二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
二倍角的正弦,余弦,正切公式
复习
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan 1 tan 2 , tan 2
2、已知等腰三角形一个 底角的正弦值 5 为 , 求这个三角形的顶角的 正弦 , 余弦, 13 正切值.
3、化简 :
1 cos 50
0
0 2 0
sin 70 1 cos 160
.
小结
本节我们学习二倍角的正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
作业
课本135页练习
1 例2已知 tan 2 , 求tan的值 3
2 tan 1 解： 2 tan 2 1 tan 3
由此得： tan 6tan 1 0
2
解得： tan 2 5
或 tan 2 5
练习
2(sin 2 1 ) 1、求证 : 1 tan . 1 sin 2 cos 2
我们由此能否得到
的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中
看成
即可），
S 2 :
sin 2 2 sin cos
C 2 :
cos 2 cos sin
2 2
2 cos 2 1 1 2 sin 2
T2 :
2 tan tan 2 2 1 tan
举例
5 例1 已知 sin 2 , , 求 sin 13 4 2 4 , cos 4 , tan 4 .
4
解：由 又因为 于是
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
二倍角的正弦、余弦、正切公式1
例8 求 ：
1 cos (1) sin ; 2 2 1 cos 2 (3) tan . 2 1 cos
2
1 cos (2) cos ; 2 2
2
这三式有一个共同特点： 用单角的三角函数表示它们的一半即半角的 三角函数 。 若知道cosα的值和 角的终边所在的象限， 2 将右边开方，就可以求得 sin , cos 和 tan . 2 2 2
5 例7. 已知sin( ) , 且0 , 4 13 4 求3 sin 2 4 sin cos cos 2 的值。 2 2 解： 3 sin 4 sin cos cos 1 cos 2 1 cos 2 3 2 sin 2 2 2 2 cos 2 2 sin 2 119 2 sin2 cos( 2 ) 1 2 sin ( ) , 2 4 169 120 0 , 0 2 , cos 2 , 4 2 169 3 sin 2 4 sin cos cos 2 120 119 20 2 2 . 169 169 169
2 sin 2 cos 2 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 2 cos 2 2 2 sin 2 (cos 2 sin 2 ) 2 cos 2 (sin 2 cos 2 )
2
＝tan2θ ＝右边 ∴ ①式成立. 即：原式成立。
2. 降幂公式 由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得： 1 cos 2 1 cos 2 2 2 cos , sin . 2 2 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即 用此式可达到“降次”的目的). 例6. 求值：cos215°+sin250°–cos175°· cos95° 1 cos 30 1 cos 100 解:原式＝ – cos5°sin5° 2 2 1 1 1 1 cos 30 sin 10 sin 10 2 2 2 3 1 . 4
2倍角万能公式
2倍角万能公式一、二倍角公式。
1. 正弦二倍角公式。
- sin2α = 2sinαcosα- 推导：根据两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B，令A = B=α，则sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα = 2sinαcosα。
2. 余弦二倍角公式。
- cos2α=cos^2α - sin^2α- 推导：根据两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，令A = B=α，则cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α。
