最新高中数学必修3知识点总结：第三章_概率优秀名师资料

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人教a版必修3数学教学课件第3章概率第1节随机事件的概率

品,2个次品”.
反思判断随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件,
在给定的条件下判断是一定发生(必然事件),还是不一定发生(随机
事件),还是一定不发生(不可能事件).
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题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
反思利用频率估计概率的步骤:
(1)依次计算各个频率值;(2)观察各个频率值的稳定值即为概率
的估计值,有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值.
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
【做一做1】下列事件中,是随机事件的有(
)
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③买一张彩票中奖;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型三
反思1.把握住随机试验的实质,要明确一次试验就是将试验的条
件实现一次.
2.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判
断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一
般采用列举法.根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列
结果没有重复,也没有遗漏.
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(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质全部重要知识点

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质全部重要知识点单选题1、定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式x ⋅f(x)>0的解集为（）A ．(−∞,−2)∪(2,+∞)B ．(−2,0)∪(0,2)C ．(−2,0)∪(2,+∞)D ．(−∞,−2)∪(0,2)答案：C分析：结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=0，x ⋅f(x)>0⇒{x >0f (x )>0 或{x <0f (x )<0 ，故x >2或−2<x <0，故选：C2、函数f (x )=√x−2(x −3)0的定义域是（）A ．[2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(2,3)∪(3,+∞)D ．[3,+∞)答案：C分析：由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．由{x −2>0x −3≠0 ，解得x >2且x ≠3．∴函数f(x)=√x−2(x −3)0的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．故选：C ．3、“幂函数f (x )=(m 2+m −1)x m 在(0,+∞)上为增函数”是“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m =1，可得函数g (x )为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案.要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ，则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立；“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g (x )=−g (−x )，即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ，解得：m =±1，故必要性不成立，故选：A ．4、已知三次函数f(x)=2x 3+3ax 2+bx +c(a,b,c ∈R )，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)=2022，则f(2023)=（）A ．2023B ．2027C ．2031D ．2035答案：D分析：根据题意，构造函数g (x )=f (x )−x ，根据g (2020)=g (2021)=g (2022)=0可以知道g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022)，进而代值得到答案.设g (x )=f (x )−x ，则g (2020)=g (2021)=g (2022)=0，所以g (x )=2(x −2020)(x −2021)(x −2022)，所以g (2023)=2×3×2×1=12，所以f(2023)=12+2023=2035.故选：D.5、若函数f(x)=x2−mx+10在(−2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2,+∞)B．[−4,+∞)C．(−∞,2]D．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.，由于f(x)在(−2,1)上是减函数，函数f(x)=x2−mx+10的对称轴为x=m2≥1⇒m≥2.所以m2故选:A6、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.<0，且f(2)=0，则不等7、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1式xf(x)>0的解集是（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(2,+∞)C．(−∞,−2)∪(0,2)D．(−∞,−2)∪(2,+∞)答案：C分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f(x)在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增，又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0，则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0 或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)；故选：C8、函数f(x)=0√x−2 ）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞)答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3，所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型：（1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y 轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.9、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A ．f(x)=x 2−xx ，g (x )=x −1B ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2C ． f (x )=x 2−2，g (t )＝t 2－2D ．f (x )=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1答案：C分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.解：由题意得：对于选项A ：f(x)=x 2−xx 的定义域为{x|x ≠0}，g(x)=x −1的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：f(x)=√x 2的定义域为R ，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：f (x )=x 2−2的定义域为R ，g (t )=t 2−2的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：f (x )=√x +1⋅√x −1的定义域为{x|x ≥1}，g(x)=√x 2−1的定义域为{x|x ≤−1或x ≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误.故选：C10、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑22k=1f(k)=（）A ．−3B ．−2C ．0D ．1答案：A分析：法一：根据题意赋值即可知函数f (x )的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)的值，即可解出．[方法一]：赋值加性质因为f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，令x =1,y =0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x =0可得，f (y )+f (−y )=2f (y )，即f (y )=f (−y )，所以函数f (x )为偶函数，令y =1得，f (x +1)+f (x −1)=f (x )f (1)=f (x )，即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x −1)，f (x −1)=−f (x −4)，故f (x +2)=f (x −4)，即f (x )=f (x +6)，所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cos x cos y ，可设f (x )=a cos ωx ，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,a cos ω=1，解得cosω=12，取ω=π3，所以f (x )=2cos π3x ，则 f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3x cos π3y =f (x )f (y )，所以f (x )=2cos π3x 符合条件，因此f(x)的周期T =2ππ3=6，f (0)=2,f (1)=1，且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.填空题11、函数y =√7+6x −x 2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x −x 2≥0,即x 2−6x −7≤0解得−1≤x ≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．12、已知幂函数f (x )的图象过点(2,4)，则f (−1)=______．答案：1分析：根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.依题意，设f(x)=x α，α为常数，则2α=4，解得α=2，即f(x)=x 2，所以f(−1)=1.所以答案是：113、已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，0]分析：根据实数a是否为零，结合一次函数、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；当a≠0时，则{a<0,1a≤2,⇒a<0，综上得a≤0．所以答案是：(－∞，0]14、关于函数f（x）=sinx+1sinx有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=π2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．答案：②③分析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−π<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cosx +1cosx ， f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cosx +1cosx ，则f(π2−x)=f(π2+x)，所以，函数f(x)的图象关于直线x =π2对称，命题③正确；对于命题④，当−π<x <0时，sinx <0，则f(x)=sinx +1sinx <0<2，命题④错误.所以答案是：②③.小提示：本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15、已知函数f(x)=x 2−|x 2−ax −4|在区间(−∞,−2)和(2,+∞)上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：0<a ≤8分析：设g(x)=x 2−ax −4，求出函数g(x)的两个零点x 1,x 2，且x 1<x 2，将函数f(x)化为分段函数，分类讨论a ，当a ≤0时，可知函数f(x)在区间(−∞,−2)上不可能单调递增；当a >0时，根据x 1的范围可知恒满足函数f(x)在区间(−∞,−2)上单调递增，根据解析式可知f(x)在[a 4,+∞)上单调递增，再由a 4≤2可解得结果. 设g(x)=x 2−ax −4，其判别式Δ=a 2+16>0，所以函数g(x)一定有两个零点，设函数g(x)的两个零点为x 1,x 2，且x 1<x 2，由x 2−ax −4=0得x 1=a−√a 2+162，x 2=a+√a 2+162，所以函数f(x)=x 2−|g(x)|= {ax +4,x <x 1,2x 2−ax −4,x 1≤x ≤x 2ax +4,x >x 2，①当a ≤0时，f(x)在(−∞,x 1)上单调递减或为常函数，从而f(x)在(−∞,−2)不可能单调递增，故a >0， ②当a >0时，x 1=a−√a 2+162 <a−√a 22=0， x 1+2=a−√a 2+162+2 =a+4−√a 2+162=√a 2+8a+16−√a 2+162>0，所以x 1>−2，所以−2<x 1<0，因为f(x)在(−∞,x1)上单调递增，所以f(x)在(−∞,−2)上也单调递增，因为f(x)在[a4,x2]和(x2,+∞)上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以f(x)在[a4,+∞)上单调递增，欲使f(x)在(2,+∞)上单调递增，只需a4≤2，得a≤8，综上所述：实数a的取值范围是0<a≤8.所以答案是：0<a≤8小提示：关键点点睛：求解关键有2个：①利用g(x)=x2−ax−4的零点将函数f(x)化为分段函数；②分类讨论a，利用分段函数的单调性求解.解答题16、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数.（2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数.（3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.f(−x)=−3x1−(−x)2=−f(x)，故f(x)为奇函数.（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.17、已知函数f(x)=x2，对任意实数t，g t(x)=−tx+1.（1）求函数y=g0(x)−f(x)的奇偶性；（2）ℎ(x)=xf(x)−g t(x)在(0,2]上是单调递减的，求实数t的取值范围；（3）若f(x)<|mg2(x)|对任意x∈(0,13]恒成立，求m的取值范围.答案：（1）偶函数；（2）(−∞,14]；（3）(−∞，−13)∪(13，+∞)分析：（1）利用奇偶性定义判断偶函数；（2）利用减函数的定义，建立不等式，求出t的范围；（3）用分离参数法，定义新函数q(x)=f(x)|g2(x)|，只需|m|>q(x)max，讨论q(x)=f(x)|g2(x)|的单调性，求出最大值，解不等式即可求出m的取值范围.（1）记p(x)=g0(x)−f(x)=1−x2，定义域为R，因为p(−x)=1−(−x)2=1−x2=p(x)，所以y=g0(x)−f(x)为偶函数.（2）ℎ(x)=xf(x)−g t(x)=1x+tx−1，任取0≤x 1<x 2≤2，则ℎ(x 1)−ℎ(x 2)=(1x 1+tx 1−1)−(1x 2+tx 2−1) =(1x 1−1x 2)+t (x 1−x 1) =(x 2−x 1)(1−tx 1x 2)x 1x 2要使ℎ(x )在(0,2]上是单调递减的，只需ℎ(x 1)−ℎ(x 2)>0恒成立.因为0≤x 1<x 2≤2，所以x 2−x 1>0,0<x 1x 2<4，所以只需1−tx 1x 2>0恒成立，即t <1x 1x 2恒成立，因为0<x 1x 2<4，所以t ≤14，即实数t 的取值范围为(−∞,14].（3）g 2(x )=−2x +1在x ∈(0,13]上的值域为[13，1)，∴要使f (x )<|mg 2(x )|对任意x ∈(0,13]恒成立，只需|m |>f (x )|g 2(x )|对任意x ∈(0,13]恒成立. 记q (x )=f (x )|g 2(x )|=x 2−2x+1,(0<x ≤13)，只需|m |>q (x )max . 任取0<x 1<x 2≤13，则q (x 1)−q (x 2)=x 12−2x 1+1−x 22−2x 2+1=x 12(−2x 2+1)−x 22(−2x 1+1)(−2x 1+1)(−2x 2+1)=(x 1−x 2)(2x 1x 2+x 1+x 2)(−2x 1+1)(−2x 2+1) 因为0<x 1<x 2≤13，所以−2x 1+1>0,−2x 2+1>0,x 1−x 2<0,2x 1x 2+x 1+x 2>0，所以(x 1−x 2)(2x 1x 2+x 1+x 2)(−2x 1+1)(−2x 2+1)<0，所以 q (x )=x 2−2x+1在(0,13]单增，所以q (x )max =q (13)=19−2×13+1=13，即|m |>13，解得：m >13或m <−13，所以m 的取值范围是(−∞，−13)∪(13，+∞)小提示：（1）定义法证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④下结论．单调性法求最值是求值域最常用的方法；（2）求参数范围的问题，可以用分离参数法转化为求最值来解决.18、已知幂函数f (x )=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (2x −1)<f (2−x )，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b =7m ，求3a+1+2b+1的最小值．答案：（1）f (x )=x 2；（2）(−1,1)；（3）2．分析：（1）根据幂函数的定义求得m ，由单调性和偶函数求得k 得解析式；（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“f ”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．解析：（1）．∵m 2−2m +2=1，∴m =1∵5k −2k 2>0，∴0<k <52（k ∈Z ）即k =1或2∵f (x )在(0，+∞)上单调递增，f (x )为偶函数∴k =2即f (x )=x 2（2）∵f (2x −1)<f (2−x )⇒f (|2x −1|)<f (|2−x |)∴|2x −1|<|2−x |，(2x −1)2<(2−x)2，x 2<1，∴x ∈(−1,1)（3）由题可知∵2a +3b =7，∴2(a +1)+3(b +1)=12⇒(a +1)6+(b +1)4=1 ∴3a+1+2b+1=[(a+1)6+(b+1)4]⋅(3a+1+2b+1)=1+34⋅b+1a+1+a+13(b+1)≥1+2√14=2，当且仅当34⋅b+1a+1=a+13(b+1)⇒2a =3b +1，即a =2，b =1时等号成立．所以3a+1+2b+1的最小值是2．19、已知函数f (x )=mx 2−1x+n 是奇函数，且f (2)=32.(1)求实数m,n 的值； (2)用函数单调性的定义证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增；(3)当x >0时，解关于x 的不等式：f (x 2)>f (2x +3).答案：(1)m =1，n =0，(2)证明见解析，(3)(3,+∞)分析：（1）由题意可得m(−x)2−1−x+n =−mx 2−1x+n ，求出n =0，再由f (2)=32可求出m =1，（2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，然后求f(x 2)−f(x 1)，化简变形可得结论，（3）由（2）可知f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以原不等式可化为x 2>2x +3，解不等式可得结果（1）因为函数f (x )=mx 2−1x+n 是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，即m(−x)2−1−x+n =−mx 2−1x+n ， mx 2−1−x+n =−mx 2−1x+n ，所以−x +n =−(x +n)，解得n =0，所以f (x )=mx 2−1x，因为f (2)=32，所以4m−12=32，解得m =1，（2）证明：由（1）可知f (x )=x 2−1x =x −1x 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=(x 2−1x 2)−(x 1−1x 1) =(x 2−x 1)+(1x 1−1x 2) =(x 2−x 1)+x 2−x 1x 1x 2 =(x 2−x 1)(1+1x 1x 2)，因为x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，所以x 2−x 1>0，1+1x 1x 2>0，所以f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增；（3）当x >0时，x 2>0,2x +3>0，由（2）可知f(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f(x2)>f(2x+3)，所以x2>2x+3，即x2−2x−3>0，解得x<−1（舍去），或x>3，所以不等式的解集为(3,+∞)。

