数列经典例题1(含答案)

错误！未指定书签。例1．已知首项为32

的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ) 设*()1n n n

T S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.

例2错误！未指定书签。．在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.

(1)求n a d ,; (2)若0

设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记c

n nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数. (1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈);

(2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .

证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和

∴d n n na S n 2

)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 2

1-+== ∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)2

3()21(2d a a d a +=+

∴041212=-d ad ∴0)2

1(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222=

∴左边=右边∴原式成立

(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入c n nS b n n +=2得: 11)1(d n b -+c

n nS n +=

2 ∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0

0210211

11111b d c cd d a d b d d 由①式得:d d 2

11= ∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c

法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,2

2)1(a d n b n +-=. 当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =, 即:⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=. 由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=.

故:k nk S n S 2

=(*,N n k ∈).

(2)c

n a

d n n c n nS b n n ++-=+=22

222)1(, c

n a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( c n a d n c a d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型.

观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

故有:022)1(2=++-c

n a

d n c

,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c . 经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.