误差分析与处理
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它的产生是由测量过程中出现的各种各样不显著而又难于控 制的随机因素综合影响所造成。 特征：个别出现的偶然性而多次重复测量总体呈现统计规律， 服从高斯（GASS）分布，也称正态分布； 由于随机误差具有以上这些特性，所以在工程上可以对被测 量进行多次重复测量的算术平均值表示被测量的真值 。
随机误差
0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 -3 -2 -1
y
68.3% 0 95.5% 99.7%
1
2
3
随机误差分布的性质
有界性：在一定的测量条件下，测量 的随机误差总是在一定的、相当窄的 范围内变动，绝对值很大的误差出现 的概率接近于零。 单峰性：绝对值小的误差出现的概率 大，绝对值大的误差出现的概率小， 绝对值为零的误差出现的概率比任何 其它数值的误差出现的概率都大。
标准器具或量仪由于设计、制造、 装配、调试和使用等造成的缺点 温度、湿度、气压、振动、电磁场 等按一定规律变化的干扰 仪器零件形状、尺寸、运 动链的间隙、摩擦、磨损 及元器件性能不稳定 多种环境因素同时变化的 综合影响
随机误差
测量 方法
测量 工具 测量 环境
测量 人员
生理特点或不良习惯造成的观测偏 差
第二节 系统误差
系统误差：系统误差是指按一定规律出现的误差； 在同一条件下，多次重复测试同一量时，误差的 数值和正负号有较明显的规律。系统误差通常在 测试之前就已经存在，而且在试验过程中，始终 偏离一个方向，在同一试验中其大小和符号相同。 例如，电压表示值的偏差等。 特征：有其对应的规律性，它不能依靠增加测量 次数来加以消除，一般可通过试验分析方法掌握 其变化规律，并按照相应规律采取补偿或修正的 方法加以消减。
含有粗大误差的测定值称为坏值，应予 以剔除。
产生粗大误差的原因：
测量者的主观原因 客观外界条件的原因
一、拉伊特准则
拉伊特准则(3σ准则)：如果测量列中 某一测定值残差vi 的绝对值大于该测量 列标准误差的3倍，那么可认为该测量列 中有粗大误差存在，且该测定值为坏值。 坏值剔除后，应重新计算新测量列的算 术平均值及标准误差，并再次进行检验 看余下的数据中是否还含有坏值。
i1
n
i
算术综合法
前提 数学表达式
n
( 1 2 ... n ) i
i1
几何综合法
应用举例：
前提 数学表达式
2 1 2 2 2 i
...
i1
n
2 i
例题3பைடு நூலகம்1
第三节 随机误差（偶然误差）
随机误差（偶然误差）：在同一条件下，对某一量多次重复 测量时，各次的大小和符号均以不可预定的规律变化的误差， 谓之随机误差或偶然误差。是具有不确定性的一类误差。
例子：消除系统误差--交换法
以等臂天平称量为例，第一次在右边称盘中放置被测物Ｘ， 左边称盘中放置砝码Ｐ，使得天平平衡，如图，这时被测 物的质量为X=PL1/L2，当两臂相等时，Ｘ＝Ｐ。如果两臂 存在微小差异，就会使测量结果中含有系统误差。为了抵 消这一系统误差，我们将被测物与砝码互换位置，则此时 天平不会平衡，改变砝码质量为Ｐ’时，使天平平衡，则 这时被测物的质量为X=P’L2/L1， 所以
对称性：绝对值相等而符号相反的
随机误差出现的概率相同，其分布
呈对称性。
抵偿性：在等精度测量条件下，当 测量次数不断增加而趋于无穷时， 全部随机误差的算术平均值趋于零。
二 标准误差和概率积分
正态分布的分布密度函数为
f
1
式中， —— 标准误差（均方根误差）；
2
e
2 2 2
第三章
Error Analysis and Data Processing
一、误差的基本概念
测量误差：是指某被测量的实测值与其真实值的差别。 偏 差：是指测量值与平均值之差。
真
值：是指在一定条件下，某个物理量的实际值。
1 误差的表示方法
