序贯平差
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序贯平差
一、序贯平差原理
设某平差问题，观测向量1⨯n L
，现把它分为12
1
121⨯⨯n n L L 、两组，组内相关，组间互不相关，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--⨯⨯⨯⨯⨯⨯1221
1121
2111000
02211121Q Q P P P L L L n n n n n n n n n ， （1）
按间接平差原理选取参数1ˆ⨯t X
，取近似
1
ˆ⨯t X ，改正数为x
ˆ，分组后两组的误差方程分别为 111ˆl x
B V -= 权阵 1P （2a ） 222ˆl x
B V -= 权阵 2P （2b ） i i i i L d X B l -+=0 （i=1、2）
若按整体平差，误差方程可以写为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121ˆl l x B B V V 权阵为⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=21
0P P P
按间接平差原理可得其法方程为
000ˆ002121
21212121=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛l l P P B B x B B P P B B T
T
即
0)(ˆ)(222111222111=+-+l P B l P B x
B P B B P B T
T T T 由上式可得
)()(ˆ2221111222111l P B l P B B P B B P B x
T T T T ++=- 按分组平差，先对第一组误差方程进行第一次平差（因未顾及第二组观测值2L ，所以第一
次平差只能得到x ˆ的第一次近似值，用x 'ˆ表示）。函数模型可改写为
111ˆl x
B V -'=' 权阵 1P （3） 按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为
0ˆ111111=-'l P B x
B P B T
T （4） 未知参数的第一次改正数
1111111)(ˆl P B B P B x
T T -=' （5） 未知参数的第一次平差值
x X X
'+='ˆˆ0 （6） 第一次平差后未知参数X
'ˆ的权阵为 1
111ˆˆˆB P B Q P T
X X X ==-'''
（7）
将x 'ˆ代入（3），得观测值1L 的第一次改正数'1V ，而02='
V 。
再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应把第一次平差后求得的参数
x X X
'+='ˆˆ0作为虚拟观测值参与平差，其权阵为1111
ˆˆˆB P B Q P T
X X X ==-'''。误差方程为： x x x x X x X X X V X ''='-='+-+='-='ˆˆˆ)ˆ()ˆ(ˆˆ00ˆ （8）
由上式知 x x x
''+'=ˆˆˆ，其中x ''ˆ称为参数的第二次改正数。联合第二组误差方程。即： 2222222ˆ)ˆˆ(ˆl x B l x x B l x
B V -''=-''+'=-= （9） 其中)ˆ(222l x
B l -'-=或 )ˆ(2222L d X B l -+'-=。 由（8）、（9）联合组成法方程为
0000ˆ0
022ˆ222ˆ2=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-''⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'
'
l P P B I x B I P P B I X T
X T
即
0ˆ)(222222ˆ=-''+'l P B x B P B P T
T X （10）
由上式可得参数的第二次改正数为
2221
222ˆ)(ˆl P B B P B P x T T X -'+=''
（11） 将上式代入（9）即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数
如何求呢？我们可以用)ˆˆ()(11x x
V V ''+'"
+'和分别代替（8-1-2a ）中的x V ˆ1和，即：
1111)ˆˆ()(l x x B V V -''+'="+' 因为经过第一次平差后，已使111ˆl x
B V -'='成立，所以有 x
B V ''="ˆ11 （12）
最后的平差值为：
"+'="+'+=111111
ˆV L V V L L （13） 222ˆ
V L L += （14）
x X x x
X
X ''+'=''+'+=ˆˆˆˆˆ0
（15） 下面给出精度评定公式。 单位权中误差估值：
t n PV V T -=2
ˆσ
（16） 其中
x
P x V P V V P V PV V X T T
T
T
''''++''='ˆˆˆ222111，推证如下：
222111212121
00(V P V V P V V V P P V V PV V T T T
T
T +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=）
而
x B V l x x
B V ''+'
=+''+'=ˆ)ˆˆ(11111 所以
)ˆ()ˆ(111111
11x B V P x B V V P V T
T ''+'''+'=
x B P B x x B P V V P V T T
T
T ''''+'''+''=ˆ)(ˆˆ2111111111 但是
0ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ1111111111111=''+'=''+'='''x l P B x B P B x B P l x B x B P V T
T T T
T
并顾及
1111
ˆ'
ˆ'ˆB P B Q P T
X X X ==-'，则有
x
P x V P V V P V PV V X T T
T
T
''''++''='ˆˆˆ222111 （17）
未知参数的协因数阵：
1
222ˆˆˆ)(-'+=B P B P Q T
X X X （18）
未知参数函数的协因数及中误差：
设有参数函数的权函数式：x
f d T
ˆ=φ
f B P B P f f Q f Q T
X T X X T 1222ˆˆˆ)(-'+==φφ （19）