- 另外，由于sin^2α+cos^2α = 1，所以cos2α = 2cos^2α - 1=1 - 2sin^2α。
3. 正切二倍角公式。
- tan2α=(2tanα)/(1-tan^2)α- 推导：根据正切公式tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1 - tan Atan B)，令A =B=α，则tan2α=tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1-tanαtanα)=(2tanα)/(1-tan^2)α。
二、万能公式（与二倍角公式相关）1. 正弦万能公式。
- 设tan(α)/(2)=t，则sinα=(2t)/(1 + t^2)。
- 推导：- 因为sinα = 2sin(α)/(2)cos(α)/(2)，又sin^2(α)/(2)+cos^2(α)/(2)=1，tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)} = t，即sin(α)/(2)=(t)/(√(1 + t^2))，cos(α)/(2)=(1)/(√(1 + t^2))。
- 所以sinα=2sin(α)/(2)cos(α)/(2)=2×(t)/(√(1 + t^2))×(1)/(√(1 + t^2))=(2t)/(1 + t^2)。
二倍角的正弦余弦正切公式
正切二倍角公式是三角函数中一个重要的公式，用于将一个角的正切函数值转化为两个相同或相反角之间的正 切函数值。这个公式基于tan(α + π/4)的展开式，通过化简得到。在实际应用中，可以用于求解角度、计算斜 率以及解决各种实际问题。
02
二倍角公式的证明
基于正弦函数的二倍角公式证明
总结词
利用正弦函数的和差化积公式证明
基于正切函数的二倍角公式证明
总结词
利用正切函数的定义证明
详细描述
根据正切函数的定义，我们知道tan(a+b)=(sina+b)/(cosa+b)，令a=b，则 有tan(2a)=2tan/1-tan^2，即tan2a=2tan/1-tan^2。
03
二倍角公式的应用
在三角函数计算中的应用
三角函数的加减运算
二倍角公式可以用于简化三角函数的加减运算，例如sin(2A) = 2sin(A)cos(A)， cos(2A) = cos²(A) - sin²(A)。
三角函数的求值
二倍角公式可以用于求三角函数的具体数值，例如sin(45°) = √2/2，cos(60°) = 1/2。
在解三角形中的应用
解直角三角形
多倍角公式的推广
要点一
总结词
多倍角公式是二倍角公式的推广，可以视为将一个角度 分成多个相等的部分，每个部分都是原角度的1/n。其 证明方法与二倍角公式类似，通过三角恒等式进行证明 。
要点二
详细描述
多倍角公式是将一个角度分成多个相等的部分，每个部 分都是原角度的1/n。例如，sin(nA) = sin[(n-1)A + A] = sin[(n-1)A]cosA + cos[(n-1)A]sinA = nsinA (n-1)sin^2 A。类似地，我们可以通过三角恒等式证明 多倍角公式的正确性。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
自主探究： 自主探究：
3 3.已 3.已知cosα = ,则cos2α = 5
7 − 25
3 α 4 4.已 4.已知sin = ,cos = − , 则角α是( 2 5 2 5 A.第一象限角 B.第二象限角 C .第三象限角 D.第四象限角
二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、
复习： 复习：
两角和、差的余弦公式： 两角和、差的余弦公式：
cos(α + β ) = cosα cos β − sinα sin β
cos(α − β ) = cosα cos β + sinα sin β
记忆口诀：“余余正正，符号相反” 记忆口诀： 余余正正，符号相反”
α
D
)
交流展示： 交流展示：
1.填空：
(1)sin15 cos15 =
tan 22.5 (3) = 2 o 1 − tan 22.5
o
o
o
π 2π (2)cos --sin = 8 8
2
(4)2cos2 22.5o --1=
5π 5π 5π 5π (5)(sin +cos )(sin --cos )= 12 12 12 12
共同探究： 共同探究：
1 13 2.已 2.已知 cos α = ,cos(α − β ) = ， 7 14 且0 < β < α < （2）求β .