(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质知识点总结归纳

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识点总结归纳单选题1、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（） A ．−12B ．0C ．1D ．2答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C2、已知函数f (x +2)=x 2+6x +8，则函数f (x )的解析式为（）A ．f (x )=x 2+2xB ．f (x )=x 2+6x +8C ．f (x )=x 2+4xD ．f (x )=x 2+8x +6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f (x +2)=x 2+6x +8=(x +2)2+2(x +2)，∴f(x)=x 2+2x .方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A3、已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则函数f(x)的图象是（）A．B．C．D．答案：C分析：设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．设幂函数的解析式为f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(9,3)，∴3=9α，解得α=12∴y=f(x)=√x，其定义域为[0,+∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项可知C满足题意．故选:C．4、如图，可以表示函数f(x)的图象的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据函数的概念判断根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求故选：D5、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x 2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．6、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.7、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得. 因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a <1. 故选：B.8、设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则A ．f (log 314)>f (2−32)>f (2−23) B ．f (log 314)>f (2−23)>f (2−32)C ．f (2−32)>f (2−23)>f (log 314) D ．f (2−23)>f (2−32)>f (log 314) 答案：C解析：由已知函数为偶函数，把f (log 314) , f (2−32) , f (2−23)，转化为同一个单调区间上，再比较大小． ∵f (x )是R 的偶函数，∴f (log 314)=f (log 34)．∵log 34>log 33=1,1=20>2−23>2−32,∴log 34>2−23>2−32，又f (x )在(0，+∞)单调递减，∴f (log 34)<f (2−23)<f (2−32)，∴f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)，故选C ．小提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．9、已知函数f (1x +1)=2x +3．则f (2)的值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x 的值，将x 的值代入f(1x +1)=2x +3，即可得答案．解：根据题意，函数f(1x +1)=2x +3，若1x +1=2，解可得x =1，将x =1代入f (1x +1)=2x +3，可得f (2)=5，故选：B ．10、函数y =2√1−2x +(2x +1)0的定义域为（） A ．(−∞,12)B ．(−∞,−12)∪(−12,12) C ．(12,+∞)D ．(−∞,−12)∪(−12,12]答案：B分析：要使函数y =2√1−2x +(2x +1)0有意义，则有{1−2x >02x +1=0 ，解出即可. 要使函数y =2√1−2x +(2x +1)0有意义，则有{1−2x >02x +1=0，解得x <12且x ≠−12 所以其定义域为(−∞,−12)∪(−12,12) 故选：B填空题11、已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.答案：(−12，23)分析：结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.由题意得：{-2<m -1<2，-2<1-2m <2，m -1<1-2m ，解得−12<m <23. 所以答案是：(−12，23) 12、已知函数f (x )的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数f (x )的说法：①f(f(1))=3；②f(2)>f(0)；③f(x)=2|x −1|−x +1,x ∈[0,4]；④∃a >0，不等式f (x )≤a 的解集为[13，2]. 其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)答案：①③解析：根据图象，可求得f(1)的值，即可判断①的正误；根据图中数据及f(x)在[1,4]上的单调性，可判断②的正误；分别讨论1≤x ≤4和0≤x <1两种情况，求得f(x)解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式f (x )≤a 解集，即求f (x )=a 的根，根据f(x)解析式，即可判断④的正误，即可得答案.对于①：由图象可得：f(1)=0，所以f(f(1))=f(0)=3，故①正确；对于②：f(0)=f(4)=3，且f(x)在[1,4]上为单调递增函数，所以f(2)<f(4)=3，所以f(2)<f(0)，故②错误；对于③：当1≤x ≤4时，f(x)=2|x −1|−x +1=2(x −1)−x +1=x −1，f(1)=0,f(4)=3，满足图象；当0≤x <1时，f(x)=2|x −1|−x +1=2(1−x)−x +1=3−3x ，f(0)=3，斜率k =−3，满足图象，故③正确；对于④：由题意得f (x )≤a 的解集为[13，2]，即f (x )=a 的根为13,2，根据f (x )解析式可得f(13)=2，当1≤x ≤4时，令x −1=2，解得x =3，所以解集为[13,3]，故④错误. 所以答案是：①③13、求函数y =2x −1−√1−2x 的值域______．答案：(−∞,0]##{y|y ≤0}分析：先对根式整体换元(注意求新变量的取值范围)，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可.令√1−2x =t ≥0，则2x =1−t 2，所以y =−t 2−t =−(t +12)2+14．又t ≥0，所以y ≤0，即函数y =2x −1−√1−2x 的值域是(−∞,0]．所以答案是：(−∞,0].14、已知定义在R 上的函数f (x )不是常函数，且同时满足：①f (x )的图象关于x =2对称；②对任意x 1∈R ，均存在x 2∈R 使得f (x 1)=2f (x 2)成立.则函数f (x )=______.（写出一个符合条件的答案即可）答案：(x −2)2（答案不唯一）分析：由题设函数性质分析知f(x)关于x =2对称且值域为(−∞,0]或[0,+∞)或R ，写出一个符合要求的函数即可. 解：由对任意x 1∈R ，均存在x 2∈R 使得f (x 1)=2f (x 2)成立，可知函数f (x )的值域为(−∞,0]或[0,+∞)或R ，又f (x )的图象关于x =2对称，∴f (x )=(x −2)2符合要求. 所以答案是：(x −2)2(答案不唯一).15、已知函数f （x ）＝{x +1,x <1x 2−2ax,x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案：(−∞,−12] 分析：要使f （x ）在R 上单调递增，必须满足：f （x ）在(－∞，1)上单调递增，f （x ）在(1，＋∞)上单调递增；又x =1时，(x 2－2ax )≥(x ＋1)．要使f （x ）在R 上单调递增，必须满足三条：第一条：f （x ）在(－∞，1)上单调递增；第二条：f （x ）在(1，＋∞)上单调递增；第三条：x =1时，(x 2－2ax )≥(x ＋1)．故有{−−2a 2=a ≤1,1−2a ≥2,解得a ≤−12．故实数a 的取值范围为(−∞,−12]．所以答案是：(−∞,−12].解答题16、已知函数f (x )=x |x −a |(1)讨论函数f(x)的奇偶性（只需写出正确结论）；(2)当a=2时，写出函数f(x)的单调递增区间：(3)当a≥2时，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值. 答案：(1)答案见解析(2)单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞)(3)f max(x)={a24,2≤a≤42a−4,a>4分析：（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）按x的范围去绝对值，进而求单调递增区间即可；（3）由a≥2且x∈[0,2]可得f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，讨论对称轴的位置求最大值即可. （1）当a=0时，f(x)=x|x|，f(−x)=−x|−x|=−x|x|=−f(x)，故f(x)为奇函数；当a≠0时，f(x)=x|x−a|为非奇非偶函数.（2）当a=2时，f(x)=x|x−2|，所以f(x)={x(x−2)=x2−2x,x≥2x(2−x)=−x2+2x,x<2，所以当x≥2时，x2−2x的单调递增区间为[2,+∞)；当x<2时，−x2+2x的单调递增区间为(−∞,1]，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞).（3）因为a≥2且x∈[0,2]，所以f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，对称轴为x=a2，当0<a2≤2，即2≤a≤4时，f max(x)=f(a2)=a24；当a2>2，即a>4时，f(x)在[0,2]上单调递增，f max(x)=f(2)=2a−4，综上f max(x)={a24,2≤a≤4 2a−4,a>4.17、已知函数f(x)是二次函数，f(−1)=0，f(−3)=f(1)=4．(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x−1)≥4．答案：(1)f(x)=(x+1)2(2)(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：(1)根据f(−3)=f(1)得对称轴为x=−1，再结合顶点可求解;(2)由（1）得x2≥4，然后直接解不等式即可.（1）由f(−3)=f(1)，知此二次函数图象的对称轴为x=−1，又因为f(−1)=0，所以(−1,0)是f(x)的顶点，所以设f(x)=a(x+1)2因为f(1)=4，即a(1+1)2=4所以得a=1所以f(x)=(x+1)2（2）因为f(x)=(x+1)2所以f(x−1)=x2f(x−1)≥4化为x2≥4，即x≤−2或x≥2不等式的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞)18、已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且对任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0，f(4)=1．（1）求证：f(1)=0；)；（2）求f(116（3）解不等式f(x)+f(x−3)≤1．)=−2；（3）{x|3<x≤4}．答案：（1）证明见解析；（2）f(116分析：（1）令x=4，y=1，由此可求出答案；（2）令x =y =4，可求得f (16)，再令x =16，y =116，可求得f (116)；（3）先求出函数f (x )在(0,+∞)上的单调性，根据条件将原不等式化为f [x (x −3)]≤f (4)，结合单调性即可求出答案．解：（1）令x =4，y =1，则f (4)=f (4×1)=f (4)+f (1)，∴f (1)=0；（2）∵f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2，f (1)=f (116×16)=f (116)+f (16)=0，∴f (116)=−2；（3）设x 1、x 2>0且x 1>x 2，于是f (x1x 2)>0， ∴f (x 1)=f (x 1x 2⋅x 2)=f (x1x 2)+f (x 2)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,+∞)上为增函数，又∵f (x )+f (x −3)=f [x (x −3)]≤1=f (4)，∴{x >0x −3>0x (x −3)≤4，解得3<x ≤4，∴原不等式的解集为{x|3<x ≤4}．19、已知函数f (x )的定义域为(0,+∞)，且对一切m >0，n >0，都有f (m n)=f (m )−f (n )+2，当x >1时，总有f (x )<2.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )是定义域上的减函数；(3)若f (4)=1，解不等式f (x −2)−f (8−2x )<−1.答案：(1)f (1)=2；(2)证明见解析；(3)(349,4).分析：（1）令m=n=1即可求得结果；（2）设0<x1<x2，由f(x2)−f(x1)=f(x2x1)−2<0即可证得结论；（3）将所求不等式化为f(x−28−2x)<f(4)，结合f(x)单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果. （1）令m=n=1，则f(1)=f(1)−f(1)+2，解得：f(1)=2；（2）设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1)−2，∵x2x1>1，∴f(x2x1)<2，f(x2)−f(x1)<0，∴f(x)是定义域上的减函数；（3）由f(x−2)−f(8−2x)<−1得：f(x−28−2x )−2<−1，即f(x−28−2x)<1，又f(4)=1，∴f(x−28−2x)<f(4)，∵f(x)是定义域上的减函数，∴x−28−2x >4，解得：349<x<4；又{x−2>08−2x>0，∴2<x<4，∴f(x−2)−f(8−2x)<−1的解集为(349,4).小提示：思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.。

