第一章 数据处理(插值法)

值的 n+1 个已知点上，建立 一条函数多项式曲线 Pn ( x) ， 使它严格通过这些已知函数点， 以此多项式曲线来近似原函数
曲线 f ( x) 。
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
节点上 节点以外 插值函数的唯一性？
P n ( xi ) f ( xi )
解：由题意得
x0 0.32, y0 0.314567; x1 0.34, y1 0.333487; x2 0.36, y2 0.352274
用线性插值计算时，由线性插值可得
sin 0.3367 L1 ( x) y x x x1 x y0 0 y1 0.330365 x1 x0 x0 x1
(n)
n次插值多项式可表示为
Ln ( x ) yk lk ( n ) ( x )
k 0
n
y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
拉朗格朗日多项式
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值 例： 已知丙烷在如下温度、压力下的导热系数数据。
L1 ( x) x xk 1 x xk yk yk 1 xk xk 1 xk 1 xk
特点：
基函数
l( k )
x xk 1 x xk , l( k 1) xk xk 1 xk 1 xk
L1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)
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化工应用数学 第一章
（2）二次插值 基函数
1 lk 1 ( x) ( x xk )( x xk 1 ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) lk ( x) 1 ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 )
Nn ( x0 ) f ( x0 )
Nn ( x0 ) f ( x0 ) a0
a0 f ( x0 )
Nn ( x1 ) f ( x1 )
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（1）差 商
f [ x0 , xk ]
f ( xk ) f ( x0 ) xk x0
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（1）差 商
又引入符号
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
二阶差商百度文库
二阶差商是一阶差商的差商。
f [ x1 , x2 , , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk ] xk x0
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k阶差商
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.3 差商与牛顿插值公式
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.2 拉格朗日插值
（1）线性插值
2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
n 1
假定 y f ( x) 已知区间[ xk , xk 1 ] 端点值 yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 ) 求线性插值多项式 L1 ( x ) 使满足条件
(i 0,1, , n)
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
y1 Pn ( x) 假设有两个这样的插值函数均满足插值条件，
y2 qn ( x) , 那么对于 r ( x) Pn ( x) qn ( x)
r ( xi ) 0
i 0,1, 2, , n
n次多项式余项
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
插值多项式的截断误差
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M n 1 Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
用二次插值计算
sin 0.3367 L2 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 0.330374 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
几何意义：用通过三点 ( xk 1, yk 1),( xk , yk ),( xk 1, yk 1)的抛物线来 近似表示函数 y f ( x) 。
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化工应用数学 第一章
（2）二次插值 和线性插值一样，可以采用插值基函数的方法构造 L2 ( x) 需满足以下两个条件： 基本多项式为二次多项式；
1 lk 1 ( x) ( x xk 1 )( x xk ) ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
L2 (x) yk 1lk 1(x) yklk (x) yk 1lk 1(x)
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化工应用数学 第一章
0 .352274 例 已知 sin 0.32 0.314567,sin 0.34 0.333487,sin 0.36 用线性插值和二次插值计算 sin0.3367
化工应用数学 第一章
第一章 数据处理
1.1 插值法 1.2 数值微分 1.3 数值积分
*代数精度、复化求积公式 *线性最小二乘法 *拉格朗日插值法、牛顿插值法
1.4 最小二乘曲线拟合
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化工应用数学 第一章
第一章 数据处理
1.1 插值法 1.1.1 概述
代数插值可以这样描述：给定函数 在区间
化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.2 拉格朗日插值
（3）n次插值
Ln ( x j ) y j ( j 0,1, , n)
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.2 拉格朗日插值
（2）二次插值
2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
n2
xk 1 , xk , xk 1
L2 ( x)
L2 ( xk 1 ) yk 1 , L2 ( xk ) yk , L2 ( xk 1 ) yk 1
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值
L3 ( x) ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) ( x x0 )( x x2 )( x x3 ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 x3 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 )
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y
x x x1 x y0 0 y1 x1 x0 x0 x1
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值
y x x x1 x y0 0 y1 x1 x0 x0 x1
(10.13 13.324) 103 (10.13 9.7981) 103 0.0848 0.0897 0.0853W / (m K ) 3 3 (9.7981 13.324) 10 (13.324 9.7981) 10
0.0725W / (m K )
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.3 差商与牛顿插值公式
拉格朗日插值的优点：对称性、便于记忆、编程；
缺点：基函数的计算依赖于全部插值节点。 克服这一缺点的有效方法：构造牛顿插值多项式 。
Nn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1) ( x xn1)
即 r ( xi ) 0 将有n+1个零点，由此可断定 r ( xi ) 0
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
用 Pn ( x) 近似代替 f ( x) ，除了在插值节点没有误差外，在其 它点上一般是存在有误差的，记截断误差 插值余项
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
(372 341)(372 360)(372 413) (372 341)(372 360)(372 379) 0.0699 0.0618 (379 341)(379 360)(379 413) (413 341)(413 360)(413 379)
（2）差商的性质
导 数
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（3）牛顿插值公式及其余项 引入差商的概念后，就可以用差商表示牛顿多项式的系数。
Nn ( xi ) f ( xi )
ai
Nn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1)
有 n+1 个互异点，节点
的函数值
，建立一个次数不超过n的代数多
项式。
P n ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
使满足
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P n ( xi ) yi
(i 0,1, , n)
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
几何意义：在给定函数节点
L1 ( xk ) yk L1 ( xk 1 ) yk 1
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化工应用数学 第一章
（1）线性插值
y L1 ( x) 几何意义：用通过两点 ( xk , yk ) ( xk 1 , yk 1 ) 的直线来
近似表示 y f ( x) 。
y L1 ( x) 表达式可由两点公式给出
( x x0 )( x x1 )( x x3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) y2 y3 ( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x2 )

(372 360)(372 379)(372 413) (372 341)(372 379)(372 413) 0.0853 0.0774 (341 360)(341 379)(341 413) (360 341)(360 379)(360 413)
其插值基函数可根据因式分解定理求出。
lk 1 ( xk ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 1
lk 1 ( x) A( x xk )( x xk 1 )
A
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1 ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
（2）差商的性质
f [ x0 , x1 , , xk ]
j 0 k
f (x j ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xk )
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.3 差商与牛顿插值公式