绝对误差：某一量所测得的值和真值之差。 相对误差：表示某一量的测量值偏离真值的程度
i i 1
1
x n 1
1
i 1
i
x
2
x(1) x( 2 ) x( n )
为了检查测定值中是否含有粗大 误差，将xi由小到大按顺序排列为
格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量
x (n ) x x x (1)
g (n )
, g (1)
的分布，取定危险率a，可求得临界值 g0(n,a)，而 x (n ) x P g 0 n,
1系统误差的分类
按产生的原因可分为：
（1）仪器误差 它是由于测量仪器本身不完善或老化所产 生的误差。
（2）安装误差 它是由于测量仪器的安装和使用不正确而 产生的误差。 （3）环境误差 它是由于测量仪器使用环境条件与仪器使 用规定的条件不符而引起的误差。
（4方法误差 它是由于测量方法或计算方法不当所形成 的误差，或是由于测量和计算所依据的理论本身不完善等 原因而导致的误差。
拉伊特准则是判定粗大误差存在的一 种最简单的方法。
拉伊特准则是在重复测量次数n趋于
无穷大的前提下建立的，当n有限时，
尤其是当n很小时（如n≤10），此准
则就不可靠。
二、格拉布斯准则
对某一被测量进行多次等精度独立 测量，获得一列测定值x1 ，x2 ，…， xn。 n n
x
x , n
x x (1) P g 0 n,
这样，得到了判定粗大误差的格拉 布斯准则：若测量列中最大测定值或最 小测定值的残差有满足
v (i ) g 0 (n, a) (i 1或 n)
者，则可认为含有残差vi的测定值是坏 值，因此该测定值按危险率a应该剔除。
5 误差的表示方法1
绝对误差Δ
相对误差γ 引用误差γn
最大引用误差γmn
5 误差的表示方法2
绝对误差：测量值Ax与被测量真值A0之差
Δ= Ax- A0
相对误差：绝对误差Δ与真值A0之比，并用百分 数表示。 A0 引用误差：仪表某一刻度点读数的绝对误差Δ比 上仪表量程上限Am ，并用百分数表示。 Δ x100% γn= Am
X PP '
既正确值Ｘ是交换前后两次测得值的几何平均值。这时测 量结果中不再含有等臂天平不等臂引起的系统误差。（注 意：这时还存在着其它因素产生的系统误差，如砝码本身 的系统误差）。
不等臂天平系统误差的消除-交换法
L1 L2 L1 L2
P
X
X
P’
例子：消除系统误差—校正法
所谓校正值就是被测量的真值Ａ0（即标准仪表 的读数）与仪表读数Ax之差用δ表示。
例子：消除系统误差--比较法
电桥法测量电阻
由于R1,R2,R3存在误差，
使Rx测量出现误差用标准
电阻Rs代替Rx接入电桥，
在R1,R2,R3保持不变时仍
使电桥平衡此时有:
Rs=Rx
而与R1,R2,R3的误差无关；
例子：消除系统误差--正负误差补偿法
为了消除系统误差，还可以采用正负误差补偿法， 即对同一被测量反复测量两次，并使其中一次误 差为正，另一次误差为负，取其平均值，便可消 除系统误差。例如为消除外磁场对电流表读数的 影响，可在一次测量后，将电流表位置调转１８ ０°，重新测量一次，取前后两次测量结果的平 均值，可以消除外磁场带来的系统误差。
γ=
Δ
x100%
5 误差的表示方法3
最大引用误差：仪表在整个量程范围内的最大示 值的绝对误差Δm比仪表量程上限Am ，并用百分 数表示。 Δm x100% γmn= Am
6关于真值
实际上，真值是难于得到的，实际中，人们通常 用两种方法来近似确定真值，并称之为约定真值。
一种方法是采用相应的高一级精度的计量器具所复现 的被测量值来代表真值， 另一种方法是在相同条件下多次重复测量的算术平均 值来代表真值。 另外在产品检测中，某项被测量的设计指标，既标称 值视作已知真值，而测量值与标称值之差，就是产品 制作误差（注意：这里的测量值与其算术平均值之差 才是测量误差）。 理论值作为真值，如三角形内角和为1800