(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质必练题总结单选题1、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−4)=−f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则（）A．f(16)<f(−17)<f(18)B．f(18)<f(16)<f(−17)C．f(16)<f(18)<f(−17)D．f(−17)<f(16)<f(18)答案：D分析：推导出函数f(x)是周期函数，且周期为8，以及函数f(x)在区间[−2,2]上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出f(16)、f(−17)、f(18)的大小关系.由题意可知f (x +8)=−f (x +4)=f (x )，故函数f (x )是周期函数，且周期为8，则f (16)=f (0)，f (−17)=f (−1)，f (18)=f (2)，因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，则该函数在区间[−2,0]上也为增函数，故函数f (x )在区间[−2,2]上为增函数，所以f (−1)<f (0)<f (2)，即f (−17)<f (16)<f (18).故选：D.3、定义在R 上的函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2.若f (x )的图象关于直线x =4对称，则下列选项中一定成立的是（）A ．f (−2)=1B ．f (0)=0C ．f (4)=2D ．f (6)=−1答案：A分析：根据f (4−x )+f (x )=2，令x =2，可求得f (2)，再根据函数的对称性可得f (6)及f (4+x )+f (x )=2，再令x =−2，可求得f (−2)，即可得出答案.解：因为函数f (x )满足f (4−x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (2)=2f (2)=2，所以f (2)=1，又f (x )的图象关于直线x =4对称，所以f (6)=f (2)=1，且f (4−x )=f (4+x )，则f (4+x )+f (x )=2，所以f (4−2)+f (−2)=2，所以f (−2)=−1，无法求出f (0),f (4).故选：A.4、设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1+x )=f (−x ).若f (−13)=13，则f (53)=（）A ．−53B ．−13C ．13D ．53答案：C分析：由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得f (53)的值.由题意可得：f (53)=f (1+23)=f (−23)=−f (23)，而f (23)=f (1−13)=f (13)=−f (−13)=−13，故f (53)=13.故选：C.小提示：关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5、函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[−3,+∞)B ．[3,+∞)C ．(−∞,5]D ．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x =−2(1−m)−2=1−m ，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，从而可求出m 的取值范围解：函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3的图像的对称轴为x =−2(1−m)−2=1−m ，因为函数f(x)=−x 2+2(1−m)x +3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m ≥4，解得m ≤−3，所以m 的取值范围为(−∞,−3]，故选：D6、函数的y =√−x 2−6x −5值域为（）A ．[0,+∞)B ．[0,2]C ．[2,+∞)D ．(2,+∞)答案：B分析：令u =−x 2−6x −5，则u ≥0，再根据二次函数的性质求出u 的最大值，进而可得u 的范围，再计算y =√u 的范围即可求解.令u =−x 2−6x −5，则u ≥0且y =√u又因为u =−x 2−6x −5=−(x +3)2+4≤4，所以0≤u ≤4，所以y =√u ∈[0,2]，即函数的y =√−x 2−6x −5值域为[0,2]，故选：B.7、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C8、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2，所以f (x )=3x −2.故选：B.9、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞)答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)，∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4；综上所述：a 的取值范围为[0,4].故选：C.10、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3 答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.填空题11、不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021的解为______．答案：(−∞,2)∪(3,4)分析：根据幂函数的性质，分类讨论即可将不等式(4−x)−2021>(x−2)−2021转化成(14−x )2021>(1x−2)2021（Ⅰ）{14−x>0 1x−2>0 14−x >1x−2，解得3<x<4；（Ⅱ）{14−x >01 x−2<0，解得x<2；（Ⅲ）{14−x<0 1x−2<0 14−x >1x−2，此时无解；综上，不等式的解集为：(−∞,2)∪(3,4)所以答案是：(−∞,2)∪(3,4)12、已知函数f(x)=|x+ax|在区间(0,1]上单调递减，则实数a的取值范围为___________.答案：(−∞,−1]∪[1,+∞)分析：分类讨论a，根据函数解析式得到函数在(0,+∞)上的单调性，再根据已知列式可得结果.当a=0时，f(x)=|x|在(0,+∞)上单调递增，故在区间(0,1]上单调递增，不合题意；当a>0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√a]上单调递减，在区间[√a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√a≥1，∴a≥1；当a<0时，f(x)=|x+ax|在区间(0,√−a]上单调递减，在区间[√−a,+∞)上单调递增，若f(x)在区间(0,1]上单调递减，则√−a≥1，∴a≤−1；综上，实数a的取值范围为(−∞,1]∪[1,+∞).所以答案是：(−∞,1]∪[1,+∞).13、设幂函数f(x)同时具有以下两个性质：①函数f(x)在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数a，b，<0恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数f(x)=___________.都有f(a)−f(b)a−b（答案不唯一）答案：1x2分析：利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.由题意可得，幂函数f(x)=x a需满足在第二象限内有图象且在(0,+∞)上是单调递减即可，所以a=−2k(k∈N∗)，故满足上述条件的可以为f(x)=1.x2所以答案是：1（答案不唯一）.x214、已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;或1答案：−32分析：根据幂函数的定义可得2m2+m−2=1，解方程即可.解：因为函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则2m2+m−2=1，或m=1.即2m2+m−3=0，解得m=−32所以答案是：−3或1.215、若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．答案：2分析：根据f(x)=f(-x)，简单计算可得结果.∵f(x)为偶函数，∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.解答题16、已知函数f(x)=2x−ax ，且f(2)=92.(1)求实数a的值并判断该函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在（1，+∞）上的单调性并证明.答案：(1)a=−1，函数f(x)=2x+1x为奇函数(2)f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明见解析分析：（1）根据f(2)=92，代入函数解析即可求解；（2）利用函数单调性的定义证明即可.（1）∵f(x)=2x−ax ，且f(2)=92,∴4−a2=92，∴a=−1；所以f(x)=2x+1x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，∵f(−x)=2(−x)+1−x =−2x−1x=−(2x+1x)=−f(x)，∴函数f(x)=2x+1x为奇函数.（2）函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，证明：任取x1,x2∈(1,+∞)，设x1<x2，则f(x2)−f(x1)=2x2+1x2−(2x1+1x1)=2(x2−x1)+(1x2−1x1)=2(x2−x1)+(x1−x2x1x2)=(x2−x1)(2−1x1x2)=(x2−x1)(2x1x2−1)x1x2∵x1,x2∈(1,+∞)，且x1<x2，∴x2−x1>0，2x1x2−1>0,x1x2>0∴f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.17、已知f(x)为二次函数，且f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，求f(x)的表达式．答案：f(x)=x 2−2x −1分析：设出二次函数解析式，代入已知等式，待定系数法即可得解.由题意可设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，则f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+c =ax 2+(2a +b)x +a +b +c ，f(x −1)=a(x −1)2+b(x −1)+c =ax 2−(2a −b)x +a −b +c ，于是f(x +1)+f(x −1)=2ax 2+2bx +2a +2c ，又f(x +1)+f(x −1)=2x 2−4x ，所以{2a =2,2b =−4,2a +2c =0,解得{a =1,b =−2,c =−1,所以f(x)=x 2−2x −1．18、已知幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，且f (x )=x2−m 2m （m ∈Z ）. (1)求m 的值；(2)解不等式：f (|x |−2)<f (3x ).答案：(1)m =1(2)[2,3)分析：（1）由条件结合幂函数的性质可得2−m 2m >0，再验证可得答案.（2）由函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，结合（1）得出的解析式以及函数的定义域可得{3x ≥0|x |−2≥0|x |−2<3x，从而解出答案.（1）幂函数y =f (x )在其定义域上是严格增函数，则2−m 2m >0 ，即0<m <2又m ∈Z ，则m =1，此时f (x )=x 12f (x )=x 12满足在定义域[0,+∞)上是严格增函数.所以m =1（2）由（1）函数y=f(x)在其定义域上是严格增函数根据f(|x|−2)<f(3x )，则{3x≥0|x|−2≥0|x|−2<3x，则{x≥2|x|−2<3x所以{x≥2x2−2x<3，解得2≤x<3所以不等式f(|x|−2)<f(3x)的解集为[2,3)19、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4−2x2；(2)f(x)=x5−x；(3)f(x)=3x1−x2；(4)f(x)=|x|+x．答案：(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数分析：（1）利用偶函数的定义可判断函数的奇偶性；（2）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（3）利用奇函数的定义可判断函数的奇偶性；（4）利用反例可判断该函数为非奇非偶函数.（1）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)4−2(−x)2=x4−2x2=f(x)，故f(x)为偶函数. （2）f(x)的定义域为R，它关于原点对称.f(−x)=(−x)5−(−x)=−x5+x=−f(x)，故f(x)为奇函数. （3）f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，它关于原点对称.=−f(x)，故f(x)为奇函数.f(−x)=−3x1−(−x)2（4）f(1)=|1|+1=2,f(−1)=0，故f(1)≠f(−1),f(−1)≠−f(1)，故f(x)为非奇非偶函数.。

高一数学必修3课件：3-1-2概率的意义

30%，指随着试验次数增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈．
第三章 3.1
3.1.2
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[规律]
治愈的概率是0.3，是指如果患病的人有1
第三章 3.1
3.1.2
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(2)某种病的治愈概率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3? [分析] 概率反映了事件发生可能性的大小．
第三章 3.1
3.1.2
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[解析]
如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是
公元1053年，大元帅狄青奉旨，率兵征讨侬智高．出征前，狄青拿出一百枚“宋元通宝”铜币，向众将士殷殷许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面会全部向上，那么这次出兵可以打败敌人！”在千军万马的注目之下，狄青将铜币用力向空中抛去，奇迹发生了：一百枚铜币，枚枚向上．顿时，全军欢呼雀跃，将士个个认定是神灵保佑，战争必胜无疑．事实上，铜币正反面都是一样的！同学样想一下，如果铜币正反面不一样，那么这一百枚铜币正面全部向上的可能性大吗？
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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第三章
概率
第三章
概率
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第三章
3．1 随机事件的概率
第三章
概率
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高中数学必修3课件：3.1.3 概率的基本性质

事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝__A_∩__B__
(或C＝AB)．
类比集合，事件A与事件B的交事件用图
表示．
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第三章概率
(3)互斥事件、对立事件若事件A与事件B为__A_∩__B_＝__∅__，那么称事件A与事件B互斥, 其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中_不__会__同__时__发生．若A∩B为__不__可__能__事件，A∪B为必__然___事件,那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中_有__且__仅__有___一个发生．
栏目导引
第三章概率
互动探究 2．在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F 的交事件是什么？解：由本例的解答可知， C＝A∪B∪E，C∩F＝A∪B.
栏目导引
第三章概率
题型三用互斥事件、对立事件求概率
例3 (2012·高考湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算
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第三章概率
(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，将频率视为概率，由互斥事件的概率加法公式得 P(A)＝11050＋13000＋12050＝170. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为170.
栏目导引
第三章概率
【名师点评】 (1)应用概率加法公式时要保证事件互斥，复杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简：注意不重不漏． (2)当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则反”的思想．
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第三章概率

高中数学第三章概率321古典概型322概率的一般加法公式(选学)课件新人教B版必修3

(2)下列是古典概型的是( ) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为基本事件 C.从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止
【精彩点拨】结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型具有两个特征——有限性和等可能性.
探究 2 基本事件的表示方法有哪些？【提示】写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏.
探究点3 古典概型的特征探究 3 古典概型有何特点？何为非古典概型？
【答案】 (1)A (2)C
名师指津 1.基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生. 2.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.
[再练一题] 1.下列试验是古典概型的为________. ①从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小； ②同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率. 【解析】 ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.
[再练一题] 4.在对 200 家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50% 的公司在进行短期销售预测，而 30%的公司在从事这两项研究.假设从这 200 家公司中任选一家，记事件 A 为“该公司在研究广告效果”，记事件 B 为“该公司在进行短期销售预测”，求 P(A)，P(B)，P(A∪B). 解 P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知 P(A∩B)＝30%＝0.3， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.