π
2 （1）求 tan 2α的值；
课堂小结： 课堂小结： 二倍角的正弦、余弦、正切公式： 二倍角的正弦、余弦、正切公式：
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
二倍角的正弦、余弦和正切公式（基础）
第19讲：二倍角的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式.但不要求记忆)，能灵活地将公式变形并运用.3.通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sin a-cos a{S2a)cos2a=cos2a—sin2a(C.a)=2cos:a-1=1—2sin2atan la=2tancz 1-tan2a要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式S2o.C2a中，角a可以为任意角，但公式中，只有当a^—+k7r及。
=兰+压(LeZ)时才成立；242⑵倍角公式不仅限于2。
是。
的二倍形式，其它如S是2。
的二倍、号是f的二倍、3〃是半的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：sina=2sii^cos^；a.a a {s,n顶=2sm豆rcos—(〃 e Z)2.和角成式、而角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式中，当a=P时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下:相以-B 代B以-8代BS a-pCa-B相除要点二：二倍角公式的逆用及变形1.公式的逆用2sinczcos = sin 2a : sin 。
cost? = — sin 2a .2cos 2 a 一 sin 2 a = 2 cos 2 a-\ = 1 -2sin : a = cos la .2 tan a ,--------=tan 2<z .1 - tan* a2.公式的变形l±sin 2q = (sin a+cosay :钉八十 2 1 + cos 2a . 2 1-cos 2a 降驿公式：cos a =---------.sin a =--------升慕公式：1 + cos 2a = 2cos 2 q .1-cos 2g = 2sin : a要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1. 对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、 配方、凑项、添项、换元等；2. 掌握“角的演变"规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2
2012-12-1
sin A 3 5 3 得 A tan cos A 5 4 4
3 2 2 tan A 4 24 tan 2A 2 2 1 tan A 7 3 1 4
2 tan B 2 2 4 tan 2B 2 2 1 tan B 1 2 3
13 2 cos 1 sin
2
5 1 ( ) 13
2
12 . 13
于是 5 12 120 sin 2 2 sin cos 2 ( ) 13 13 169 5 2 119 cos 2 1 2 sin 2 1 2 ( ) 13 169 sin 2 120 169 120 t an 2 cos 2 169 119 119
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
k k k
2 2
2
( T(+) ) ( T(-) )
2012-12-1
tan A tan B 11 tan A B 1 tan A tan B 2
2 tan A B 44 tan 2 A 2B 2 1 tan A B 117
2012-12-1
二倍角的正弦、 余弦 、正切
sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2 2 cos 1 2 1 2 sin 2 tan tan 2 1 tan
2012-12-1
sin2+cos2=1
sin2=1-cos2
正弦、余弦、正切的二倍角公式
的二倍角; 2
公式巩固训练
（1）sin = 2sin(
（2）cos 6 = cos2(
)cos( ); 1
)-si3n2(
2
) 3
= 2cos2( )-1 3
= 1-2sin2( ); 3
(3) sin( )
2 sin
c os
.
4
8
8
二倍角公式(正用)
sin2α 2sinαcosα
cos2α cos2α sin2α
24 24 12
12 12
62
练习2 化简：
1 (sin 5 cos 5 )(sin 5 cos 5 )
12
12
12
12
原式＝sin 2 5 cos2 5 cos 5 3
2 cos4 sin 4 12
12
62
22Βιβλιοθήκη 原式＝ ( cos 2sin
2
)(cos 2
sin 2
tan2α
2tanα 1 tan2α
根据公式口答下列各题：
(1)2sin15 cos15
(2)cos2π sin2π
6
6
(3)
1
2tan30 tan230
11
22 3
二倍角公式(逆用)
1、sin150 cos150
2、sin 2 cos2
8
8
3、 1
tan 22.5 tan2 22.5
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
问题一
利用 sin(+) cos(+)
tan( )
推出 sin2 cos2 tan2的公式吗？
三角函数中两倍角公式
三角函数中两倍角公式
三角函数中两倍角公式是三角函数中的一个基本公式，用于计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。
这些公式在三角函数的计算、化简和证明中都有广泛的应用。
两倍角公式包括正弦、余弦和正切三个部分，具体如下：
1.正弦的两倍角公式：
sin2α=2sinαcosα
这个公式表示一个角的两倍的正弦值等于这个角的正弦值乘以余弦值的两倍。
2.余弦的两倍角公式：
cos2α=cos2α−sin2α
或者等价地，
cos2α=2cos2α−1
cos2α=1−2sin2α
这个公式表示一个角的两倍的余弦值等于这个角的余弦值的平方减去正弦值的平方，或者等于2乘以余弦值的平方减去1，或者等于1减去2乘以正弦值的平方。
3.正切的两倍角公式：
tan2α=1−tan2α2tanα
这个公式表示一个角的两倍的正切值等于这个角的正切值的两倍除以1减去正切值的平方。
这些公式可以通过三角函数的定义、和差公式以及三角恒等式推导出来。
在实际应用中，它们可以用来简化复杂的三角函数表达式，或者用于求解涉及两倍角的三角函数问题。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
正弦、余弦、正切的二倍角公式
详细描述
为了证明正弦的二倍角公式，我们可以利用三角函数的和差化积公式。首先，将sin2A 表示为sin(A+A)，然后利用和差化积公式展开，得到2sinAcosA的结果。通过比较两
侧的表达式，我们可以证明正弦的二倍角公式sin2A=2sinAcosA是成立的。
02
余弦的二倍角公式
详细描述
正切的半角公式是将角度减半后，利用二倍 角公式计算正切值。具体公式为：tan(α/2)
= ±√[(1-cosα)/(1+cosα)] 或 tan(α/2) = ±√[(1+cosα)/(1-cosα)]。
感谢您的观看
THANKS
03
正切的二倍角公式
公式推导
01 02
公式推导
利用三角函数的和差公式，将正切的二倍角公式推导出来。通过将正切 函数表示为余弦函数和正弦函数之比，利用三角函数的和差公式，推导 出正切的二倍角公式。
公式形式
正切的二倍角公式为tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan^2(α))。
03
推导过程
公式应用
总结词