（5）操作误差 也称人为误差。这是由于观察者先天缺陷 或观察位置不对或操作错误而产生的误差。
在测量工作之前进行
2 消除系统误差的方法
交换抵消法 将测量中某些条件互相交换，使产生 系统误差的原因互相抵消。
替代消除法 在一定测量条件下，用一个精度较高的 已知量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指示 值保持不变。 预检法 是一种检验和发现测量仪器系统误差的常用 方法。可将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量 进行多次重复测量。
校正值在数值上等于绝对误差，但符号相反。 如果在测量之前能预先求出测量仪表的校正值， 或给出仪表校正后的校正曲线或校正表格，那么 就可以从仪表读数与校正值求得被测量的真值 即：
A0=Ax+ δ
3 系统误差的综合 代数综合法 前提 数学表达式 绝对误差： 1 2 3 ... n
σ并不是一个具体的误差，它的数值大 小只说明了在一定条件下进行一列等精 度测量时，随机误差出现的概率密度分 布情况。
在一定条件下进行等精度测量时，任何 单次测定值的误差δi可能都不等于σ， 但我们认为这列测定值具有同样的均方 根误差σ；而不同条件下进行的两列等 精度测量，一般来说具有不同的σ值。
随机误差出现的性质决定了人们不 可能正确地获得单个测定值的真误 差δi的数值，而只能在一定的概率意
义之下估计测量随机误差数值的范围， 或者求得误差出现于某个区间的概率。
三 测量结果的最佳值
最佳值
等精度测量 最小二乘法原理
运用最小二乘法原理，可以解决从一列等精度测量 的观察值中确定被测量的最佳值。 最小二乘法的基本原理是：在具有同一精度的许多 观测值中，最佳值应是能使各观测值的误差的平方 和为最小。
2 误差的相关概念
精度: 高低用误差来衡量，误差小则精
度高，误差大则精度低。
准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误
差综合的影响程度。
3引起各种误差的主要因素
方面 系统误差
依据近似的计算公式;采用近似的 测量方法;设计、工艺测量基准不 一致等
e —— 自然对数的底。
lim
n
n
i 1
1
n
2 i
二、正态分布密度函数与概率积分
对于一定的被测量，
在静态情况下，σ的大
小表征着诸测定值的弥
散程度。
σ值越小，正态分布密度曲线越尖锐，幅值越大； σ值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。 可用参数σ来表征测量的精密度，σ越小，表明测 量的精密度越高。
定义
结论：
4有限测量次数中误差的计算和各种误差的表示法。
1、标准误差
i2
i 1
n
n 1
2、算术平均值的标准误差 3、算术平均值的极限误差
（3-17） （3-19）
4、相对极限误差
最后测量结果可写成：
（3-20）
（3-21）
第四节 可疑测量数据的剔除
粗大误差是指不能用测量客观条件解释 为合理的那些突出误差，它明显地歪曲 了测量结果。
工作不细严,_致使在观测、 操作等方面造成的随意性 差错
值得强调的是，误差不是错误，测量结果包含了误差范围 恰恰是测量结果正确和科学的表达。测量结果数值要用有效 数字来表示。
4误差的分类
系统 误差
按 原 因 分 类
随机 误差
过失 误差
三类误差的关系
应当指出，上述三类误差之间在一定条件下是可以互相转 化的。对于某一具体误差，在此条件下为系统误差，而在 另一条件下可为随机误差，反之亦然。例如，按一定公称 尺寸制造一批量块，其中任一块的制造误差，对“一批” 来说是随机误差；而对其中某一块而言，它的制造误差是 固定值，在使用这个量块时，它的固定误差又属系统误差。 掌握误差转化的特点，就可将系统误差转化为随机误差， 用概率统计的方法来减小误差的影响；或将随机误差的某 些成分分离出来，作为系统误差处理，用修正方法减小其 影响，疏失误差有时亦难区别于随机误差，故常用随机误 差来处理。 引起各类误差的因素，往往是多方面的，错综复杂的。但 可归结为几个主要方面列于下表中。