(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳超级精简版

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳超级精简版单选题1、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f(x)=x2−xx，g(x)=x−1B．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2C．f(x)=x2−2，g(t)＝t2－2D．f(x)=√x+1⋅√x−1，g(x)=√x2−1答案：C分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.解：由题意得：对于选项A：f(x)=x 2−xx的定义域为{x|x≠0}，g(x)=x−1的定义域为R，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：f(x)=√x2的定义域为R，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x≥0}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：f(x)=x2−2的定义域为R，g(t)=t2−2的定义域为R，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：f(x)=√x+1⋅√x−1的定义域为{x|x≥1}，g(x)=√x2−1的定义域为{x|x≤−1或x≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选：C2、已知函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，则f(|x|)的定义域为（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(0,2),0)C．(−1,0)∪(0,1)D．(−12答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.依题意函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，−1<x<1⇒0<x+1<2，所以0<|x|<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B3、函数y=4x的图象大致为（）x2+1A．B．C．D．答案：A分析：由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；由函数的解析式可得：f(−x)=−4xx2+1当x =1时，y =41+1=2>0，选项B 错误.故选：A. 小提示：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4、若函数f (x +1x )=x 2+1x 2，且f (m )=4，则实数m 的值为（） A ．√6B ．√6或−√6C ．−√6D ．3答案：B分析：令x +1x =t ，配凑可得f (t )=t 2−2，再根据f (m )=4求解即可令x +1x =t （t ≥2或t ≤−2），x 2+1x 2=(x +1x )2−2=t 2−2，∴f (t )=t 2−2，f (m )=m 2−2=4，∴m =±√6.故选；B5、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（） A ．−12B ．0C ．1D ．2答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果.由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C6、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C7、已知定义在R上的函数f(x)在[−1,+∞)上单调递增，若f(2)=0，且函数f(x−1)为偶函数，则不等式xf(x)>0的解集为（）A．(2,+∞)B．(−4,−1)∪(0,+∞)C．(−4,+∞)D．(−4,0)∪(2,+∞)答案：D分析：分析可知函数f(x)的图象关于直线x=−1对称，可得出函数f(x)的单调性，分析f(x)的符号变化，由xf(x)>0可得{x<0f(x)<0或{x>0f(x)>0，解之即可.因为函数f(x−1)为偶函数，则f(−x−1)=f(x−1)，故函数f(x)的图象关于直线x=−1对称，因为函数f(x)在[−1,+∞)上单调递增，故函数f(x)在(−∞,−1]上单调递减，因为f(2)=0，则f(−4)=0，所以，由f(x)<0可得−4<x<2，由f(x)>0可得x<−4或x>2，解不等式xf(x)>0，可得{x<0f(x)<0或{x>0f(x)>0，解得−4<x<0或x>2，故不等式xf(x)>0的解集为(−4,0)∪(2,+∞).故选：D.8、函数f(x)=e x−e−xx2的图象大致为（）A．B．C．D．答案：B分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由f(1)=e−e−1>0排除不正确的选项，从而得出答案..详解：∵x≠0,f(−x)=e −x−e xx2=−f(x)∴f(x)为奇函数，排除A,∵f(1)=e−e−1>0，故排除D.∵f′(x)=(e x+e−x)x2−(e x−e−x)2xx4=(x−2)e x+(x+2)e−xx3,，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)单调递增，所以排除C；故选：B.9、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5,2f(0)−f(−1)=1，则f(x)=（）A．3x+2B．3x−2C．2x+3D．2x−3答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解.由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2，所以f (x )=3x −2.故选：B.10、已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 3−1是幂函数，对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，若a,b ∈R,a +b <0，则f(a)+f(b)的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m 2−m −1)x m3−1是幂函数则m 2−m −1=1⇒m =2或m =−1又对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m =2所以f(x)=x 7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R 单调递增的奇函数由a +b <0，则a <−b ，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0,[f (x 1)−f (x 2)]⋅(x 1−x 2)>0，属中档题.填空题11、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____. 答案：92 分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1，故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，∴ {f (1)=1f (b )=b ，即{12−1+a =112b 2−b +a =b . 解得a =32，b =1或b =3.∵ b >1，∴ b =3.∴ a +b =32+3=92.所以答案是：92.12、若3f (x )+2f (1x )=4x ，则f (x )=______．答案：12x 5−85x分析：将x 用1x代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果. 由3f (x )+2f (1x)=4x ①，将x 用1x 代替得3f (1x )+2f (x )=4x ②，由①②得f (x )=12x 5−85x . 所以答案是：12x 5−85x .13、有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→x2；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→1x2；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．答案：（1）(4)分析：利用函数的定义判断.（1）由函数的定义知，正确；（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A不是数集，故错误；所以答案是：（1）(4)14、已知定义域为[1−3a,a+1]的奇函数f(x)=x3+bx2+x，则f(3x+b)+f(x+a)≥0的解集为_______．答案：[−14,2 3 ]分析：根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. f(3x+ b)+f(x+a)≥0等价于f(3x)≥−f(x+1)=f[−(x+1)]，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.由题知，f(−x)=−x3+bx2−x=−f(x)=−x3−bx2−x，所以2bx2=0恒成立，即b=0．又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以1−3a+(a+1)=0，解得a=1，因此f(x)=x3+x，x∈[−2,2]，由y=x3单调递增，y=x单调递增，易知函数f(x)单调递增，故f(3x+b)+f(x+a)≥0等价于f(3x)+f(x+1)≥0等价于f(3x)≥−f(x+1)=f[−(x+1)]即{3x≥−(x+1)−2≤3x≤2−2≤x+1≤2，解得x∈[−14,23]．所以答案是：[−14,2 3 ]15、已知函数f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，则f(−2)=________. 答案：7分析：根据题意直接求解即可解：因为f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，所以f(−2)=22+3=7，所以答案是：7解答题16、某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t−12t2(万元)．（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？答案：（1）f (x )＝{−12x 2+4.75x −0.5,0<x ≤512−0.25x,x >5；（2）475件．分析：（1）根据年需求量为500件，由0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.（2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.（1）当0<x ≤5时，产品全部售出，当x >5时，产品只能售出500件．所以f (x )={(5x −12x 2)−(0.5+0.25x ),0<x ≤5(5×5−12×52)−(0.5+0.25x ),x >5, 即f (x )＝{−12x 2+4.75x −0.5,0<x ≤512−0.25x,x >5. （2）当0<x ≤5时，f (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5，所以当x ＝4.75(百件)时，f (x )有最大值， f (x )max ＝10.781 25(万元)．当x >5时，f (x )<12－0.25×5＝10.75(万元)．故当年产量为475件时，当年所得利润最大．小提示：方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集．17、已知f (x )={−x (x +4) ， x ≤0x ，x >0（1）求f(f (−1))；（2）若f (a )=12，求a 的值；（3）若其图像与y =b 有三个交点，求b 的取值范围.答案：（1）3（2）12（3）0<b <4分析：（1）根据分段函数解析式直接求解；（2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可；（3）作出函数图象，数形结合即可.（1）∵ f (x )={−x (x +4) ， x ≤0x ，x >0 ， ∴ f(f (−1))=f(3)=3，（2）当a >0时，f (a )=a =12，当a ≤0时，f(a)=−a(a +4)=12，解得a ∈ϕ，综上，a =12（3）作出f (x )={−x (x +4) ， x ≤0x ，x >0的图象，如图，由图象可知，当0<b <4时，与y =b 有三个交点.18、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x +1x +1．(1)求f(x)在R 上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)的单调性，并给出证明．答案：(1)f(x)={x +1x +1,x >00,x =0x +1x −1,x <0； (2)f(x)在(0,1)上是减函数，证明见解析.分析：（1）根据奇函数的性质进行转化求解析式即可．（2）根据函数单调性的定义进行判断单调性．（1）∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x ＞0时，f(x)=x +1x +1． ∴当x ＜0时，则−x ＞0，则f(−x)＝−x −1x +1＝−f(x)，则f(x)＝x +1x −1（x ＜0），综上，f(x) ={x +1x +1,x >00,x =0x +1x −1,x <0．（2）设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)＝x 1+1x 1+1−x 2−1x 2−1＝(x 1−x 2) +x 2−x 1x 1x 2= (x 1−x 2)(1−1x 1x 2)＝(x 1−x 2) ⋅ x 1x 2−1x 1x 2，∵0<x 1<x 2<1，∴x 1−x 2<0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2−1＜0，则f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴函数f(x)在(0,1)上是减函数．19、已知函数f (1−3x )的定义域为A =[14,1]．(1)求f (x )的定义域B ；(2)对于（1）中的集合B ，若∃x ∈B ，使得a >x 2−x +1成立，求实数a 的取值范围．答案：(1)B =[−2,14](2)(1316,+∞)分析：（1）f (1−3x )的定义域x ∈[14,1]可以求出−2≤1−3x ≤14，即f (x )的定义域；（2）令g (x )=x 2−x +1，若∃x ∈B ，使得a >g (x )成立，即可转化为a >g (x )min 成立，求出g (x )min 即可.（1）∵f (1−3x )的定义域为A =[14,1]，∴14≤x ≤1．∴−2≤1−3x ≤14，则B =[−2,14]．（2）令g (x )=x 2−x +1，∃x ∈B ，使得a >x 2−x +1成立，即a 大于g (x )在[−2,14]上的最小值． ∵g (x )=(x −12)2+34， ∴g (x )在[−2,14]上的最小值为g (14)=1316，∴实数a 的取值范围是(1316,+∞)．。

高一数学必修3课件：3-1-3概率的基本性质

成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
4．事件与集合之间的对应关系事件与集合之间的对应关系如下表：事件必然事件不可能事件(Ø) 事件B包含于事件A(B⊆A) 事件B与事件A相等(B＝A) 集合全集空集(Ø) 集合B包含于集合A(B⊆A) 集合B与集合A相等(B＝A)
事件B与事件A的并事件(B∪A) 集合B与集合A的并集(B∪A)
[答案] {向上的点数是1或3或4} {向上的点数是3}
第三章 3.1
3.1.3
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(2)在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3 件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是 ________．
[答案]
至少有一件是二级品
第三章 3.1
3.1.3
3.1.3
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(4)对立事件．若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
第三章 3.1
3.1.3
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[破疑点]
①对立事件的特征：一次试验中，不会同时
)
B．M⊇N D．M<N
第三章 3.1
3.1.3
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[解析]
事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面
是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生．则有M⊆N.
第三章 3.1
3.1.3
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(1)并事件．若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件

人教A版高中数学选择性必修第三册7.1.1《独立性与条件概率的关系》名师课件

分析、类比、归纳的能力通过计算独立事件的概率,培养自主学习的
能力与探究问题的能力,并培养对数学知识的整合能力,发展逻辑推理、
数学运算等核心素养.
探究新知
假设 > ,且 > 0 ,在与独立的前提下,通过条件概率
的计算公式考察与的关系,以及与的关系.
学参加演讲比赛,从“甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球, “从8个球中任意取出1个,取出的
是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)掷一颗骰子一次, “出现偶数点”与“出现3点或6点”．
解析
(1) “从甲组中选出1名男生”这一事件是否产生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件

相互独立事件．
典例讲授
例1、判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同
学参加演讲比赛,从“甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球, “从8个球中任意取出1个,取出的
是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;

(2)至少有一个气象台预报准确的概率为

ഥ
ഥ
ഥ
ഥ
＝－( ∩ )＝－() × ()＝－ × ＝ .

归纳小结
两事件相
互独立
定义:与独立⇔ () = ()
独立性与条件概率的关系: 与独立⇔ () >
且, = ()
⇔
() >

最新高中数学人教A版必修三教学案：第三章第2节古典概型含答案

最新人教版数学精品教学资料[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 125～P 130，回答下列问题．教材中的两个试验：(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验；(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验．(1)试验(1)中的基本事件是什么？试验(2)中的基本事件又是什么？提示：试验(1)的基本事件有：“正面朝上”、“反面朝上”；试验(2)的基本事件有：“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”．(2)基本事件有什么特点？提示：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(3)古典概型的概率计算公式是什么？提示：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. 2．归纳总结，核心必记(1)基本事件①定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件． ②特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(2)古典概型①定义：如果一个概率模型满足：(ⅰ)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(ⅱ)每个基本事件出现的可能性相等．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．②计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. [问题思考](1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．(2)掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足特点(ⅱ)．(3)“在区间[0, 10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？提示：不是，因为在区间[0,_10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)基本事件的定义：；(2)基本事件的特点：；(3)古典概型的定义：；(4)古典概型的计算公式： .掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面朝上．[思考1] 这个试验共有哪几种结果？基本事件总数有多少？事件A ＝{恰有一次正面朝上}包含哪些试验结果？名师指津：共有正正、正反、反正、反反四种结果．基本事件有4个．事件A 包含的结果有：正反、反正．[思考2] 基本事件有什么特点？名师指津：基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生．讲一讲1．先后抛掷3枚均匀的壹分，贰分，伍分硬币．(1)求试验的基本事件数；(2)求出现“2枚正面，1枚反面”的基本事件数．[尝试解答](1)因为抛掷壹分，贰分，伍分硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种．可列表为：(2)从(1)中表格知，出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．所以“2枚正面，1枚反面”的基本事件数为3.基本事件的两个探求方法(1)列表法：将基本事件用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．练一练1．从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？解：所求的基本事件共有6个：即A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}．观察图形，思考下列问题[思考1]某射击运动员随机地向一靶心进行射击，试验的结果有：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)，你认为这是古典概型吗？名师指津：试验的所有结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．[思考2] 若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？名师指津：若一个试验是古典概型，需具备以下两点：(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．讲一讲2．某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．[尝试解答] (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.(1)古典概型求法步骤①确定等可能基本事件总数n ；②确定所求事件包含基本事件数m ；③P (A )＝m n. (2)使用古典概型概率公式应注意①首先确定是否为古典概型；②所求事件是什么，包含的基本事件有哪些．练一练2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)基本事件总数；(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出2个黑球的概率是多少？解：由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个基本事件．(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．(3)基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m＝3，故P＝1 2.讲一讲3．袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3)求至少摸出1个黑球的概率．[思路点拨](1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．[尝试解答](1)用树状图表示所有的结果为所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，所以P(A)＝610＝0.6，即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，所以P (B )＝710＝0.7，即至少摸出1个黑球的概率为0.7.利用事件间的关系求概率在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P (A 1∪A 2∪A 3∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )(A 为A 的对立事件)求得．练一练3．先后掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．解：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝636＝16. (2)记“出现两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P (B )＝136. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝1236＝13. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件，会用列举法求古典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)基本事件的两种探求方法，见讲1.(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点，见讲2.(3)利用事件的关系结合古典概型求概率，见讲3.3．本节课的易错点有两个：(1)列举基本事件时易漏掉或重复，如讲1；(2)判断一个事件是否是古典概型易出错．课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1基本事件的列举问题1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是()A．3 B．4 C．5 D．6解析：选D事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．故选D.2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．①写出这个试验的基本事件；②求出这个试验的基本事件的总数；③写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件．解：①这个试验的基本事件为(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)．②基本事件的总数为6.③“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件：(2,0)，(2,1)．题组2简单古典概型的计算3．下列关于古典概型的说法中正确的是()①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝kn.A．②④B．①③④C．①④D．③④解析：选B根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.4．下列试验中，属于古典概型的是( )A ．种下一粒种子，观察它是否发芽B ．从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC ．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶解析：选C 依据古典概型的特点判断，只有C 项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．5．设a 是掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )A.23B.13C.12D.512解析：选A 基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根则a 2－8＞0，满足上述条件的a 为3,4,5,6，故P ＝46＝23. 6．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )A.38B.23C.13D.14解析：选A 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38. 7．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球．解：设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个球全是白球的概率为P (A )＝615＝25. (2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P (B )＝815. 题组3 较复杂的古典概型的计算8．某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．解：(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A ，“一次停车1到2小时”为事件B ，“一次停车2到3小时”为事件C ，“一次停车3到4小时”为事件D .由已知得P (B )＝13，P (C ＋D )＝512. 又事件A ，B ，C ，D 互斥，所以P (A )＝1－13－512＝14. 所以甲的停车费为6元的概率为14. (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个；而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，所以所求概率为316. [能力提升综合练]1．下列是古典概型的是( )A ．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止解析：选C A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的基本事件是无限的，故B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是；D 项中基本事件可能会是无限个，故D 不是．2．(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B 5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种结果，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一件次品，有6种结果，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，设事件A ＝{恰有一件次品}，则P (A )＝610＝0.6，故选B. 3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C. 4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19解析：选D 分类讨论法求解．个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19. 5．(2016·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13. 答案：136．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．解析：用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc,2名都是女同学的选法为：ab ，ac ，bc ，故所求的概率为315＝15. 答案：157．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35. 8．(2014·山东高考)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。