列举几个常见的应用场景，说明余弦的二倍角公式的实际意义。
详细描述
余弦的二倍角公式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在求解三角形角度、 计算向量夹角、解决物理问题等场景中都会用到。通过余弦的二倍角公式，可以 方便地计算出二倍角的余弦值，进而得到其他三角函数值或角度值。
公式证明
要点一
总结词
给出余弦的二倍角公式的证明过程，展示公式的正确性和 可靠性。
要点二
详细描述
余弦的二倍角公式的证明过程可以通过三角函数的和差化积 公式进行推导。具体来说，利用三角函数的和差化积公式， 令$A = alpha$，$B = alpha$，可以得到$cos 2alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha$。进一步利用三角函数的基本 恒等式$cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1$，可以证明余弦 的二倍角公式的正确性。
二倍角的正弦余弦正切课件
利用直角三角形中的边角关系，证明二倍角正切公式的正确 性。
二倍角正切公式的应用
解决二倍角问题的求解，例如求解三角形中的角度问题。 在三角函数的应用中，利用二倍角正切公式进行信号处理、振动分析等应用。
举例说明二倍角正切公式的应用
以求解三角形角度为例，说明如何使用二倍角正切公式进 行求解。
通过具体例子，展示二倍角正切公式在三角函数应用中的 重要性。
05
特殊角的二倍角公式及应 用
特殊角的二倍角公式推导
推导方法一
利用三角函数的基本恒等式进 行推导。
推导方法二
利用三角函数的和差恒等式进 行推导。
推导方法三
利用三角函数的倍角公式进行 推导。
特殊角的二倍角公式应用
应用一
求解一个具体角度的正弦、余弦、正切值。
应用二
用于三角函数的化简和求值。
应用三
用于证明一些三角恒等式。
解三角形问题的应用示例
已知三角形面积为1/2，一边边长为1，求另一边边长的 问题中，可以使用二倍角正弦公式求出该边的正弦值， 进而求出该边的长度
利用二倍角正弦公式将正弦函数的图像进行二倍角变换 ，得到周期为原来一半的图像
已知三角形的一个角为30度，其对边边长为1，求另两 边边长的问题中，可以使用二倍角正弦公式求出另一角 的正弦值，进而求出另一边边长
二倍角的正弦余弦正切课件
2023-11-06
目录
• 二倍角公式概述 • 二倍角正弦公式及应用 • 二倍角余弦公式及应用 • 二倍角正切公式及应用 • 特殊角的二倍角公式及应用 • 二倍角公式总结及记忆方法建议Leabharlann 01二倍角公式概述
二倍角公式的定义
二倍角公式是三角函数中非常重要的公式之 一，它描述了角经过二倍伸缩后，其正弦、 余弦和正切值与原来角的关系。具体地，对 于任意角α，二倍角公式可以表示为： sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α ，tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)。
知识讲解_二倍角的正弦、余弦、正切公式_基础
二倍角的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos2sin2sin ααα=；11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用2sin cos sin 2ααα=；1sin cos sin 22ααα=．2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=． 22tan tan 21tan ααα=-．2．公式的变形21sin 2(sin cos )ααα±=±；降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 升幂公式：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式：（1）4sincos22αα；（2）22sincos 88ππ-；（3）2tan 37.51tan 37.5︒-︒．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）2sin α（2）2-（3 【解析】 （1）4sincos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=．（2）2222sin cos cos sin cos 88884πππππ⎛⎫-=--=-= ⎪⎝⎭（3）22tan 37.512sin 37.51tan 751tan 37.521tan 37.52︒︒=⋅=︒=-︒-︒．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：【变式1】求值：（1）cossincos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-．【答案】（1（2）2；（3）【解析】（1）原式=22cossin cos12126πππ-==；（2）原式=cos(2)cos84ππ⨯==； （3）原式=3tan150tan(18030)tan 303=-=-=-． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin 2sin 2cos ααα=，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin ααα=进行化简．【答案】116【解析】方法一： sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒．∴1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=方法二：原式1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin 0α≠，则11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=．举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°． 【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin 80cos804sin 208sin 20︒︒︒︒︒==︒︒sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒． 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例3．化简下列各式： (1)4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθ【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）tan θ（2）sin 2cos 2-【解析】(1).tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++(2)4sin 1-.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+⋅-=【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：αααα22sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+．经常起到消除式子中1的作用．②由于2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而，可进行无理式的化简和运算．例4．（2015秋 安徽阜阳期末）已知02πα<<，且3sin 5α=（1）求22sin sin 2cos 2ααα+的值；（2）求5tan()4απ+的值． 