高中数学学业水平考试必背公式

水平考试必背公式及定义

1.有理指数幂的含义及其运算性质：

①r

s

r s

a a a

+⋅=；②()r s rs a a =；③()(0,0,,)r r r

ab a b a b r s Q =>>∈

2．对数的定义：

b N N a a b =⇔=log 01log =a 1log =a a )10(≠>a a 且

3.对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：

①N M MN a a a log log log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③)(log log R n M n M a n

a ∈=。

4换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>=

b c c a a a

b

b c c a 且且 常取10=c 得： gb

a

b a 1lg log =

5．幂函数

函数α

x y =叫做幂函数（只考虑2

1

,

1,3,2,1-=α的图象）。 6. 直线的斜率

(1) αtan =k （α为直线的倾斜角）

（2） 经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线： 若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=tan θ=

1

21

2x x y y --

若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率不存在，其倾斜角为900

。 7．直线方程的五种形式及适用范围

⑴一般式Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0)：对坐标平面内的任何直线都适用 。

⑵点斜式Y- Y 0=k （X- X 0）、斜截式Y=kX+b 不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线.

⑶两点式

121y y y y --=1

21

x x x x --不能表示平行或重合于两坐标轴的直线.

⑷截距式a x +b

y

=1不能表示平行或重合于两坐标轴的直线及过原点的直线

8．两条直线“平行或垂直”的判定

直线l 1∥l 2 或重合⇔倾斜角α1=α2⇔有斜率时k 1=k 2 ，或都无斜率； 直线l 1∥l 2 ⇔有斜率时k 1=k 2且y 轴上的截距不同，或都无斜率且x 轴上的截距不同； 直线l 1⊥l 2 ⇔有斜率时k 1×k 2=-1，或一条有斜率k 1=0另一条无斜率。 若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++= 且若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。

①l 1//l 2⇔

1112

2

2

A B C A B C =≠； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0；

③l 1与l 2相交⇔1

1

2

2A B A

B ≠

； ④l 1与l 2重合⇔

1112

2

2

A B C A B C =

=

；

⑵中点坐标公式： 若两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）关于点M （x 0，y 0）对称：M 是P 1P 2的中点（也叫中心） x 0=

2

2

1x x + ，y 0= 221y y +

9．两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的距离公式│P 1P 2│=212212)()(y y x x -+- 两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的中点坐标公式M （

221x x +，2

2

1y y +） 10．点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式d 1=

2

2

00B

A C

By Ax +++

平行直线Ax+By+C 1=0、Ax+By+C 2=0的距离公式d 2=

2

2

12B

A C C +-

11. 确定圆的三要素：圆心坐标a 、b 和半径r ；一般方程中D 、E 、F 且D 2

+E 2

-4F ＞0。 圆的标准方程：)0()()(2

2

2

>=-+-r r b y a x

其中圆心坐标为),(b a 半径为：r

圆的一般方程为：022

=++++F Ey Dx y x 其中圆心坐标为)2,2(E D --

圆的半径为：F E D r 42

1

22-+= 12. 直线与圆的位置关系的判定

方法一：（几何法） 圆心),(b a C

到直线的距离——圆心距d =

⑴若0d r <⇔⇔∆>相交 ⑵若0d r =⇔⇔∆=相切 ⑶若0d r >⇔⇔∆<相离

方法二：（△法）利用直线与圆的方程联立方程组22

0Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=⎧⎨⎩

来判断和求解。

13. 直线被圆所截得的弦长公式 │AB │=222d r -（垂径分弦定理）

=]4))[(1(212212x x x x k -++=]4))[(11(212212y y y y k

-++

14. 圆与圆的位置关系

设两个大小不等的圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，圆心距︱O 1O 2︱=d .则共有五种位置关系如下：

d ＞r 1+r 2 ⇔外离； d= r 1+r 2 ⇔外切；

︱r 1-r 2︱＜d ＜r 1+r 2 ⇔相交； d=︱r 1-r 2︱⇔内切； 0≤d ＜︱r 1-r 2︱⇔内含；

15. 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：

│P 1P 2│=2

12212212-z z -y y -x x ）

（）（）（++ 16．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式 （1）侧面积： 圆柱

rl S π2= 圆锥 rl S π= 圆台 )('l r rl S +=π

（2）表面积：

圆柱 )(2l r r S +=π 圆锥 )(l r r S +=π 圆台 )('2

'2l r rl r r S +++=π 球 2

4r S π= （3）体积：

柱体： Sh V = 锥体： Sh V 3

1

=

台体：h S S S S V )(3

12

'2'++= 球：33

4r V

π= 17.直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号表示：,,a b a ⊂⊄α且α////a b a ⇒

直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该平面平行. 符号表示：b a b a a //,,//⇒=⊂βαβα

18.平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号表示：αβααββ////,//,,,⇒=⊂⊂b a P b a b a