全国通用版高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳超级精简版

(名师选题)全国通用版高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳超级精简版单选题1、已知f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则实数a的取值范围是（）A．(0，4)B．(1，+∞)C．(12，52)D．(1，52)答案：D分析：根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围. ∵f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则{2a−3>a−2−2<a−2<2−2<2a−3<2，解得1<a<52故选：D..2、已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x满足xf(x−12)≤0，则x的取值范围是（）A．[−12,0]∪[12,32]B．[−12,12]∪[32,+∞)C．[−12,0]∪[12,+∞)D．[−32,−12]∪[0,12]答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f(x)在R上单调递增，且f(1)=f(−1)=0，从而得到x∈(−∞,−1)，f(x)<0，x∈(−1,0)，f(x)>0，x∈(0,1)，f(x)<0，x∈(1,+∞)，f(x)>0，再分类讨论解不等式xf(x−12)≤0即可.因为奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，定义域为R，f(1)=0，所以函数f(x)在R上单调递增，且f(1)=f(−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0. 当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1，解得12≤x ≤32.综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32.故选：A3、已知f (2x +1)=4x 2+3，则f (x )=（）．A ．x 2−2x +4B ．x 2+2xC ．x 2−2x −1D ．x 2+2x +3答案：A分析：利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f (2x +1)=4x 2+3=(2x +1)2−2(2x +1)+4，所以f (x )=x 2−2x +4．故选：A4、函数y =√2x +4x−1的定义域为（）A ．[0,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)∪(1,+∞)D ．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x ≥0x −1≠0 ，解得x ≥0且x ≠1，故选：D5、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.6、下列各组函数表示同一函数的是（）A．f(x)=x，g(x)=√x33B．f(x)=1，g(x)=x0C．f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案. 解：对于A，两个函数的定义域都是R，g(x)=√x33=x，对应关系完全一致，所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，函数g(x)=x 2−1x−1的定义域为{x|x≠1}，故两函数不是相同函数，故C 不符题意；对于D ，函数f (x )=√x 2的定义域为R ，函数g (x )=(√x)2的定义域为[0,+∞)，故两函数不是相同函数，故D 不符题意.故选：A.7、函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f (1)=0−1=−1<0，f (2)=1−12=12>0，且函数f (x )=log 2x −1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y =log 2x 是增函数，y =−1x 也是增函数，所以f (x )是增函数，且f (1)f (2)<0，所以函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.8、函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，且a 为实数，则有（）A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+1)<f (a )D ．f (a 2−a )<f (a )答案：C分析：利用a =0可排除ABD ；根据函数单调性和a 2+1>a 恒成立可知C 正确.当a =0时，ABD 中不等式左右两侧均为f (0)，不等式不成立，ABD 错误；∵a2+1−a>0对于a∈R恒成立，即a2+1>a恒成立，又f(x)为R上的减函数，∴f(a2+1)<f(a)，C正确.故选：C.9、若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（）A．[−1,1]∪[3,+∞)B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞)D．[−1,0]∪[1,3]答案：D分析：首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：{x<0−2≤x−1≤0或{x>00≤x−1≤2或x=0解得−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D.小提示：本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.10、函数y=2√1−2x+(2x+1)0的定义域为（）A．(−∞,12)B．(−∞,−12)∪(−12,12)C．(12,+∞)D．(−∞,−12)∪(−12,12]答案：B分析：要使函数y =2√1−2x (2x +1)0有意义，则有{1−2x >02x +1=0 ，解出即可. 要使函数y =2√1−2x (2x +1)0有意义，则有{1−2x >02x +1=0，解得x <12且x ≠−12 所以其定义域为(−∞,−12)∪(−12,12) 故选：B11、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=f (x +4)，且f (x +1)是奇函数，则（）A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的图象关于直线x =12对称 C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的图象关于点(12,0)对称答案：C分析：由周期函数的概念易知函数f (x )的周期为2，根据图象平移可得f (x )的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由f (x +2)=f (x +4)可得2是函数f (x )的周期，因为f (x +1)是奇函数，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，所以f (x )=−f (2−x )，f (x )=−f (−x )，所以f (x )是奇函数，故选：C.12、已知函数f(x −1)(x ∈R)是偶函数，且函数f(x)的图像关于点(1,0)对称，当x ∈[−1,1]时，f(x)=ax −1，则f(2022)=（）A ．−1B ．−2C ．0D ．2答案：A分析：先由题给条件求得函数f(x)的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得f(2022)的值. 根据题意，函数f(x −1)(x ∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x =−1，则有f(x)=f(−2−x)，又由函数f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，则f(x)=−f(2−x)，则有f(−2−x)=−f(2−x)，则f(x +4)=−f(x)，则有f(x +8)=−f(x +4)=f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数，则f(2022)=f(−2+253×8) =f(−2)=f(0)=−1故选：A ．填空题13、已知函数f(x)={−x 2+2x ，x >00，x =0x 2+mx ，x <0是奇函数，则m =_____．答案：2分析：利用奇函数的定义，求出x <0时f(x)的表达式即可作答.当x <0时，−x >0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x 2−2x ，又f(x)为奇函数，f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，而当x <0时，f(x)=x 2+mx ，所以m =2．所以答案是：214、关于函数f （x ）=sinx +1sinx 有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =π2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．答案：②③分析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−π<x <0可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，所以，函数f(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cosx+1cosx，f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cosx+1cosx，则f(π2−x)=f(π2+x)，所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；对于命题④，当−π<x<0时，sinx<0，则f(x)=sinx+1sinx<0<2，命题④错误.所以答案是：②③.小提示：本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15、若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．答案：2分析：根据f(x)=f(-x)，简单计算可得结果.∵f(x)为偶函数，∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.16、设函数f(x)={2,x>0x2+bx+c,x≤0，若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则f(x)的解析式为f(x)＝________．答案：f(x)={2,x>0x2+4x+2,x≤0，分析：根据f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，列出方程组，求得b,c的值，即可求解.由题意，函数f(x)={2,x>0x2+bx+c,x≤0，因为f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，可得{(−4)2+b×(−4)+c=c(−2)2+b×(−2)+c=−2，即{16−4b=0−2b+c+6=0，解得b=4,c=2，所以函数的解析式为f(x)={2,x>0x2+4x+2,x≤0.所以答案是：f(x)={2,x>0x2+4x+2,x≤017、函数y=√7+6x−x2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x−x2≥0,即x2−6x−7≤0解得−1≤x≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．解答题18、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=kx a(x>0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A，B两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式分别为y=0.25x，y=√x(x>0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y=mx(m>0)，因为当x=1时，y=0.25，所以m=0.25，所以y=0.25x，即生产A芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式为y=0.25x，对于生产B芯片的，因为函数y=kx a(x>0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=kk⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元19、某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y（微克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y={2x8−x(0≤x≤6)12−x(6<x≤12)．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？答案：(1)163小时 (2)263小时分析：（1）根据y ≥4，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.（1）设服用1粒药，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，可得{0≤x ≤62x 8−x≥4 ，解得163≤x ≤6，所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．（2）设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；若0<x ≤6，药物浓度2x 8−x ≥4，解得163≤x ≤6，若6<x ≤12，药物浓度(12−x)+2(x−6)8−(x−6)≥4，化简得x 2−20x +100≥0，所以6<x ≤12；若12<x ≤18，药物浓度12−(x −6)≥4，解得x ≤14，所以12<x ≤14；综上x ∈[163,14]，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．20、已知y =f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=−x 2+2x ．(1)求x <0时，函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间[−1,a −2]上单调递增，求实数a 的取值范围．答案：(1)f(x)=x 2+2x ；(2)(1,3].分析：（1）设x <0，计算f(−x)，再根据奇函数的性质，得f(x)=−f(−x)，即可得解；（2）作函数f(x)的图像，若f(x)在区间[−1,a −2]上单调递增，结合函数图像，列出关于a −2的不等式组求解.（1）设x <0，则−x >0，所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x 2−2x又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以当x <0时，f(x)=x 2+2x .（2）作函数f(x)的图像如图所示，要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1，所以1<a ≤3，所以a 的取值范围是(1,3].。

高中数学必修3课件：3.2.1 古典概型

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第三章概率
想一想 “在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为2的概率是多少”？这个概率模型属于古典概型吗？提示：不是．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
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第三章概率
做一做 2.投掷一枚骰子，恰好数字6正面向上的概率是________．解析：由于骰子每一个面向上的可能性相等，故数字 6 正面向上的概率是16. 答案：16
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第三章概率
【解】从 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，其一切可能的结果组成的 12 个基本事件为： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)， (A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． C1 恰被选中有 6 个基本事件： (A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)， (A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，因而 P(M)＝162＝12.
第三章概率
1．基本事件 (1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的___随__机____事件称为该次试验的基本事件． (2)特点：一是任何两个基本事件是_互__斥___的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的__和___．
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第三章概率
做一做 1.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，所有的基本事件数是________．解析：所有的基本事件有(红红红)(红红白)(红白红)(白红红)( 红白白)(白红白)(白白红)(白白白)，共8个．答案：8