随机误差
0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 -3 -2 -1
y
68.3% 0 95.5% 99.7%
1
2
3
随机误差分布的性质
有界性：在一定的测量条件下，测量 的随机误差总是在一定的、相当窄的 范围内变动，绝对值很大的误差出现 的概率接近于零。 单峰性：绝对值小的误差出现的概率 大，绝对值大的误差出现的概率小， 绝对值为零的误差出现的概率比任何 其它数值的误差出现的概率都大。
标准器具或量仪由于设计、制造、 装配、调试和使用等造成的缺点 温度、湿度、气压、振动、电磁场 等按一定规律变化的干扰 仪器零件形状、尺寸、运 动链的间隙、摩擦、磨损 及元器件性能不稳定 多种环境因素同时变化的 综合影响
随机误差
测量 方法
测量 工具 测量 环境
测量 人员
生理特点或不良习惯造成的观测偏 差
第二节 系统误差
系统误差：系统误差是指按一定规律出现的误差； 在同一条件下，多次重复测试同一量时，误差的 数值和正负号有较明显的规律。系统误差通常在 测试之前就已经存在，而且在试验过程中，始终 偏离一个方向，在同一试验中其大小和符号相同。 例如，电压表示值的偏差等。 特征：有其对应的规律性，它不能依靠增加测量 次数来加以消除，一般可通过试验分析方法掌握 其变化规律，并按照相应规律采取补偿或修正的 方法加以消减。
含有粗大误差的测定值称为坏值，应予 以剔除。
产生粗大误差的原因：
测量者的主观原因 客观外界条件的原因
一、拉伊特准则
拉伊特准则(3σ准则)：如果测量列中 某一测定值残差vi 的绝对值大于该测量 列标准误差的3倍，那么可认为该测量列 中有粗大误差存在，且该测定值为坏值。 坏值剔除后，应重新计算新测量列的算 术平均值及标准误差，并再次进行检验 看余下的数据中是否还含有坏值。
i1
n
i
算术综合法
前提 数学表达式
n
( 1 2 ... n ) i
i1
几何综合法
应用举例：
前提 数学表达式
2 1 2 2 2 i
...
i1
n
2 i
例题3பைடு நூலகம்1
第三节 随机误差（偶然误差）
随机误差（偶然误差）：在同一条件下，对某一量多次重复 测量时，各次的大小和符号均以不可预定的规律变化的误差， 谓之随机误差或偶然误差。是具有不确定性的一类误差。
例子：消除系统误差--交换法
以等臂天平称量为例，第一次在右边称盘中放置被测物Ｘ， 左边称盘中放置砝码Ｐ，使得天平平衡，如图，这时被测 物的质量为X=PL1/L2，当两臂相等时，Ｘ＝Ｐ。如果两臂 存在微小差异，就会使测量结果中含有系统误差。为了抵 消这一系统误差，我们将被测物与砝码互换位置，则此时 天平不会平衡，改变砝码质量为Ｐ’时，使天平平衡，则 这时被测物的质量为X=P’L2/L1， 所以
对称性：绝对值相等而符号相反的
随机误差出现的概率相同，其分布
呈对称性。
抵偿性：在等精度测量条件下，当 测量次数不断增加而趋于无穷时， 全部随机误差的算术平均值趋于零。
二 标准误差和概率积分
正态分布的分布密度函数为
f
1
式中， —— 标准误差（均方根误差）；
2
e
2 2 2
第三章
Error Analysis and Data Processing
一、误差的基本概念
测量误差：是指某被测量的实测值与其真实值的差别。 偏 差：是指测量值与平均值之差。
真
值：是指在一定条件下，某个物理量的实际值。
1 误差的表示方法
绝对误差：某一量所测得的值和真值之差。 相对误差：表示某一量的测量值偏离真值的程度
i i 1
1
x n 1
1
i 1
i
x
2
x(1) x( 2 ) x( n )
为了检查测定值中是否含有粗大 误差，将xi由小到大按顺序排列为
