解析几何教案

解析几何教案

第一章 矢量与坐标

教学目的：

1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。 教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。 教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。 教学时数：18学时

§1.1~§1.3 矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量

由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,

线性无关的概念以及相关的重要定理.

前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出 1线性组合

定义1.4.1 由矢量n a a a ,...,,21与数n λλλ,...,,21所组成的矢量n n a a a a λλλ+++= (2211)

称为矢量n a a a ,...,,21的线性组合.

注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,a λ也称为a 的线性组合.

2 线性关系

(1)线性相关和无关性：(定义1.4.2) 对于)1(≥n n 个矢量n a a a ,...,,21,如果存在不全为零的n 个

数n λλλ,...,,21,使得： 0...2211=+++n n a a a λλλ (1.4.1) 那么n 个矢量n a a a ,...,,21叫做线性相关。n a a a ,...,,21 推论:一个矢量a 线性相关的充要条件为0=a

n a a a ,...,,21线性无关, 当且仅当：

0...2211=+++n n a a a λλλ时0...21====n λλλ

例：判断下列向量组是相关还是无关？

(2)一些基本性质:

定理1.4.1 在2≥n 时,矢量n a a a ,...,,21线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.

证明：

定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关.

推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关.

定理1.4.3 矢量n a a a ,...,,21线性相关, 121,...,,-n a a a 线性无关，则n a 可写成

121,...,,-n a a a 的线性组合。 即1111--++=n n n a a a λλ ，且系数由n

a a a ,...,,21唯一确定。

3线性组合及关系的几何意义：

定理1.4.4 矢量r 与矢量e 共线的充要条件r 和e 线性相关。

推论：如果矢量0≠e ,那么r 可写成e 的线性组合,即

xe r = (1.4-2)

并且系数x 被e r ,唯一确定

定理1.4.5 三矢量共面的充要条件是它们线性相关 证明：

若r 与21,e e 共面

若21//e e 由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。 若21,e e 不平行如图。

反过来若r 与21,e e 线性相关

推论：如果矢量21,e e 不共线,那么矢量r 与21,e e 共面的充要条件是r 可分解成2

1,e e 的线性组合,即 21ye xe r += (1.4-3) 并且系数y x ,被21,,e e r 唯一确定 这里21,e e 称为共面(平面)矢量的基底.

定理1.4.6 空间任何四个或以上矢量总是线性相关

推论：如果矢量321,,e e e 不共面,那么空间任意矢量r 可由321,,e e e 线性表示或r 可分解成

321,,e e e 的线性组合,即

322ze ye xe r ++= (1.4-3)

并且系数z y x ,,被r e e e ,,,321唯一确定 这里321,,e e e 称为空间矢量的基底.

总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理 例题见书上

课堂练习：P24 7，8，9 作业:P24,10题

1.5 标架与坐标

教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算. 引言

前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量321,,e e e ,那么空间中任何矢量r 可由321,,e e e 线性表示,即

321ze ye xe r ++= （1）

并且这里的z y x ,,是唯一的一组有序实数.

我们把321,,,0e e e 的集合称为仿射标架,记作{}321,,;0e e e , ()z y x ,,称为向量r 在该标架下

的坐标。标架分为右手系和左手系标架.

如果1e ,i =⊥且j i e e i ，j=1…3 称{}321,,;0e e e 为直角标架，常用}{k j i ,,;0表示空间

右手直角坐标系.

例： 点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点，

设),,(z y x P 关于0点的对称点为)(z

y x ---,,

关于xoy 面的对称点为)(z y x -,, 关于x 轴的对称点为)(z

y x --,,

1矢量的基本坐标运算

(1) 矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。.

特别→

OP 称为点P 的径矢

()()2

2221111,,,,,z y x P z y x P ，则{}12121221,,z z y y x x P P ---=→

(2) {}{}2

22111,,,,,Z Y X b Z Y X a ==，则{}212121,,Z Z Y Y X X b a +++=+