(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质知识总结例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−3,4]上单调递增，则m的取值范围是（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D分析：首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；解：因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3，开口向下，对称轴为x=1−m，依题意1−m≥4，解得m≤−3，即m∈(−∞,−3]故选：D2、若函数f(x+1x )=x2+1x2，且f(m)=4，则实数m的值为（）A．√6B．√6或−√6C．−√6D．3答案：B分析：令x+1x=t，配凑可得f(t)=t2−2，再根据f(m)=4求解即可令x+1x =t（t≥2或t≤−2），x2+1x2=(x+1x)2−2=t2−2，∴f(t)=t2−2，f(m)=m2−2=4，∴m=±√6.故选；B3、已知f(x)是一次函数，且f(x−1)=3x−5，则f(x)=（）A．3x−2B．2x+3C．3x+2D．2x−3答案：A分析：设一次函数y=ax+b(a≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y=ax+b(a≠0)，则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b，由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5，即{a=3b−a=−5，解得{a=3b=−2，∴f(x)=3x−2.故选：A．4、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C5、幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a答案：D分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x =1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；根据幂函数的性质，在第一象限内，x =1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b >c >d >a ，故选：D6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（）A ．12B ．1C ．√2D ．2 答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a−(14)b=(12)a−(12)b，即[(12)a−(12)b][(12)a+(12)b]=(12)a−(12)b≠0，所以(12)a +(12)b=1，故选：B ．7、已知幂函数y =xm 2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则满足(a +1)−m3<(3−2a )−m3的a 的取值范围为（）A ．(0,+∞)B ．(−23,+∞) C ．(0,32)D ．(−∞,−1)∪(23,32) 答案：D分析：由条件知m 2−2m −3<0，m ∈N ∗，可得m ＝1．再利用函数y =x −13的单调性，分类讨论可解不等式. 幂函数y =x m 2−2m−3(m ∈N ∗)在(0,+∞)上单调递减，故m 2−2m −3<0，解得−1<m <3．又m ∈N ∗，故m＝1或2．当m ＝1时，y =x −4的图象关于y 轴对称，满足题意；当m ＝2时，y =x −3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1．不等式化为(a +1)−13<(3−2a )−13，函数y =x −13在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，故a +1>3−2a >0或0>a +1>3−2a 或a +1<0<3−2a ，解得a <−1或23<a <32．故应选：D ．8、“幂函数f (x )=(m 2+m −1)x m 在(0,+∞)上为增函数”是“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m =1，可得函数g (x )为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案. 要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ，则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立； “函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g(x)=−g(−x)，即2x−m2⋅2−x=−(2−x−m2⋅2x)=m2⋅2x−2−x，解得：m=±1，故必要性不成立，故选：A．9、若函数y=√ax2+4x+1的值域为[0,+∞)，则a的取值范围为（）A．(0,4)B．(4,+∞)C．[0,4]D．[4,+∞)答案：C分析：当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据f(x)的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a=0时，y=√4x+1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a≠0，设f(x)=ax2+4x+1，则需f(x)的值域包含[0,+∞)，∴{a>0Δ=16−4a≥0，解得：0<a≤4；综上所述：a的取值范围为[0,4].故选：C.10、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A填空题11、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1，故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)， ∴ {f (1)=1f (b )=b ，即{12−1+a =112b 2−b +a =b. 解得a =32，b =1或b =3.∵ b >1，∴ b =3. ∴ a +b =32+3=92.所以答案是：92.12、已知函数f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，则f (−2)=________.答案：7分析：根据题意直接求解即可解：因为f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，所以f (−2)=22+3=7，所以答案是：713、设m 为实数，若函数f(x)=x 2−mx +m +2（x ∈R ）是偶函数，则m 的值为__________. 答案：0分析：根据函数的奇偶性的定义可得答案.解：因为函数f(x)=x 2−mx +m +2（x ∈R ）是偶函数，所以f(−x)=f (x )，所以(−x )2−m (−x )+m +2=x 2−mx +m +2，得2mx =0，所以m =0，14、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a的取值范围为___________.答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)15、设函数f(x)=x3+(x+1)2x2+1在区间[−2,2]上的最大值为M，最小值为N，则(M+N−1)2022的值为______.答案：1分析：先将函数化简变形得f(x)=x 3+2xx2+1+1，然后构造函数g(x)=x3+2xx2+1，可判断g(x)为奇函数，再利用奇函数的性质结合f(x)=g(x)+1可得M+N=2，从而可求得结果由题意知，f(x)=x 3+2xx2+1+1（x∈[−2,2]），设g(x)=x 3+2xx2+1，则f(x)=g(x)+1，因为g(−x)=−x 3−2xx2+1=−g(x)，所以g(x)为奇函数，g(x)在区间[−2,2]上的最大值与最小值的和为0，故M+N=2，所以(M+N−1)2022=(2−1)2022=1.解答题16、记函数f(x)=√2−x+3x+1的定义域为A，函数g(x)=√(x−a−1)(2a−x)(a<1)的定义域为B.（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围.答案：(−∞,−2]∪[12,1)解析：（1）求函数的定义域，就是求使得根式有意义的自变量x的取值范围，然后求解分式不等式即可；（2）因为a<1，所以一定有2a<a+1，从而得到B=(2a,a+1)，要保证B⊆A，由它们的端点值的大小列式进行计算，即可求得结果.（1）要使函数f(x)有意义，则需2−x+3x+1≥0，即x−1x+1≥0，解得x<−1或x≥1，所以A=(−∞,−1)∪[1,+∞)；（2）由题意可知，因为a<1，所以2a<a+1，由(x−a−1)(2a−x)>0，可求得集合B=(2a,a+1)，若B⊆A，则有{a<1a+1≤−1或{a<12a≥1，解得a≤−2或12≤x<1，所以实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[12,1).小提示：该题考查的是有关函数的定义域的求解，以及根据集合之间的包含关系确定参数的取值范围的问题，属于简单题目.17、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x+1x+1．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)的单调性，并给出证明．答案：(1)f(x)={x +1x +1,x >00,x =0x +1x −1,x <0； (2)f(x)在(0,1)上是减函数，证明见解析.分析：（1）根据奇函数的性质进行转化求解析式即可．（2）根据函数单调性的定义进行判断单调性．（1）∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x ＞0时，f(x)=x +1x +1．∴当x ＜0时，则−x ＞0，则f(−x)＝−x −1x +1＝−f(x)，则f(x)＝x +1x −1（x ＜0），综上，f(x) ={x +1x +1,x >00,x =0x +1x −1,x <0．（2）设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)＝x 1+1x 1+1−x 2−1x 2−1＝(x 1−x 2) +x 2−x 1x 1x 2= (x 1−x 2)(1−1x1x 2)＝(x 1−x 2) ⋅x 1x 2−1x 1x 2，∵0<x 1<x 2<1，∴x 1−x 2<0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2−1＜0，则f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴函数f(x)在(0,1)上是减函数． 18、已知幂函数f(x)=x −m 2+4m(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在区间(0,+∞)上是严格增函数．(1)求m 的值；(2)求满足不等式f(2a −1)<f(a +1)的实数a 的取值范围．答案：(1)m =2(2)0<a<2分析：（1）先利用幂函数在区间(0,+∞)上是严格增函数得到−m2+4m>0，再验证其图象关于y轴对称进行求值；（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.（1）解：因为幂函数f(x)=x−m2+4m在区间(0,+∞)上是严格增函数，所以−m2+4m>0，解得0<m<4，又因为m∈Z，所以m=1或m=2或m=3，当m=1或m=3时，f(x)=x3为奇函数，图象关于原点对称（舍）；当m=2时，f(x)=x4为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；综上所述，m=2.（2）解：由（1）得f(x)=x4为偶函数，且在区间(0,+∞)上是严格增函数，则由f(2a−1)<f(a+1)得|2a−1|<|a+1|，即(2a−1)2<(a+1)2，即a2−2a<0，解得0<a<2，所以满足f(2a−1)<f(a+1)的实数a的取值范围为0<a<2.19、已知f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=3x2−x+1，试求f(x)和g(x)的表达式．答案：f(x)=−x，g(x)=3x2+1分析：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是利用函数的奇偶性构造方程.解析：以－x代替条件等式中的x，则有f(−x)+g(−x)=3x2+x+1，又f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，故−f(x)+g(x)=3x2+x+1．又f(x)+g(x)=3x2−x+1，联立可得f(x)=−x，g(x)=3x2+1．。