格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量
x (n ) x x x (1)
g (n )
, g (1)
的分布，取定危险率a，可求得临界值 g0(n,a)，而 x (n ) x P g 0 n,
1系统误差的分类
按产生的原因可分为：
（1）仪器误差 它是由于测量仪器本身不完善或老化所产 生的误差。
（2）安装误差 它是由于测量仪器的安装和使用不正确而 产生的误差。 （3）环境误差 它是由于测量仪器使用环境条件与仪器使 用规定的条件不符而引起的误差。
（4方法误差 它是由于测量方法或计算方法不当所形成 的误差，或是由于测量和计算所依据的理论本身不完善等 原因而导致的误差。
拉伊特准则是判定粗大误差存在的一 种最简单的方法。
拉伊特准则是在重复测量次数n趋于
无穷大的前提下建立的，当n有限时，
尤其是当n很小时（如n≤10），此准
则就不可靠。
二、格拉布斯准则
对某一被测量进行多次等精度独立 测量，获得一列测定值x1 ，x2 ，…， xn。 n n
x
x , n
x x (1) P g 0 n,
这样，得到了判定粗大误差的格拉 布斯准则：若测量列中最大测定值或最 小测定值的残差有满足
v (i ) g 0 (n, a) (i 1或 n)
者，则可认为含有残差vi的测定值是坏 值，因此该测定值按危险率a应该剔除。
5 误差的表示方法1
绝对误差Δ
相对误差γ 引用误差γn
最大引用误差γmn
5 误差的表示方法2
绝对误差：测量值Ax与被测量真值A0之差
Δ= Ax- A0
相对误差：绝对误差Δ与真值A0之比，并用百分 数表示。 A0 引用误差：仪表某一刻度点读数的绝对误差Δ比 上仪表量程上限Am ，并用百分数表示。 Δ x100% γn= Am
X PP '
既正确值Ｘ是交换前后两次测得值的几何平均值。这时测 量结果中不再含有等臂天平不等臂引起的系统误差。（注 意：这时还存在着其它因素产生的系统误差，如砝码本身 的系统误差）。
不等臂天平系统误差的消除-交换法
L1 L2 L1 L2
P
X
X
P’
例子：消除系统误差—校正法
所谓校正值就是被测量的真值Ａ0（即标准仪表 的读数）与仪表读数Ax之差用δ表示。
例子：消除系统误差--比较法
电桥法测量电阻
由于R1,R2,R3存在误差，
使Rx测量出现误差用标准
电阻Rs代替Rx接入电桥，
在R1,R2,R3保持不变时仍
使电桥平衡此时有:
Rs=Rx
而与R1,R2,R3的误差无关；
例子：消除系统误差--正负误差补偿法
为了消除系统误差，还可以采用正负误差补偿法， 即对同一被测量反复测量两次，并使其中一次误 差为正，另一次误差为负，取其平均值，便可消 除系统误差。例如为消除外磁场对电流表读数的 影响，可在一次测量后，将电流表位置调转１８ ０°，重新测量一次，取前后两次测量结果的平 均值，可以消除外磁场带来的系统误差。
γ=
Δ
x100%
5 误差的表示方法3
最大引用误差：仪表在整个量程范围内的最大示 值的绝对误差Δm比仪表量程上限Am ，并用百分 数表示。 Δm x100% γmn= Am
6关于真值
实际上，真值是难于得到的，实际中，人们通常 用两种方法来近似确定真值，并称之为约定真值。
一种方法是采用相应的高一级精度的计量器具所复现 的被测量值来代表真值， 另一种方法是在相同条件下多次重复测量的算术平均 值来代表真值。 另外在产品检测中，某项被测量的设计指标，既标称 值视作已知真值，而测量值与标称值之差，就是产品 制作误差（注意：这里的测量值与其算术平均值之差 才是测量误差）。 理论值作为真值，如三角形内角和为1800
（5）操作误差 也称人为误差。这是由于观察者先天缺陷 或观察位置不对或操作错误而产生的误差。
在测量工作之前进行
2 消除系统误差的方法
交换抵消法 将测量中某些条件互相交换，使产生 系统误差的原因互相抵消。