【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos α，tan α，然后通过二倍角公式转化22sin sin 2cos 2ααα+，分子分母同除cos2α，代入tan α，即可求出值．（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan α的值求解即可． 【答案】（1）6；（2）7【解析】（1）由3sin 5α=又02πα<<，∴4cos 5α=，3tan 4α= ∴22222sin sin 22sin 2sin cos cos 2cos sin αααααααα++⋅=-322sin 2tan 463cos sin 1tan 1()4ααααα⨯====--- （2）53tan tan 15tan 144tan()75341tan 1tan tan 144απααπααπ++++====--⋅-举一反三：【变式1】（1的化简结果是 ．（2）已知3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，则2sin 2cos αα 的值为 ．【答案】（1）sin 3cos3-（2）32-【解析】（1）原式=|sin3cos3|- =sin 3cos3- （2）因为3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，所以4cos 5α=-，原式=22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】 例5．求值： （1）已知3sin()1225πθ-=，求cos()6πθ-． （2）已知sin()4m πα+=，求sin 2α．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解． 【答案】（1）725（2）221m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=91225-⨯=725（2）sin 2cos(2)2παα=-+=212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=221m -【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧． 举一反三：【变式1】 已知1sin cos 3αα+=，且0απ<<，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．【答案】89-9- 【解析】由1sin cos 3αα+=，得21(sin cos )9αα+=， 即112sin cos 9αα+=，∴8sin 22sin cos 9ααα==-由1sin cos 3αα+=，得1cos sin 3αα=-，∴221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．即22121sin sin sin 93ααα-=-+． 整理得29sin 3sin 40αα--=．解得sin α=或sin α=（舍去）．∴221cos 212sin 1269αα⎛+=-=-⨯=- ⎝⎭．∴sin 2tan 2cos 217ααα==．【总结升华】解题过程中注意角α的范围的判定．【变式2】（2016 天津红桥区模拟）已知α是第二象限角，且sin 4α=，（1）求cos2α的值； （2）求sin()6πα+的值．【答案】（1）78-；（2【解析】（1）因为α是第二象限角，sin α=， 所以，2157cos 212sin 12168αα=-=-⨯=-．（2）又α是第二象限角，故1cos 4α=-．所以11sin()()642πα+=+-=． 类型五：二倍角公式的综合应用【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】例6．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()A x k ωϕ++的形式．【答案】（1）2 |,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）单增区间 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 单减区间 5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）原式=1sin 2cos 21x x +++ =sin 2cos 22x x ++)24x π++则当22,42x k πππ+=+即|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时，max ()2f x =（2）f (x )的单调递增区间为：222242k x k πππππ-≤+≤+，则3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦f (x )的单调递减区间为：3222242k x k πππππ+≤+≤+，则5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及sin()y A x ωϕ=+的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（2）扩角降幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 例7．已知向量(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，求函数()f x =⋅a b ． （1）求()f x 的最大值及相应的x 值； （2）若8()5f θ=，求cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（11 3()8x k k Z ππ=+∈（2）1625【解析】（1）因为(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭．因此，当2242x k πππ-=+，即3()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 1．（2）由()1sin 2cos2f θθθ=--及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【变式1】（2015秋 朝阳区期中）已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =+． （1）求f （x ）的最小正周期； （2）求f （x ）的单调递减区间． 【答案】（1）2π；（2）4[2,2]33k k ππππ++，k ∈Z ．【解析】（1）由已知可得：()cos 12sin()16f x x x x π=++=++．所以f （x ）的最小正周期为2π． （2）由322262k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 得42233k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．因此函数f （x ）的单调递减区间为4[2,2]33k k ππππ++，k ∈Z ．【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），1)=-n ，m ·n =1，且A 为锐角．（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【答案】（1）3π（2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意，得cos 1m n A A ⋅=-=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由A 为锐角得66A ππ-=，3A π=．（2）由（1）知1cos 2A =，所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．因此，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32，当sin x=－1时，()f x 有最小值－3，所以所求函数()f x 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