2024年高考数学一轮总复习讲义第四讲事件的独立性、条件概率与全概率公式

第四讲事件的独立性、条件概率与全概率公式知识梳理知识点一事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．注：“相互独立”与“事件互斥”的区别．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．知识点二条件概率1．定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．2．求法：P(B|A)＝n(AB)n(A)＝P(AB) P(A).3．乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．4．性质：(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．知识点三全概率公式一般地，设A1，A2，A3，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪A3∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2,3，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝错误!(A i)P(B|A i)，我们称此公式为全概率公式．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P (B )>0，有P (A i |B )＝P (A i B )P (B )＝错误!，i ＝1,2，…，n .归纳拓展1．事件的表示(1)A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B .(2)A 、B 都发生的事件为AB .(3)A 、B 都不发生的事件为A －B －.(4)A 、B 恰有一个发生的事件为(A B －)∪(A B )．(5)A 、B 至多有一个发生的事件为(A B )∪(A B －)∪(A －B －)．2．一般结论(1)若事件A ，B ，C 两两相互独立，则P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )；(2)P (B －|A )＝1－P (B |A )；(3)若P (A )>0，则P (AB )＝P (A )·P (B |A )；(4)若A 、B 相互独立，则①A 、B 至少有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )．P (A ＋B )＝1－P (A )P (B )．②A 、B 恰有一个发生的概率P (A B －＋A －B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )·P (B )．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√)(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．(×)(3)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√)(4)抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A ＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B ＝“两枚骰子向上点数之和为7”．则A 与B 独立．(√)题组二走进教材2．(多选题)(选择性必修3P 48T3)一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是(BCD )A ．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为310B ．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为12C ．若有放回的摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为18125D ．若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为54125[解析]第一次摸到红球的概率为35，故A 错误；不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率P ＝24＝12，故B 正确；有放回的摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率35×35×25＝18125，故C 正确；有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率C×25＝54125，故D 正确．故选BCD.3．(必修2P 250T4改编)(2022·云南曲靖一中质检)甲、乙、丙三人独立破译一份密码，分别译出的概率为23，14，12，则密码能被译出的概率为(C )A.18B ．1112C ．78D．112[解析]P ＝1＝78.题组三走向高考4．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(B )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立[解析]P (甲)＝16，P (乙)＝16，P (丙)＝536，P (丁)＝636＝16，P (甲丙)＝0≠P (甲)P (丙)，P (甲丁)＝136＝P (甲)P (丁)，P (乙丙)＝136≠P (乙)P (丙)，P (丙丁)＝0≠P (丁)P (丙)，故选B.5．(2023·高考全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(A )A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1[解析]报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A ，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件B ，则P (A )＝5070＝57，P (AB )＝4070＝47，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝4757＝0.8.故选A.条件概率——自主练透1.(2024·广东惠州调研)甲、乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A ：甲和乙选择的景点不同，事件B ：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P (B |A )＝(B )A.15B ．25C ．925D ．920[解析]解法一：P(B|A)＝n(AB)n(A)＝C12A14A25＝25.故选B.解法二：由题知，P(A)＝A25C15C15＝45，P(AB)＝C12A14C15C15＝825，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝825 4 5＝25，故选B.2．(2024·天津河北区期中)甲、乙两人射击，每人射击一次．已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响．设事件A为“两人至少命中一次”，事件B为“甲命中”，则条件概率P(B|A)的值为40 47.[解析]P(A)＝1－P(A)＝1－0.2×0.3＝0.94，P(AB)＝0.8×0.7＋0.8×0.3＝0.8，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.80.94＝4047.3．(2024·河北百师联盟开学考)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(B)＝13，P(B|A)＝56，P(B|A)＝12，则(C)A．P(A)＝13B．P(AB)＝16C．P(A＋B)＝34D．P(A|B)＝14[解析]P(B|A)＝P(B A)P(A)＝56，P(B|A)＝P(B A)P(A)＝12，∴P(B A)＋P(B A)＝56P(A)＋12P(A)＝12＋13P(A)，即P(B)＝12＋13P(A)．∴23＝12＋1 3P(A)．∴P(A)＝12.∴A错；由P(B|A)＝P(AB)P(A)＝16，可得P(AB)＝112，故B错误；所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝12＋13－112＝34，故C正确；所以P(A|B)＝P(AB) P(B)＝14，P(A|B)＝1－14＝34，故D错误．故选C.名师点拨：条件概率的求法1．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(AB)P(A).这是通用的求条件概率的方法．2．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).【变式训练】(2024·湖南名校联合体联考)在“最强大脑”的双英对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率是415，乙挑战成功的概率是215，甲、乙均未挑战成功的概率是710，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为(B)A.1 2B．38C．25D．715[解析]记甲挑战成功为事件A，乙挑战成功为事件B，则P(A)＝415，P(B)＝215，P(A∪B)＝1－710＝310，由概率加法公式知P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，可得P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝415＋215－310＝110，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝110415＝38.故选B.相互独立事件——多维探究角度1判断事件的独立性(2023·河北“五个一”名校联盟联考)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”，乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”，丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”，丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”，则下列说法正确的有(C)①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]由题意得P (甲)＝P (乙)＝16，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一共有36种结果，事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”的基本事件有：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5种，则P (丙)＝536，事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”的基本事件有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6种，则P (丁)＝636＝16，①P (甲乙)＝136＝P (甲)P (乙)，故正确；②P (乙丁)＝136＝P (乙)P (丁)，故正确；③乙与丙不互斥，且P (乙丙)＝136≠P (乙)·P (丙)，故错误；④甲与丙互斥，且P (甲丙)＝0≠P (甲)P (丙)，故正确．故选C.角度2相互独立事件的概率1.(多选题)(2023·广东佛山禅城区调研)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则(ACD )A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为89C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57 [解析]对于A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3＝19，A正确；对于B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为6＝29，B不正确；对于C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为C23C12＝727，C正确；对于D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，由选项C知，P(A)＝7 27，小王选择羽毛球社的事件为B，则事件AB是含小王只有2人选择羽毛球社的事件和3人都选择羽毛球社的事件和，其概率P(AB)＝C12C12＝5 27，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为P(B|A)＝P(AB) P(A)＝57，D正确．故选ACD.2．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是0.18.[解析]前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0．63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是P＝0.108＋0.072＝0.18.3．(2024·山西大同摸底)已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作．则听不到声音的概率为(A)A．0.19738B．0.00018C．0.01092D．0.09828[解析]设能听到声音为事件M，则P(M)＝[1－P(A B)]·P(C)[1－P(DE)]＝[1－P(A)P(B)]·P(C)·[1－P(D)P(E)]＝(1－0.1×0.2)×0.9×(1－0.3×0.3)＝0.80262，所以听不到声音的概率P(M)＝1－0.80262＝0.19738.故选A.[引申]本例2中乙以4∶0获胜的概率为0.04，甲以4∶2获胜的概率为0.171.[解析]P1＝0.42×0.52＝0.04；P2＝(C230.42×0.6×0.52＋0.63×0.52＋C130.4×0.62×C120.52)×0.5＝0.171.名师点拨：判断两个事件是否相互独立的方法1．直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率．2．定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．3．转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与B，A与B，A与B也相互独立．求相互独立事件概率的主要方法1．利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．2．正面计算较繁琐(如求用“至少”“至多”等表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【变式训练】1．(角度1)(2023·湖南名校仿真模拟)随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育．某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A ＝“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B＝“甲、乙两人所选课程完全不同”，事件C＝“甲、乙两人均未选择‘5人制’课程”，则(C) A．A与B为对立事件B．A与C互斥C．A与C相互独立D．B与C相互独立[解析]依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同，故A与B互斥不对立，A错误；当甲乙两人均未选择“5人制”课程时，两人可能选的课程有一门相同，A与C不互斥，B错误；因为P(A)＝C14·C13·C12C24·C24＝23，P(B)＝C24C24·C24＝16，P(C)＝C23·C23C24·C24＝14，且P(AC)＝C13·C12C24·C24＝16，P(BC)＝0，所以P(AC)＝P(A)·P(C)，P(BC)≠P(B)·P(C)，即A与C相互独立，B 与C不相互独立，C正确，D错误，故选C.2．(角度2)(2024·广东惠州实验中学月考)2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34，那么三人中恰有两人通过的概率为(C)A.21 80B．2780C．3380D．2740[解析]记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A，B，C，显然A，B，C为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件A BC＋A B C＋AB C，且A BC，A B C，AB C互斥，∴所求概率P(A BC＋A B C＋AB C)＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝15×34×34＋45×14×34＋45×34×14＝3380.故选C.全概率公式——师生共研(2024·江苏常州联盟校调研)甲箱中有两个白球三个红球，乙箱中有一个白球三个红球，先从甲箱中取一球放入乙箱，再从乙箱中任取一球，则从乙箱中取得的为白球的概率为7 25.[解析]设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件C表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是白球，则有P(A)＝35，P(C|A)＝15，P(B)＝25，P(C|B)＝25，所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝35×15＋25×25＝725.名师点拨：利用全概率公式的策略1．根据题意，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n)．2．求P(A i)及事件B在各互斥事件A i发生的条件下的概率P(B|A i)；3．代入全概率公式P(B)＝错误!(A i)P(B|A i)．全概率公式P(B)＝错误!(A i)P(B|A i)在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【变式训练】(2024·广东深圳外国语学校月考)钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1，则找到钥匙的概率为0.51.[解析]记事件A1为“钥匙掉在宿舍里”，A2为“钥匙掉在教室里”，A3为“钥匙掉在路上”，事件B为“找到钥匙”，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.8＋0.3×0.3＋0.2×0.1＝0.51.1.(2024·江苏常州教育学会期中检测)居民的某疾病发病率为1%，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果99%呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果1%呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是(C)A．0.99B．0.9C．0.5D．0.1[解析]记事件A：某人患病，事件B：化验结果呈阳性，由题意可知P(A)＝1100，P(B|A)＝99100，P(B|A)＝1100，所以，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝1100×99100＋1－1100×1100＝995×103，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是：P(A|B)＝P(AB)P(B)＝P(A)·P(B|A)P(B)＝1100×99100995×103＝12.故选C.2．(2024·江苏镇江一中月考)第19届杭州亚运会一电子竞技作为正式体育竞赛项目备受关注．已知某项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：第一轮：四支队伍分别两两对阵(即比赛1和2)，两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．第二轮：胜者组两支队伍对阵(即比赛3)，获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵(即比赛4)，失败队伍(已两败)被淘汰(获得殿军)，获胜队伍留在败者组．第三轮：败者组两支队伍对阵(即比赛5)，失败队伍被淘汰(获得季军)；获胜队伍成为败者组第一名．第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛(即比赛6)，争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．[解析](1)由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，所以所求的概率为12×12×12＝18.(2)设W i表示队伍B在比赛i中胜利，L i表示队伍B在比赛i中失败，设事件E：队伍B获得亚军，事件F：队伍B所参加的所有比赛中败了两场，则事件F包括L2L4，L2W4L5，W2L3L5，W2L3W5L6，L2W4W5L6，且这五种情况彼此互斥，进而P(F)＝P(L2L4)＋P(L2W4L5)＋P(W2L3L5)＋P(W2L3W5L6)＋P(L2W4W5L6)＝12×12＋12×12×12＋12×12×12＋12×12×12×12＋12×12×12×12＝58，事件E∩F包括W2L3W5L6，L2W4W5L6，且这两种情况互斥，进而P(E∩F)＝P(W2L3W5L6)＋P(L2W4W5L6)＝1 2×12×12×12＋12×12×12×12＝18，所以所求事件E|F的概率为P(E|F)＝P(E∩F)P(F)＝1858＝15.【变式训练】(2024·天津实验中学阶段测试)假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为0.86；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为63%.[解析]设A为甲厂产品，B为乙厂产品，C表示合格产品，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.8，所以P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.6×0.9＋0.4×0.8＝0.86，灯泡是甲厂生产的概率为60%×90%＝0.54，所以P(A|C)＝P(A)·P(C|A)P(C)＝0.6×0.90.86≈63%.提能训练练案[66](对应学生用书练案[66]P398)A 组基础巩固一、单选题1．(2024·重庆质检)某高铁动车检修基地库房内有A～E共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01,02、高铁01,02,03共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车01停放在A道的概率为(C)A.1 4B．15C．18D．110[解析]记M＝“两动车相邻”，N＝“动车01停在A道”，则P(N|M)＝n(MN) n(M)＝A33A22A44＝18.故选C.2．(2024·广西柳铁一中、南宁二中摸底调研)2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为(B)A.1 3B．12C．23D．18[解析]记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，所以P(A)＝C24C35＝35，P(AB)＝C13C35＝310，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.3．(2024·山东新高考质检联盟联考)已知事件A，B满足P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则(B)A．若B⊆A，则P(AB)＝0.5B．若A与B互斥，则P(A＋B)＝0.7C．若A与B相互独立，则P(A－B－)＝0.9D．若P(B|A)＝0.2，则A与B不相互独立[解析]若B⊆A，则P(AB)＝P(B)＝0.2，所以A错误；若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7，所以B正确；若A与B相互独立，可得A－与B－相互独立，所以P(A－B－)＝P(A－)·P(B－)＝(1－0.5)(1－0.2)＝0.4，所以C错误；由P(B|A)＝0.2，可得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(AB)0.5＝0.2，所以P(AB)＝0.1，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立，所以D错误．故选B.4．(2024·安徽A10联盟联考)2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运动会在成都盛大开幕．为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂青春与共”大运会知识竞赛活动，各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中(包含4道图片题和2道视频题)，依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到图片题”，事件B为“第2次抽到视频题”，则P(B|A－)＝(C)A.1 3B．23C．15D．25[解析]因为P(A)＝A14A16＝23，故P(A－)＝1－23＝13，事件A－B表示两次均抽到视频题，故P(A－B)＝A22A26＝115P(B|A－)＝P(A－B)P(A－)＝15.故选C.5．(2024·河南部分学校摸底)现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则(D)A．乙与丙相互独立B．乙与丁相互独立C．甲与丙相互独立D．甲与乙相互独立[解析]依题意可得，事件甲的概率P1＝25，事件乙的概率P2＝25.有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是52＝25，显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为12＋22＋22＝9，则事件丙的概率P3＝925，事件丁的概率P4＝1625.事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率P5＝425≠P2·P3，故乙与丙不相互独立，A错误；事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为6，其概率P6＝625≠P2·P4，故乙与丁不相互独立，B错误；事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率P7＝425≠P1·P3，故甲与丙不相互独立，C错误；事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为4，其概率P8＝425＝P1·P2，故甲与乙相互独立，D正确．故选D.6．(2024·湖北高中名校联盟联考)某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3,0.3,0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是(B) A．0.16B．0.31C．0.4D．0.32[解析]设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则P(A)＝0.3，P(D|A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(D|B)＝0.3，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.4，D＝(D|A)∪(D|B)∪(D|C)，由全概率公式得：P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.3×0.2＋0.3×0.3＋0.4×0.4＝0.31.选B.7．(2023·江苏无锡等四地模拟)已知A，B为两个随机事件，P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|A－)＝0.2，则P(A)＝(B)A．0.1B．17C ．0.33D ．37[解析]P (B |A )＝P (BA )P (A )＝0.9，所以P (BA )＝0.9P (A )，P (B |A －)＝P (B A －)P (A －)＝0.2，所以P (B A －)＝0.2P (A －)，所以P (BA )＋P (B A －)＝0.2P (A －)＋0.9P (A )，即P (BA )＋P (B A －)＝0.2[1－P (A )]＋0.9P (A )，所以P (B )＝0.2[1－P (A )]＋0.9P (A )，即0.3＝0.7P (A )＋0.2，解得P (A )＝17，故选B.二、多选题8．(2024·江苏基地大联考)已知事件A ，B ，且P (A )＝0.4，P (B )＝0.3，则(ABD )A ．如果B ⊆A ，那么P (AB )＝0.3B ．如果B ⊆A ，那么P (A ∪B )＝0.4C ．如果A 与B 相互独立，那么P (A ∪B )＝0.7D ．如果A 与B 相互独立，那么P (A －B －)＝0.42[解析]由B ⊆A ，则P (AB )＝P (B )＝0.3，A 正确；由B ⊆A ，则P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，B 正确；如果A 与B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )＝0.12，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.58，C 错误；由C 分析及事件关系知：P (A －B －)＝1－P (A ∪B )＝0.42，D 正确．故选ABD.9．(2024·福建宁德一中检测)一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取得红球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，则(AC )A ．P (A )＝13B ．A ，B 为互斥事件C ．P (B |A )＝12D ．A ，B 相互独立[解析]P (A )＝13，A 正确；A ，B 可同时发生，即“第一次取红球，第二次取黄球”，A ，B 不互斥，B 错误；在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为12，C 正确；P (B )＝23×12＝13，P (AB )＝13×12＝16，P (AB )≠P (A )P (B )，∴A ，B 不独立，D 错误．故选AC.10．(2024·河北石家庄二中实验学校调研)投掷一枚质地均匀的骰子，事件A ＝“朝上一面点数为奇数”，事件B＝“朝上一面点数不超过2”，则下列叙述正确的是(BD)A．事件A，B互斥B．事件A，B相互独立C．P(A∪B)＝56D．P(B|A)＝13[解析]若朝上一面的点数为1，则事件A，B同时发生，∴事件A，B不互斥，A错误；∵事件A不影响事件B的发生，∴事件A，B相互独立，B正确；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝36＋26－16＝23，C错误；∵P(AB)＝16，P(A)＝36＝12，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1612＝13，D正确．故选BD.11．(2024·江苏镇江一中阶段测试)随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福．他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则(BC)A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为16B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为13C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为13D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为58[解析]四个人每人从中随机抽取一张共有C14C13C12种抽法，其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有C12种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为C12C14C13C12＝112，A错误；设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A，则P(A)＝C13C12C14C13C12＝14，小张抽到小王写的贺卡为事件B，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝11214＝13，B正确；恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有C14×2种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为C14×2C14C13C12＝13C正确；每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有C13(1＋2)＝9种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为C13(1＋2)C14C13C12＝924＝38，D错误，故选BC.12．(2024·河南许平济洛质检)小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件B为“只有小张去甲景点”，则(CD)A．这四人不同的旅游方案共有64种B．“每个景点都有人去”的方案共有72种C．P(B|A)＝16D．“四个人只去了两个景点”的概率是1427[解析]每个人都有3种选择，故共有34＝81种旅游方案，A错误；每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，故有C24·A33＝36种方案，B错误；恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B选项可知，n(A)＝36，又事件AB，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故n(AB)＝C23C11A22＝6，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝16，C正确；“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有C34C11A23＝24种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有C24C22A22·A23＝18种方案，由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故“四个人只去了两个景点”的概率为24＋1881＝1427，D正确．故选CD.三、填空题13．(2023·天津十二区重点高中联考)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为34，23，23，则系统正常工作的概率为23，在系统能够正常工作的前提下，只有K和A1正常工作的概率为1 4.[解析]记“系统正常工作”为事件A，则概率为P(A)＝34×C12×23×13＋34×23×23＝23，“K和A1正常工作”为事件AB，则概率为P(AB)＝34×23×13＝16，在系统能够正常工作的前提下，只有K和A1正常工作的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1623＝14.14．(2024·河南“顶尖计划”毕业班联考)一个不透明的盒子中有4个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，1个白球．从盒子中随机取两次球，每次取出1个球和2个球的概率均为12，则最终盒子里只剩下1个球且是白球的概率为18.[解析]第一种情况，第一次先拿1个红色球，第二次拿2个红色球，则概率P＝12×C13C14×12×C22C23＝116.第二种情况，第一次先拿2个红球，第2次拿1个红球，则概率P＝12×C23C24×12×C12C12＝116，只剩1个球且是白球的概率116＋116＝18.15．(2024·广东惠州实验中学月考)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为101125.[解析]记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A i(i＝1,2,3)，则P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25.该选手被淘汰的概率：P＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1)(A2)＋P(A1)(A2)(A3)＝15＋45×25＋45×35×35＝101125.或1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－45×35×25＝101125.16．(2024·福建泉州实验中学月考)深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为0.58.[解析]设事件A1表示“乙球员担当前锋”，事件A2表示“乙球员担当中锋”，事件A3表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.3×0.8＝0.42，所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1－0.42＝0.58.17．(2024·河北沧州联考)某班级数学课上教师随机地从学生甲、乙、丙、丁中选取一名学生回答问题，据了解学生甲、乙、丙、丁答对此题的概率分别为0.9,0.8,0.7,0.6.则此题答对的概率为0.75；在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率为0.2.[解析]根据题意，此题答对的概率为0.25×0.9＋0.25×0.8＋0.25×0.7＋0.25×0.6＝0.75；设事件A：此题答错，事件B：由乙回答此题，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.25×0.20.25×0.1＋0.25×0.2＋0.25×0.3＋0.25×0.4＝0.2.四、解答题18．(2024·广东惠州六校联考)小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个(小王自己不抢)，假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．(1)若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；(2)若小王发3次红包，其中第1,2次，每次发5元的红包，第3次发10元。

