函数模型及其应用

函数模型及其应用
[考纲传真]1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
【知识通关】
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝k
x＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
[常用结论]
形如f(x)＝x＋a
x(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0]和(0，a]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，
当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.
【基础自测】
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．()
(2)幂函数增长比直线增长更快．()
(3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.()
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表，则x，y最适合的函数是()
x 0.500.992.013.98
y －0.990.010.982.00
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D
3．一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是()
A．70台B．75台
C．80台D．85台
B
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5% D ．不增不减
A
5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/k m ，如果超过100 k m ，超过100 k m 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． y ＝⎩⎨⎧
0.5x ，0＜x ≤1000.4x ＋10，x ＞100
【题型突破】
用函数图象刻画变化过程
1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )
A B C D
D
2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
A B C D
B
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D
[方法总结]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
应用所给函数模型解决实际问题
【例1】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动
成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝1
3x
2＋x(万元)．在年产量不小
于8万件时，W(x)＝6x＋100
x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，
小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解](1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0＜x ＜8时，
L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 2＋x －3＝－13
x 2＋4x －3；
当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋100x .
所以L (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－13x 2
＋4x －3，0＜x ＜8，
35－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋100x ，x ≥8.
(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－1
3
(x －6)2＋9.
此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋100x ≤35－2
x ·100
x ＝35－20＝15，此时，当且仅当
x ＝100
x ，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． [方法总结] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.
易错警示：(1)解决实际问题时要注意自变量的取值范围.
(2)利用模型f (x )＝ax ＋b
x 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.
(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可
食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟
D ．4.25分钟
(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． (1)B (2)16
构建函数模型解决实际问题
【例2】 某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115. 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤6，x ∈N *. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.
令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0. 又x ∈N *，∴6＜x ≤20(x ∈N *)，
故y ＝⎩
⎨⎧
50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈N *). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185. 对于
y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝
⎛
⎭⎪⎫x －
3432＋8113
(6＜x ≤20，x ∈N *)， 当x ＝11时，y max ＝270.又∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． [方法总结] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f (x )＝x ＋a
x (a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．
该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A ．2018年
B ．2019年
C ．2020年
D ．2021年
B
函数模型的选择
【例3】 (2019·沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋7；③f (x )＝log q (x ＋p )．其中p ，q 均为常数且q ＞1.(注：x 表示上市时间，f (x )表示价格，记x ＝0表示4月1号，x ＝1表示5月1号，…，以此类推x ∈[0,5])
(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；
(2)对(1)中所选的函数f (x )，若f (2)＝11，f (3)＝10，记g (x )＝f (x )－2x －13x ＋1，经过
多年的统计发现，当函数g (x )取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？
[解] (1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势， 故应该选择②f (x )＝px 2＋qx ＋7.
(2)由f (2)＝11，f (3)＝10解得f (x )＝－x 2＋4x ＋7. g (x )＝
f (x )－2x －13
x ＋1
＝－x 2－2x ＋6x ＋1
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤9x ＋1＋(x ＋1)－4.
因为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
9x ＋1＋(x ＋1)－4≤－2，
当且仅当x ＋1＝3，即x ＝2时等号成立． 所以明年拓展外销的时间应为6月1号．
[方法总结] 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：
(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择. (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx
＋c(a，b，c均为常数，a＜0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a＞0).
(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快.
列四个函数中，能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为()
A．f(x)＝20×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
x
B．f(x)＝－6log3x＋8
C．f(x)＝x2－12x＋19
D．f(x)＝x2－7x＋14
D。