S 2α
C 2α
应用
T2α
2.体会换元的思想 体会换元的思想
作业：课本138页 、 题 作业：课本 页15、16题
2
π
8 8 2tan 22.5° = tan 45° = 1 (4) 1 − tan2 22.5° 1 ° ° 1 ° ° (5)sin 22.5 cos 22.5 = • 2sin 22.5 cos 22.5 = 2 sin 45° =
2
− sin
2
π
2 π 2 = cos = 4 2
2 4
三、例题讲解
4 ,0 < A < π , 得 5
解： 在△ABC中， cos A = 中 由
sin A = 1 − cos 2
所以 又
sin A 3 5 3 tan A = = × = , cos A 5 4 4
tanB=2
3 4 A = 1− = 5 3 5 2× 2 tan A 4 = 24 tan 2 A = = 2 1 − tan 2 A 7 3 1− 4
的公式吗？ 的公式吗？
分析： 代入上述三式得： 分析：令 β =α ，代入上述三式得：
倍角公式
S2α
sin 2α =2 sin α ⋅ cos α
2 tanα tan2α = 1− 1 − tan2 α
C2α cos2α = cos2 α − sin2 α =1-2sin 2 α =2 cos 2 α -1
例2
4 在∆ABC中， A= ， B=2，求 tan A+2B）的值. cos tan （2 5
tan 2A+ tan 2B tan(2A+ 2B) = 1− tan 2A⋅ tan 2B
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二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos2sin2sin ααα=；11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用2sin cos sin 2ααα=；1sin cos sin 22ααα=．2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=． 22tan tan 21tan ααα=-． 2．公式的变形21sin 2(sin cos )ααα±=±；降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==升幂公式：221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式：（1）4sincos22αα；（2）22sincos 88ππ-；（3）2tan 37.51tan 37.5︒-︒． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）2sin α（2）3 【解析】 （1）4sincos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=．（2）2222sin cos cos sin cos 888842πππππ⎛⎫-=--=-=-⎪⎝⎭．（3）22tan 37.512sin 37.512tan 751tan 37.521tan 37.522︒︒+=⋅=︒=-︒-︒． 【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：【变式1】求值：（1）cossincos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-．【答案】（1）2；（2）2；（3）【解析】（1）原式=22cossin cos121262πππ-==；（2）原式=cos(2)cos842ππ⨯==； （3）原式=3tan150tan(18030)tan 303=-=-=-． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin 2sin 2cos ααα=，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin ααα=进行化简．【答案】116【解析】方法一： sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒． ∴1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=方法二：原式1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin 0α≠，则11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=．举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°． 【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin80cos804sin 208sin 20︒︒︒︒︒==︒︒ sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒． 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例3．化简下列各式： (1)4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθ【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）tan θ（2）sin 2cos2-【解析】(1).tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++ (2)4sin 1-.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+⋅-=【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：αααα22sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+．经常起到消除式子中1的作用．②由于2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而，可进行无理式的化简和运算．例4．化简：222cos 12tan sin 44αππαα-⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】 原式2cos 22sin 4cos 4cos 4απαπαπα=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 2cos 22sin cos sin 2442ααπππααα==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 21cos 2αα==．【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．举一反三： 【变式1】（1的化简结果是 ．（2）已知3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，则2sin 2cos αα 的值为 ．【答案】（1）sin3cos3-（2）32-【解析】（1）原式=|sin3cos3|- =sin3cos3- （2）因为3sin 5α=，且α∈(2π ，π)，所以4cos 5α=-，原式=22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-． 