解析几何教案

解析几何教案第一章 矢量与坐标教学目的：1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。

教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。

教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。

教学时数：18学时§1.1~§1.3 矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,线性无关的概念以及相关的重要定理.前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出 1线性组合定义1.4.1 由矢量n a a a ,...,,21与数n λλλ,...,,21所组成的矢量n n a a a a λλλ+++= (2211)称为矢量n a a a ,...,,21的线性组合.注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,a λ也称为a 的线性组合.2 线性关系(1)线性相关和无关性：(定义1.4.2) 对于)1(≥n n 个矢量n a a a ,...,,21,如果存在不全为零的n 个数n λλλ,...,,21,使得： 0...2211=+++n n a a a λλλ (1.4.1) 那么n 个矢量n a a a ,...,,21叫做线性相关。

n a a a ,...,,21 推论:一个矢量a 线性相关的充要条件为0=an a a a ,...,,21线性无关, 当且仅当：0...2211=+++n n a a a λλλ时0...21====n λλλ例：判断下列向量组是相关还是无关？(2)一些基本性质:定理1.4.1 在2≥n 时,矢量n a a a ,...,,21线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.证明：定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关.推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关.定理1.4.3 矢量n a a a ,...,,21线性相关, 121,...,,-n a a a 线性无关，则n a 可写成121,...,,-n a a a 的线性组合。

即1111--++=n n n a a a λλ ，且系数由na a a ,...,,21唯一确定。

3线性组合及关系的几何意义：定理1.4.4 矢量r 与矢量e 共线的充要条件r 和e 线性相关。

推论：如果矢量0≠e ,那么r 可写成e 的线性组合,即xe r = (1.4-2)并且系数x 被e r ,唯一确定定理1.4.5 三矢量共面的充要条件是它们线性相关 证明：若r 与21,e e 共面若21//e e 由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。

若21,e e 不平行如图。

反过来若r 与21,e e 线性相关推论：如果矢量21,e e 不共线,那么矢量r 与21,e e 共面的充要条件是r 可分解成21,e e 的线性组合,即 21ye xe r += (1.4-3) 并且系数y x ,被21,,e e r 唯一确定 这里21,e e 称为共面(平面)矢量的基底.定理1.4.6 空间任何四个或以上矢量总是线性相关推论：如果矢量321,,e e e 不共面,那么空间任意矢量r 可由321,,e e e 线性表示或r 可分解成321,,e e e 的线性组合,即322ze ye xe r ++= (1.4-3)并且系数z y x ,,被r e e e ,,,321唯一确定 这里321,,e e e 称为空间矢量的基底.总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理 例题见书上课堂练习：P24 7，8，9 作业:P24,10题1.5 标架与坐标教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算. 引言前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量321,,e e e ,那么空间中任何矢量r 可由321,,e e e 线性表示,即321ze ye xe r ++= （1）并且这里的z y x ,,是唯一的一组有序实数.我们把321,,,0e e e 的集合称为仿射标架,记作{}321,,;0e e e , ()z y x ,,称为向量r 在该标架下的坐标。

标架分为右手系和左手系标架.如果1e ,i =⊥且j i e e i ，j=1…3 称{}321,,;0e e e 为直角标架，常用}{k j i ,,;0表示空间右手直角坐标系.例： 点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点，设),,(z y x P 关于0点的对称点为)(zy x ---,,关于xoy 面的对称点为)(z y x -,, 关于x 轴的对称点为)(zy x --,,1矢量的基本坐标运算(1) 矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。

.特别→OP 称为点P 的径矢()()22221111,,,,,z y x P z y x P ，则{}12121221,,z z y y x x P P ---=→(2) {}{}222111,,,,,Z Y X b Z Y X a ==，则{}212121,,Z Z Y Y X X b a +++=+(3)设{}Z Y X a ,,=，则{}Z Y X a λλλλ,,=例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分 2共线和共面向量的坐标性质(1) {}{}222111,,,,,Z Y X b Z Y X a ==共线212121Z Z Y Y X X ==⇔当分母为0时，约定分子也为0推论： 三个点A （111,,z y x ），B （222,,z y x ）和C （333,,z y x ）共线的充要条件是131213121312//z z z z y y y y x x x x AC AB --=--=--⇔→→(2) 三个非零矢量{}{}222111,,,,,Z Y X b Z Y X a 和{}333,,Z Y X c 共面的充要条件是0333222111=Z Y X Z Y X Z Y X 证明：复习：平面向量{}{}2211,,,Y X b Y X a 共线 02211=⇔Y X Y X四维向量共空间是否可以类似讨论？ 事实上333222111Z Y X Z Y X Z Y X 称为三向量张成的有向体积 推论：四个点()()4,3,2,1,,=i z y x A i i i i 共面的充要条件是0141414131313121212=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 00001141414131313121212111=---------⇔z z y y x x z z y y x x z z y y x x z y x 或01111444333222111=z y x z y x z y x z y x (1.5-7’) 3定比分点对于有向)(2121P P P P ≠→线段，如果点P 满足→→=21PP P P λ，则称点P 为→21P P 的λ分点（定比分点）定理 1.5.6 设有向线段→21P P 的始点()1111,,z y x P ，终点为(),,,2222z y x P 则分→21P P 成定比()1-≠λλ的分点P 的坐标是λλλλλλ++=++=++=1,1,1212121z z z y y y x x x (1.5-8) 推论：设()()2,1,,=i z y x P i i i i ，那么线段→21P P 的中点坐标是2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=(1.5-9) 总结：本节重点掌握用坐标进行矢量的运算，三矢量共面，两矢量共线的条件，有向线段的分点的坐标公式，应注意点和矢量坐标的区别和联系。

课堂练习：P33，4，10题 作业：P34，7(2),8(2)题 例题见书上1.6 矢量在轴上的射影教学要求：了解射影的定义，掌握射影的公式。

1 基本概念① 点在有向直线l 上的射影定义：设有空间中的一点和轴l ，过A 作垂直轴l 的平面交l 与A '点，则称A '为A 在轴l 上的射影。

② 矢量在有向直线上的射影矢量及射影：设B A ,两点在轴l 上的射影分别为B A '',，则矢量→''B A 称为→AB 在l 上的射影矢量，记为射影矢量l →AB 。

规定l 方向为正向，称线段B A ''的有向长度为→''B A 在l 上的射影，记为射影l →AB 。

或e 射影→AB ，显然上述射影满足：e x B A =''→e为l 方向的单位矢量③ 矢量在矢量上的射影：设e 是向量a 方向的单位矢量，向量xe b =，称x 为b 在a 上的射影记为b a 射影 2 两向量的角规定两矢量夹角在0到π之间，即π≤∠≤),(0b a ，若b a ,同向()0,=∠b a ，b a ,反向，则()π=∠b a ,，在平面上，还可以定义方向角 下面给出射影公式。

定理1.6.1 矢量→AB 在轴l 上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：射影l →→=AB AB cos θ,θ=),(→∠AB l . (1.6-2)注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影满足加法和数乘两种运算。

总结：本节内容相对简单，重点掌握矢量在轴l 上的射影的计算公式。

作业：P38，1题1.7 两矢量的数性积教学要求：掌握两矢量数性积的定义，两矢量垂直的充要条件，数性积的运算律，利用矢量的坐标（分量）表示数性积，两点距离公式，方向余弦，两矢量的夹角余弦。

0引言前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功θcos s f W =1 定义：两个矢量a 和b 的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a 和b 的数性积（也称内积），记或，即b a ⋅或ab()b a b a b a ,cos ∠=⋅注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。