导数在数列中的应用

导数在数列中的应用
摘 要：导数是解决函数问题的有力工具，更为数学解题注入了新的活力。

由于数列可看做特殊的函数，所以自然可联想尝试应用导数知识解决数列问题。

一．导数的概念
1、定义：0'0000
()()()()
()lim
lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-
左导数：0'00
00()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x -
---∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'00
00
()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x +
+++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆-
'''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==
可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件
连续是可导的必要条件
导函数：'00()()
()lim lim
x x y f x x f x f x y x x
∆→∆→∆+∆-===∆∆ 二．导数在数列问题中的应用
1.利用导数确定数列的最大或最小项
例1 已知数列{n a }的通项n a =328x x -,n ∈N+,求数列{n a }的最大项 解：构造辅助函数f(x )=328x x -(x>0),则()x f '=16x-23x 显然，当
0<x<
316时，()x f '>0,当x>316时，'f (x )<0,故f(x)在区间（0,3
16
）上是增函数，在区间（316,+∞）上是减函数，所以当x=3
16
时，函数取最大值。

对于n ∈N+,f(n )=328n n -,f(5)=75,f(6)=72,所以f(n)的最大值是75，即数列{n a }的最大项为5a =75. 2.利用导数研究数列的增减性
例2 设定以在R 上的函数f(x )与数列{n a }满足：1a >a,其中a 是方程f(x )=x
的实数根，()n n a f a =+1,f(x )可导，且()x f '∈（0,1）.
（1） 证明：n a >a,(1)判定n a 与1+n a 的大小关系，并证明 证明（1）由已知1a >a,即n=1时，n a >a 成立. (2)设n=k 时 k a >a
因为'f (x )>0，所以f(x )是增函数，所以1+k a =f(k a )>f(a) 又由题设可知 f(a)=a ，所以k k a a >+1 即n=k+1时，命题成立. 由（1）（2）知 n ∈N+时，n a >a 成立.
(2) 要比较 n a ,1+n a 的大小，即比较n a 和f(n a )的大小，构造辅助函数g(x )=x-f(x )，则'g (x)=1-'f (x)>0,故g(x )是增函数，所以当n a >a 时，g （n a ）>g(a)，又因为g(a)=a-f(a)=0,g(n a )=()n n a f a -，所以()n n a f a ->0，故()n n a f a >即1+>k k a a 3.利用导数求数列前n 项和
例3 求数列,...,...3,2,112-n nx x x 前项的和 s n . 解：当x=1时，n s =1+2+3+…+n=()12
1
+n n 当x ≠1时，因x+2x+
2
3x
+…+n
x
=
x
x x n --+11，两边求导数，得
1+2x+32x +…+n-1
-n x =1-(n+1)n
x +()()
2
1
111x x x n n n -++-+ 综上可知：
当 x=1时，()121+=n n s n ,当x ≠1时，()()
2
1
111x nx x n s n n n -++-=+ 4．利用导数证明数列不等式
例4 若⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n t t a 121 其中t ∈[2
1
,2],n T 是数列{n a }前n 项的和，求证：
n
n
n T ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<222
证明： 构造辅助函数 f (t )=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n t t 121,t ∈[
2
1
,2] 则'f (t )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-1112n n t t n . 当12
1
≤≤t 时 'f (t)<0 当1<t ≤2时 'f (t )>0
故f(t )在[
2
1
,1]上递减，在[1,2]上递增 所以 ()m a x t f =f(
2
1
)=f(2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 21221 即n a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n n 21221 所以
()
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++≤n n n T 21 (2)
1
212...222122n
n n n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫
⎝⎛+-=222211212
说明这里需要证明 ：
2
12221121n n
n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 121221222122121221212121212
==∙>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+n n
n n n n ∴n
n n ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+222
1211212
所以命命题的证. 5. 导数在数列求和中的应用 例5 1≠x ，求下列数列之和 （1）12...321-++++n nx x x （2）22221123...n x x n x -++++
（3）222242322
...-+++n n x c x c x c c 分析 （1）由),...,2,1()'(1n k kx x k k ==- 可设12...321)('-++++=n nx x x x f 则n x x x x x f ...1)(32++++=
而 )1(11 (11)
3
2
≠--=
++++++x x
x x x x x n n
上式两端对x 求导，并整理得 2
21
2
)1()1(1...321x nx x n nx
x x n n n -++-=+++++- [1]
（2） 比较（1），（2）两式中的通项可发现，只需对[1]两端同乘以x ，再对x 求导 便可得到：
2
2
21221
2222)1()122()1(1...321x x n x n n x n x x
n x x n n n n ---+++-+=+++++--
（3） 由 2122
2)(2
1
2)1(---=-=
n n n n nx x n n x c 可知只需对[1]式两端继续求导便可得到： 22)1(...34232--++∙+∙+n x n n x x
=2
1
2212)
1()()1(2)(2x x n n x n x n n n n n ----++-+- ∴ 3
122122
22
24
2322)1(2)()1(2)(2...x x n n x n x n n x
c x c x c c n n n n n
----++-=+++++--
三．数列是特殊的函数（导数的应用）
1. 函数的单调性与导数 例1 已知函数f(x)=3x -ax -1.
（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.
解析 （1）由已知)('x f =32x -a.因为f(x)在R 上是单调增函数， 所以f ′(x)=32x -a ≥0在R 上恒成立，即a ≤32x 对x ∈R 恒成立. 又因为32x ≥0，所以只需a ≤0.又因为当a=0时，f ′(x)=32x ≥0, 即f(x)=3x -1在R 上是增函数，所以a ≤0.
(2)由)('x f =32x -a ≤0在(-1，1)上恒成立,得a ≥32x ，x ∈(-1,1)恒成立.因为-1<x<1,所以32x <3,所以只需证明a ≥3. 当a=3时，)('x f =3(2x -1),在x ∈(-1,1)上，f ′(x)<0，
即)(x f 在(-1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.
2. 函数的极值与导数
例2 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+2x -10x 的一个极值点. (1)求a;
(2)求函数f(x)的极大值；
(3)若直线y=b 与函数y=)(x f 的图象有3个交点，求b 的取值范围.
解析 (1)因为)('x f = x a +1+2x-10, 所以)3('f = 4
a
+6-10=0, 因此a=16.
(2)由(1)知，)('x f =
x
+116
+2x-10 = x
x x +--1)
3)(1(2 (x>-1).
此时，)('x f 、)(x f 随x 的变化情况如下表：
x
(-1,1)
1
(1,3)
3
(3,∞)
f ′(x) + 0
- 0 +
f(x)
单增
极大值 单减
极小值
单增
由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.
(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时,f ′(x)=0，
所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.
若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1). 因此，b 的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9). 3. 函数的最大值、最小值与导数
例3 已知函数f(x)=3x -12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值分别为M,N ，试求M-N 的值.
解析 )('x f =32x -12=3(x+2)(x-2)， 令)('x f =0，得1x =-2，2x =2.
则)('x f ，f(x)随x 的变化情况如下表：
x -3 (-3,-) -2
(-2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x) + 0 - 0 + y=f(x) 17
单增
极大 值24
单减
极小 值-8
单增
-1
显然，M=24，N=8，则M-N=24+8=32.。