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用 例5．求值： （1）已知3sin()1225πθ-=，求cos()6πθ-． （2）已知sin()4m πα+=，求sin2α．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）725（2）221m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ =91225-⨯ =725（2）sin 2cos(2)2παα=-+=212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=221m -【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧． 举一反三：【变式1】 已知1sin cos 3αα+=，且0απ<<，求sin 2α，cos2α，tan 2α的值．【答案】89- 【解析】由1sin cos 3αα+=，得21(sin cos )9αα+=，即112sin cos 9αα+=，∴8sin 22sin cos 9ααα==- 由1sin cos 3αα+=，得1cos sin 3αα=-，∴221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭．即22121sin sin sin 93ααα-=-+． 整理得29sin3sin 40αα--=．解得1sin 6α+=或1sin 6α=（舍去）．∴22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭．∴sin 2tan 2cos 2ααα==．【总结升华】解题过程中注意角α的范围的判定．【变式2】已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．【解析】 （1）tantan 1tan 14tan 41tan 21tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得1tan 3α=-．（2）222sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 212cos 12cos αααααααααα---==++-1115tan 2326α=-=--=-． 【总结升华】 第（1）问中利用了方程的思想求tan α的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan α的式子求解，或者通过消元转化的方法求解． 类型五：二倍角公式的综合应用例6．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求： （1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()A x k ωϕ++的形式．【答案】（12 |,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）单增区间 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 单减区间 5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）原式=1sin 2cos21x x +++ =sin 2cos22x x ++)24x π++则当22,42x k πππ+=+即|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭时，max ()2f x =（2）f (x )的单调递增区间为：222242k x k πππππ-≤+≤+，则3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦f (x )的单调递减区间为：3222242k x k πππππ+≤+≤+，则 5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及sin()y A x ωϕ=+的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（2）扩角降幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 例7． 已知向量(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，求函数()f x =⋅a b ．（1）求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）若8()5f θ=，求cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（11 3()8x k k Z ππ=+∈（2）1625【解析】 （1）因为(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，所以22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭．因此，当2242x k πππ-=+，即3()8x k k Z ππ=+∈时，()f x1．（2）由()1sin 2cos 2f θθθ=--及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=，两边平方得91sin 425θ-=，即16sin 425θ=．因此，16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．举一反三：【变式1】已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2π，52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈（Ⅱ）12- 【解析】（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x x f x +=+- 111sin cos 222x x =+-1sin().242x π=+-所以函数()f x 的最小正周期为2π.由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+.函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . (Ⅱ)由342x ππ≤≤，得7244x πππ≤+≤.则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值12-.【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），1)=-n ，m ·n =1，且A 为锐角． （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．【答案】（1）3π（2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题意，得cos 1m n A A ⋅=-=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由A 为锐角得66A ππ-=，3A π=．（2）由（1）知1cos 2A =，所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．因此，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32，当sin x=－1时，()f x 有最小值－3，所以所求函数()f x 的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。