替代消除法 在一定测量条件下，用一个精度较高的 已知量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指示 值保持不变。 预检法 是一种检验和发现测量仪器系统误差的常用 方法。可将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量 进行多次重复测量。
校正值在数值上等于绝对误差，但符号相反。 如果在测量之前能预先求出测量仪表的校正值， 或给出仪表校正后的校正曲线或校正表格，那么 就可以从仪表读数与校正值求得被测量的真值 即：
A0=Ax+ δ
3 系统误差的综合 代数综合法 前提 数学表达式 绝对误差： 1 2 3 ... n
σ并不是一个具体的误差，它的数值大 小只说明了在一定条件下进行一列等精 度测量时，随机误差出现的概率密度分 布情况。
在一定条件下进行等精度测量时，任何 单次测定值的误差δi可能都不等于σ， 但我们认为这列测定值具有同样的均方 根误差σ；而不同条件下进行的两列等 精度测量，一般来说具有不同的σ值。
随机误差出现的性质决定了人们不 可能正确地获得单个测定值的真误 差δi的数值，而只能在一定的概率意
义之下估计测量随机误差数值的范围， 或者求得误差出现于某个区间的概率。
三 测量结果的最佳值
最佳值
等精度测量 最小二乘法原理
运用最小二乘法原理，可以解决从一列等精度测量 的观察值中确定被测量的最佳值。 最小二乘法的基本原理是：在具有同一精度的许多 观测值中，最佳值应是能使各观测值的误差的平方 和为最小。
2 误差的相关概念
精度: 高低用误差来衡量，误差小则精
度高，误差大则精度低。
准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误
差综合的影响程度。
3引起各种误差的主要因素
方面 系统误差
依据近似的计算公式;采用近似的 测量方法;设计、工艺测量基准不 一致等
e —— 自然对数的底。
lim
n
n
i 1
1
n
2 i
二、正态分布密度函数与概率积分
对于一定的被测量，
在静态情况下，σ的大
小表征着诸测定值的弥
散程度。
σ值越小，正态分布密度曲线越尖锐，幅值越大； σ值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。 可用参数σ来表征测量的精密度，σ越小，表明测 量的精密度越高。
定义
结论：
4有限测量次数中误差的计算和各种误差的表示法。
1、标准误差
i2
i 1
n
n 1
2、算术平均值的标准误差 3、算术平均值的极限误差
（3-17） （3-19）
4、相对极限误差
最后测量结果可写成：
（3-20）
（3-21）
第四节 可疑测量数据的剔除
粗大误差是指不能用测量客观条件解释 为合理的那些突出误差，它明显地歪曲 了测量结果。
工作不细严,_致使在观测、 操作等方面造成的随意性 差错
值得强调的是，误差不是错误，测量结果包含了误差范围 恰恰是测量结果正确和科学的表达。测量结果数值要用有效 数字来表示。
4误差的分类
系统 误差
按 原 因 分 类
随机 误差
过失 误差
三类误差的关系
应当指出，上述三类误差之间在一定条件下是可以互相转 化的。对于某一具体误差，在此条件下为系统误差，而在 另一条件下可为随机误差，反之亦然。例如，按一定公称 尺寸制造一批量块，其中任一块的制造误差，对“一批” 来说是随机误差；而对其中某一块而言，它的制造误差是 固定值，在使用这个量块时，它的固定误差又属系统误差。 掌握误差转化的特点，就可将系统误差转化为随机误差， 用概率统计的方法来减小误差的影响；或将随机误差的某 些成分分离出来，作为系统误差处理，用修正方法减小其 影响，疏失误差有时亦难区别于随机误差，故常用随机误 差来处理。 引起各类误差的因素，往往是多方面的，错综复杂的。但 可归结为几个主要方面列于下表中。