线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题

线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题

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第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题

1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。

(1)

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥=++≤++≥++++=无约束

3213213213213

21,0,5343322

43422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2)

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0

,0,8374355

22365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束

(3)

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1

111

n j m i x n j b x m i a x x c z ij m

i j ij n

j i ij m i ij

n

j ij

2

(4)

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++==<=<=∑∑∑===)

,,,,1(0),,2,1(),,1(min 1

211

111

n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n

j i j ij n

j i j ij n

j j

j 无约束

2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行

解，则其对偶问题也一定存在可行解；

(2)如果线性规划的对偶问题无可行

解，则原问题也一定无可行解；

( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶

问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；

(4)任何线性规划问题具有唯一的对

偶问题。

3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。

3 2 2 0 0 0

3

C B 基 B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

0 x 4 (b) 1

1 1 1 0 0

2 x 5 15 (a) 1 2 0 1 0 1 x 6 20

2 (c )

1 0 0

1

j

j z c -

0 2 0 0 0

0 x 4 5/4 0 0

(d ) (l ) -1/4 -1/4 3 x 1

25/4

1

0 (e ) 0 3/4 (i ) 2 x 2 5/2 0

1 (f ) 0 (h ) 1/

2 j

j z c -

-1

(k

) (g)

-5/4

(j)

4. 给出线性规划问题

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥-≤+-+-≥++++++=)4,,1(03

22

326532min 43214

3

2

1

4

321 j x x x x x x x x x x x x x z j

(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶

4

问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。

5. 给出线性规划问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≥≥++=+-≤-+++=无约束

3213213213213

21,0,0221222max x x x x x x x x x x x x x x x z

(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值z ≤1。 6. 已知线性规划问题

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0,,122max 3

213213212

1x x x x x x x x x x x z

试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。

7. 给出线性规划问题

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=)

4,,1(09

6628342max 3

21432214214321 j x x x x x x x x x x x x x x x x z j

5

要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *

=(2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

8. 已知线性规划问题A 和B 如下： 问题A

问题B

()

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤=∑∑∑∑====n j x y b x a y b x a y b x a x c z j n

j j j n

j j j n

j j j n

j j

j ,,10max 3133212

21

1111 对偶变量

()

⎪

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥+≤+≤≤=∑∑∑∑====n j x y b b x a a y b x a y b x a x c z j n

j j j j n j j j n

j j j n

j j

j ,,10ˆ3)3(ˆ51

51ˆ55max 311313212

2111

11

对偶变量

试分别写出i

y

ˆ同)3,2,1(=i y i

间的关系式。 9. 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。