用振幅矢量法计算光栅衍射的光强分布

CALCULAT IO N O F THE INTENS ITY D ISTR IBUT IO N O F D IFFRACT IO N FROM A GRAT ING BY THE AM PL ITUD E-
VECTO R M ETHOD
Zhang X inghu i
(D ep t. of A pp lied Physics, Sou thw est J iao tong U n iversity, Chengdu 610031)
其振幅 C 0 的 x 和 y 分量为
A x jk = C 0co s[ ( j - 1) ∃ Α+ (k - 1) ∃ Υ]
A y jk = C 0 sin [ ( j - 1) ∃ Α+ (k - 1) ∃ Υ]
2 光强分布的表达式
设所有子波带在屏上干涉的合振幅为
A n, 并且把 A n 表示成下式, 省略等式右边的
28
∃ Υ=
2Πa nΚ
s in Η.
第
2
个缝的第 1, 2, 3, ……, n
等份子波与基准子波的位相差为 ∃Α, ∃Α+
∃ Υ, ∃ Α+ 2∃ Υ, ……, ∃ Α+ ( n - 1) ∃ Υ. ∃ Α=
2Π(a + Κ
b)
s in Η.
第
j
个缝的第
k
等份子波与
基准子波的位相差为 ( j - 1) ∃ Α+ (k - 1) ∃ Υ.
工科物理 1998 年第 8 卷第 6 期
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用振幅矢量法计算光栅衍射的光强分布
张星辉3 (西南交通大学应用物理系, 成都 610031)
(收稿日期: 1998203220)
摘 要 本文介绍一种在普通物理阶段严格计算光栅衍射光强分布的振幅矢量方法, 此方法回避了困难的菲涅耳2基尔霍夫积分, 这通常在普通物理中是不被采纳的. 用振 幅矢量法计算有两个显著的优点, 一个是物理概念清楚, 另一个是计算简单严格. 关键词 振幅矢量; 衍射光栅; 光强分布
下标 n
A
2 n
=
(A x + iA y ) (A x -
iA y )
其中 i 为虚数单位
mn
6 6 A x =
A x jk
j= 1 k= 1
- 1, 而
mn
6 6 =
C 0co s[ ( j - 1) ∃ Α+ (k - 1) ∃ Υ]
j= 1 k= 1
mn
6 6 A y =
A y jk
j= 1 k= 1
在普通物理和非物理类专业的教学中, 光栅衍射的光强分布通常是不给出严格的数 学表达式的. 因为涉及到较复杂的菲涅耳2基 尔霍夫积分, 但是又要对其分布的主极大、极 小、次极大和缺级等情况进行讨论. 这就使得 学生理解起来很不容易. 而即便是给出数学 表达式, 也是考虑其为多缝干涉和单缝衍射 的综合效应[1]. 但学生在理解每个缝的夫琅 和费衍射图样相同这一点时, 通常感到很困 难. 实际上, 衍射的本质就是无穷多个子波干 涉的结果. 本文通过把光栅的 m 个缝的每一 个缝都分割成 n 个子波带, 最后让 n→∞, 考
Abstract Fo r studen t s study ing genera l p hy sics, the am p litude2vecto r m ethod is com 2 p rehen sib le in a rigo rou s ca lcu la t ion of the in ten sity d ist ribu t ion of d iffract ion from a g ra t ing. T h is m ethod avo id s d ifficu lt ca lcu la t ion s w ith F resnel2K irchhoff in teg ra l tha t is no t u sua lly included in a cou rse a s genera l p hy sics. It ha s tw o fu rther advan tages: one is it s p la in p hy sica l rea son ing, the o ther is it s sim p le and exact ca lcu la t ion. Key W ords am p litude2vecto r; d iffract ion g ra t ing; in ten sity d ist ribu t ion
j= 1 k= 1
=
C
2 0
eim ∃Α ei∃Α -
1 1
ein∃Υ - 1 ei∃Υ - 1
e- - im ∃Α 1 e- i∃Α - 1
e- - in∃Υ 1 e- i∃Υ - 1
工科物理 1998 年第 8 卷第 6 期
=
A
2 0
n2
s
in
m
∃ 2
Α
sin
∃Α 2
·
sin
n∃Υ 2
2
sin
∃Υ 2
mn
6 6 =
C 0 sin [ ( j - 1) ∃ Α+ (k - 1) ∃ Υ]
j= 1 k= 1
于是得到屏上光强的分布
I∝
A
2 n
=
mn
6 6 C ei[ (j- 1) ∃Α+ (k- 1) ∃Υ] 0 j= 1 k= 1
mn
6 6
C e- i[ (j - 1) ∃Α+ (k- 1) ∃Υ] 0
现在最关键的是让 n→∞取极限才是所有子
波在屏上的合振幅
A 2=
lim A
n→∞
2 n
=
A
2 0
sin
m
∃ 2
Α
2
sin
∃Α 2
lim n→∞
sin
n∃Υ 2
sin
∃Υ 2
1 n
2
其中只有分母部分包含有 n 的因子, 则
lim
n→∞
sin
∃Υ 2
1
=
n
lim
n→∞
sin ΠnaΚsinΗ ΠnaΚs in Η
Πa Κ
s in Η=
ΠaBaidu NhomakorabeaΚ
s
in
Η.
由于
I 0∝ A
2 0
,
所以最后得到光栅衍射的光强
分布的表达式
I=
I0
sin2 (m v ) s in 2 v
s in 2 u u2
其中 v =
Π(a + Κ
b) sinΗ, u =
Πa Κ
s in Η.
3 结束语
从以上计算可以看出, 用此方法计算光 栅衍射的光强分布中, 在数学方面只用到等 比数列的求和公式和一个最基本的极限公 式. 这对大学低年级的学生是非常熟知的. 而 把衍射看成是无穷多个子波干涉的结果在物 理图象上也很清楚. 作者在教学中多次使用 这种方法, 学生反映很容易理解和掌握.
3 男 35 岁 硕士 讲师
虑这无穷多个子波的干涉, 用振幅矢量法严 格计算出光栅衍射的光强分布表达式.
1 子波带间的位相差和所用的符号
设这 m 个缝的宽度都是 a, 相距都为 b, 波长为 Κ的光垂直照射到这 m 个缝前时, 每 条缝单独衍射时的最大光强为 I 0, 其相应的 振幅为 A 0. 现在将每条缝分为 n 等份, 每一 等份的振幅都为 C 0= A 0 n. 当衍射光以 Η角 出射时, 以第 1 个缝的第 1 等份子波的位相 为零作基准, 则第 2, 3, ……, n 等份子波与基 准子波的位相差为 ∃ Υ, 2∃ Υ, ……, (n- 1) ∃ Υ.
参考文献
[ 1 ] 陆果. 基础物理学. 北京: 高等教育出版社, 1997. 542 ～ 546.
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