概率论-7.2 估计量的评选标准
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能保证将 估计得足够准确，这样的估计量是不可取的．
2020年4月26日星期日
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对于矩估计量，由§6．1 节可知，样本 k 阶矩 Ak 是 总体 k 阶矩 k E( X k ) 的相合估计量，进而若待估参数
g(1, 2,L , k ) ，其中 g 为连续函数，则 的矩估计 量 ˆ g(µ1, µ2,L , µk ) g(A1, A2,L , Ak ) 是 的相合估计
心矩 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 不是 2 的无偏估计．
证明 由第六章的定理3知
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1),
E
(n
1)S
2
2
n
1,
ES 2 2.
即 S 2 是 2 的无偏估计．
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二、有效性
定义 2 设 ˆ1 ， ˆ2 均为未知参数 的无偏估计量，若 D($1) D(ˆ2) ，则称ˆ1 比ˆ2 有效．
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【 例 11 】 设 总 体 X 的 数 学 期 望 、 方 差 均 未 知 ， X1, X2,L , Xn 为 取 自 总 体 X 的 样 本 ， 证 明 样 本 方 差
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2 为 2 的无偏估计，而样本二阶中
5
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三、相合性
定义 3 设ˆ(X1, X2,L , Xn) 为参数 的估计量，若对于 任意给定的 0 ，都有
lim P ˆ 0 ，
n
即 ˆ 依概率收敛于参数 ，则称 ˆ 为 的相合估计量
(consistent estimator)或一致估计量．
【 例 13 】 证 明 ： 设 ˆ 为 的 无 偏 估 计 量 ， 若 成 立 lim D(ˆ) 0 ，则ˆ 为 的相合估计量．
7.2 估计量的评选标准
一、无偏性 二、有效性 二、相合性
2020年Baidu Nhomakorabea月26日星期日
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一、无偏性
定义 1 设ˆ(X1, X2,L , Xn) 是未知参数 的一个估计量，
若
E ˆ(X1, X2,L , Xn ) , 对所有 成立，则称ˆ(X1, X2,L , Xn) 为 的无偏估计 量(unbiased estimator)，否则称ˆ(X1, X2,L , Xn) 为 的
有偏估计量(biased estimator)．
在科学技术中， Eˆ 称为以ˆ 作为 的估计的系
统误差(system error)．无偏估计的实际意义就是无系 统误差．
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【 例 10 】 设 总 体 X 的 数 学 期 望 为 ( 未 知 ) ，
X1, X2,L , Xn 为 取 自 总 体 X 的 样 本 ， 试 判 断 统 计 量
【 例 12 】 设 总 体 X 的 期 望 和 方 差 分 别 为 ， 2 ，
X1, X 2, X3, X 4 为来自 X 的样本，证明
ˆ1
1 4
X1
1 4
X2
1 4
X3
1 4
X4
，
ˆ2
1 8
X1
1 4
X2
1 2
X3
1 8
X4
，
都是 的无偏估计量，但ˆ1 比ˆ2 有效．
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X
1 n
n i 1
Xi
和T
n
i Xi
i 1
是否为
的无偏估计量，其中
n
i (i 1, 2L , n) 为常数且 i 1 ．
i 1
解
由 EX
E
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
EX i
1 n
n i1
，
ET
E
n
i
X
i
n
i EXi
n
i
n
i ，
i1
i1
i1
i1
得，统计量 X 和T 都是 的无偏估计量．
n
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证明 由切贝雪夫不等式可知，对任意 0 ，都有
P
ˆ
D(ˆ) 2
由 lim D(ˆ) 0 得 n lim P ˆ 0 ． n 因此，ˆ 为 的相合估计量．
相合性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具 有相合性，那么，无论将样本容量 n 取得多么大，都不
量．
极大似然估计量在一定的条件下也具有相合性．
另外，相合性是在样本容量趋近于无穷大时的性 质，是从极限的角度来衡量的一个标准，属大样本性 质．
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对于矩估计量，由§6．1 节可知，样本 k 阶矩 Ak 是 总体 k 阶矩 k E( X k ) 的相合估计量，进而若待估参数
g(1, 2,L , k ) ，其中 g 为连续函数，则 的矩估计 量 ˆ g(µ1, µ2,L , µk ) g(A1, A2,L , Ak ) 是 的相合估计
心矩 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 不是 2 的无偏估计．
证明 由第六章的定理3知
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1),
E
(n
1)S
2
2
n
1,
ES 2 2.