高中数学第三章概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式课件北师大版必修3

对于选项A,因为发芽与不发芽的概率不同,所以不是古典概型;
对于选项
B,因为摸到白球与黑球的概率都是
1 2
,
所以是古典概
型;
对于选项C,因为基本事件有无限个,所以不是古典概型;
对于选项D,因为命中10环,命中9环,……,命中0环的概率不相同,
所以不是古典概型.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
古典概型的概率计算【例3】某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后放回,连续取两次.若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖;若等于5,则中二等奖;若等于4或3,则中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率. 分析:分别写出所有基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出概率.
【做一做2-1】袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸出2个小球,下列事件不是基本事件的是( )
A.{正好2个红球} B.{正好2个黑球} C.{正好2个白球} D.{至少1个红球} 解析:至少1个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以{至少1个红球}不是基本事件,其他事件都是基本事件. 答案:D
【做一做2-2】已知一个家庭有两个小孩,则所有的基本事件是
() A.(男,女),(男,男),(女,女) B.(男,女),(女,男) C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女) D.(男,男),(女,女) 解析:用坐标法表示:将第一个小孩的性别放在横坐标位置,第二
个小孩的性别放在纵坐标位置,可得4个基本事件(男,男),(男,女),(女, 男),(女,女).
【做一做1】下列试验中,是古典概型的有( ) A.抛掷一枚图钉,发现钉尖朝上 B.某人到达路口看到绿灯 C.抛掷一粒均匀的正方体骰子,观察向上的点数 D.从10 cm3水中任取1滴,检查有无细菌答案:C

人教版高一数学必修三第三章几何概型

3．3几何概型3．3.1几何概型考点学习目标核心素养区分古典概型和几何概型通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型数学抽象、直观想象几何概型的概率计算公式掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率逻辑推理、数学运算问题导学(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？(2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？(3)几何概型有几种模型？1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．2．几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．3．几何概型的常见类型(1)长度型．(2)角度型．(3)面积型．(4)体积型．4．求解几何概型的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意选择的观察角度要保证基本事件的无限性及等可能性)．(2)把所有的基本事件转化为与之相对应的区域D.(3)把所求的随机事件A转化为与之相对应的区域d.(4)利用几何概型的概率计算公式求解．■名师点拨辨析古典概型与几何概型(1)相同点古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．(2)不同点①古典概型要求随机试验的基本事件的个数必须是有限的；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关；②在古典概型中，概率为0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件，而在几何概型中，概率为0的事件可能发生，概率为1的事件也可能不发生．例如在一个圆面内任取一点，取到圆心的概率等于0，但我们仍有可能在圆内取到圆心．也就是说，“单点事件”是不影响几何概型概率的计算的，因而在计算几何概型的概率时，线段的端点、区域的边界是否包含在所求事件之内，都不会影响最终的计算结果．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个．()(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．()(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．()(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等．()(5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( )A.23B.13C.16D.14解析：选B.由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为 P ＝2－13＝13. (2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)向正方形内随机撒一些豆子，经查数，落在正方形内的豆子的总数为1 000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值(用分数表示)为________．解析：令正方形内切圆的半径为r ，则正方形边长为2r ，则由题意中“落在正方形内的豆子的总数为1 000，其中有780粒豆子落在该正方形的内切圆内”可得7801 000＝πr24r 2，化简得π＝7825.答案：7825与长度有关的几何概型(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)(2019·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)在区间[－1，2]内任取一个数a ，则点(5，a )位于x 轴下方的概率为( )A.23B.12C.13D.16【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)在区间[－1，2]内任取一个数a ，则点(5，a )位于x 轴下方，可得a ∈[－1，0)．由几何概型可得P ＝0－（－1）2－（－1）＝13.故选C.【答案】 (1)B (2)C求解与长度有关的几何概型的步骤(1)找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段．(2)找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．(3)利用几何概型概率的计算公式P ＝dD计算．某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，若物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )A ．80米B ．100米C ．40米D ．50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x 米，由几何概型知，45＝500－x500，解得x ＝100米，故选B.与面积有关的几何概型已知点P ，Q 为圆O ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 的中点组成的区域为M ，在圆O 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35B.925C.1625D.25【解析】 PQ 的中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在圆O 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925.【答案】 B与面积有关的几何概型的求解思路解决此类几何概型问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域面积，从而求得随机事件的概率．试验的全部结果所构成的区域面积(2018·高考全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：选A.法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12bc，区域Ⅱ的面积S2＝12π×⎝⎛⎭⎫c22＋12π×⎝⎛⎭⎫b22－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝⎛⎭⎫a222－12bc＝18π(c2＋b2－a2)＋12bc＝12bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×（2）22－2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝π×（2）22－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝2π＋2，p3＝π－2π＋2，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.与体积有关的几何概型一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.4π81 B.81－4π81C.127 D.827【解析】满足题意的点所在区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.【答案】 C若本例条件不变，求这个蜜蜂飞到与正方体某一顶点A的距离小于13的概率．解：到点A的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的点的区域体积为43π×⎝⎛⎭⎫133×18.所以P＝43π×⎝⎛⎭⎫133×1833＝π2×37.与体积有关的几何概型的求解思路用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，并确定出所有基本事件构成的区域的体积，利用公式P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积求解即可． (2019·江西省临川第一中学期末考试)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内取一点P ，使V P -ABC≤13V S ABC的概率为( ) A.23 B.49 C.827D.1927解析：选D.作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P ABC ＝13V S ABC ，则高OP ＝13SO ，即此时P 在三棱锥V S ABC 的面DEF 上，则V P ABC <13V S ABC 的点P 位于在三棱锥V S ABC 的面DEF 以下的棱台内，则对应的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.故选D.与角度有关的几何概型如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，求射线AP 与线段BC 有公共点的概率．【解】因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能基本事件对应的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，对应区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.与角度有关的几何概型的求解思路当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.切不可用线段长度代替角度作为区域度量．在圆心角为90°的扇形OAB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为________．解析：作射线OD 和OE ，使得∠AOD 和∠BOE 都等于30°.要使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则射线OC 位于射线OD 和OE 之间，故所求概率为P ＝90°－30°－30°90°＝13.答案：131．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( ) A.13 B.12 C.14D.23解析：选D.由|x |≤1，得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝23.2．(2019·湖北省荆州中学期末考试)ABCD 为长方形，AB ＝3，BC ＝2，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，如图所示，可得长方形的面积为S ＝3×2＝6，以O 点为圆心，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为S 1＝12πr 2＝π2，所以取到的点到O 的距离大于1表示圆的外部在矩形内部的部分，所以概率为P ＝S －S 1S ＝6－π26＝1－π12.答案：1－π123．在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．解析：如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设E ＝{在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }，则所有可能结果的区域角度为90°，事件E 的区域角度为67.5°，所以P (E )＝67.5°90°＝34.答案：344．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则 V M ABCD ＝13S 底面ABCD ·h ≤16.又S 底面ABCD ＝1，所以只要h ≤12即可．所有满足h ≤12的点组成以正方形ABCD 为底面，12为高的长方体，其体积为12. 又正方体的体积为1，所以使四棱锥M -ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率为P (A )＝121＝12.答案：12[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选A.A ∩B ＝{x |2<x <3}，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1，所以事件“x ∈A ∩B ”的概率为16，故选A.2．(2019·湖南省张家界市期末联考)如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.π8B.18C.12D.14解析：选D.由题意知，大圆的面积为S ＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S ′＝12π·22－π·12＝π，则所求的概率为P ＝S ′S ＝π4π＝14.故选D.3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.4．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59. 答案：595．(2019·福建省三明市质量检测)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD 中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 构成．现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为________．解析：因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形ABCD 的边长为a ＝32＋42＝5，所以S 正方形ABCD ＝a 2＝25，所以S 正方形EFGH ＝S 正方形ABCD －4S △ABF ＝25－4×12×3×4＝1，因此，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为P ＝S 正方形EFGH S 正方形ABCD ＝125.答案：1256．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm 的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm 的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm 的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm 为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P ＝3252＝925.[B 能力提升]7.(2019·河北省沧州市期末考试)如图，边长为23的正三角形ABC 内接于圆O ，点P 为弧AC 上任意一点，则△PBC 的面积大于3的概率为________．解析：因为△ABC 的边长为23，所以△ABC 的高为3，设外接圆O 的半径为r ，则2r ＝23sin π3＝4，所以r ＝2，所以O 点到BC 的距离为1，过点O 作直线与BC 平行交弧AC 于点D ，△DBC 的面积恰好为3，所以点P 由D 点向A 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越大；点P 由D 点向C 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越小，因此，为使△PBC 的面积大于3，只需点P 由D 点向A 点移动，所以由几何概型可知，△PBC 的面积大于3的概率等于∠AOD 与角∠AOC 大小之比．因为∠AOD ＝π2，∠AOC ＝2π3，所以△PBC 的面积大于3的概率为P ＝π22π3＝34.答案：348．(选做题)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。

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[DOC]-高中数学必修3知识点总结：第三章_概率高中数学必修3知识点总结:第三章_概率
高中数学必修3知识点总结
第三章概率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:
(1)必然事件:在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;
(5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件
nA
A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=n为事件A出现的概率:对于给定的随机事件A，如果随着试验次
数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作
P(A)，称为事件A的概率。

nA
(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n，它具有一定的稳定
性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机
事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作
为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A?B为不可能事件，即A?B=ф，那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A?B为不可能事件，A?B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时，满足加法公式:P(A?B)= P(A)+ P(B);若事
件A与B为对立事件，则A?B为必然事件，所以P(A
?B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0?P(A)?1;
2)当事件A与B互斥时，满足加法公式:P(A?B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件，则A?B为必然事件，所以P(A?B)= P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生，而对立事
1
件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形;(1)事件A发生B 不发生;(2)事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

(2)古典概型的解题步骤;
?求出总的基本事件数;
?求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P(A)=A包含的基本事件数总的基本事件个数
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念:
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积)
P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积);
(1)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等(
2。

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