

10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X （单位：cm ）服从正态分布

2(,0.3)N μ，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值_

x ＝

1.12，则μ的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316). （已知0.025 1.96z =，0.05 1.65z =，0.025(8)

2.3060t =，0.05(8) 1.8595t =）

三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.

顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）

解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品，

0,1,2i =，则所求概率为

2

0()(|)()...............................................................................(5')

19181716181716150.810.10.1...........................(9')2019181720191817

0.9i i i P B P B A P A ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯

+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈∑43...................................................................................................(10')

12、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为

22(),01()30,x x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩

其它， （1）求概率(01/2)P X <<；（2）求1()E X

. 解：（1）由题意

120(012)2()....................................................(4')31....................................................................................................(5')6

x P X x dx <<=+=⎰ （2）由随机变量函数的数学期望的性质

10111()()2()............................................(9')3

5E f x dx x dx X x +∞-∞==+=⎰⎰ 13、已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()arcsin ,011,1x F x A x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩

，

（1）求常数A ；（2

）求(1/22)P X ≤<；（3）求X 的概率密度函数()f x . 解：（1）由分布函数的性质

(1)(1)arcsin1 1...........................................................(1')F F A -+=⇒=

因此可得 2...........................................................................(3')A =

（2）由分布函数的性质

(1/22)2)(1/2).........................................(5')

222)arcsin(1/2)13............................................(7')P X F F ππ

≤<=-=-= （3）由密度函数的定义

01()()............(10')0,x dF x f x dx <<==⎩

其它 14、已知二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为