即 S 2 是 2 的无偏估计．
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二、有效性
定义 2 设 ˆ1 ， ˆ2 均为未知参数 的无偏估计量，若 D($1) D(ˆ2) ，则称ˆ1 比ˆ2 有效．
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【 例 11 】 设 总 体 X 的 数 学 期 望 、 方 差 均 未 知 ， X1, X2,L , Xn 为 取 自 总 体 X 的 样 本 ， 证 明 样 本 方 差
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2 为 2 的无偏估计，而样本二阶中
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三、相合性
定义 3 设ˆ(X1, X2,L , Xn) 为参数 的估计量，若对于 任意给定的 0 ，都有
lim P ˆ 0 ，
n
即 ˆ 依概率收敛于参数 ，则称 ˆ 为 的相合估计量
(consistent estimator)或一致估计量．
【 例 13 】 证 明 ： 设 ˆ 为 的 无 偏 估 计 量 ， 若 成 立 lim D(ˆ) 0 ，则ˆ 为 的相合估计量．
7.2 估计量的评选标准
一、无偏性 二、有效性 二、相合性
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一、无偏性
定义 1 设ˆ(X1, X2,L , Xn) 是未知参数 的一个估计量，
若
E ˆ(X1, X2,L , Xn ) , 对所有 成立，则称ˆ(X1, X2,L , Xn) 为 的无偏估计 量(unbiased estimator)，否则称ˆ(X1, X2,L , Xn) 为 的
有偏估计量(biased estimator)．
在科学技术中， Eˆ 称为以ˆ 作为 的估计的系
统误差(system error)．无偏估计的实际意义就是无系 统误差．
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【 例 10 】 设 总 体 X 的 数 学 期 望 为 ( 未 知 ) ，
X1, X2,L , Xn 为 取 自 总 体 X 的 样 本 ， 试 判 断 统 计 量
【 例 12 】 设 总 体 X 的 期 望 和 方 差 分 别 为 ， 2 ，
X1, X 2, X3, X 4 为来自 X 的样本，证明
ˆ1
1 4
X1
1 4
X2
1 4
X3
1 4
X4
，
ˆ2
1 8
X1
1 4
X2
1 2
X3
1 8
X4
，
都是 的无偏估计量，但ˆ1 比ˆ2 有效．
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X
1 n
n i 1
Xi
和T
n
i Xi
i 1
是否为
的无偏估计量，其中
n
i (i 1, 2L , n) 为常数且 i 1 ．
i 1
解
由 EX
E
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
EX i
1 n
n i1
，
ET
E
n
i
X
i
n
i EXi
n
i
n
i ，
i1
i1
i1
i1
得，统计量 X 和T 都是 的无偏估计量．
n
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证明 由切贝雪夫不等式可知，对任意 0 ，都有
P
ˆ
D(ˆ) 2
由 lim D(ˆ) 0 得 n lim P ˆ 0 ． n 因此，ˆ 为 的相合估计量．
相合性是对一个估计量的基本要求，若估计量不具 有相合性，那么，无论将样本容量 n 取得多么大，都不
量．
极大似然估计量在一定的条件下也具有相合性．
另外，相合性是在样本容量趋近于无穷大时的性 质，是从极限的角度来衡量的一个标准，属大样本性 质．
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