(江苏专用)高考数学总复习第六章第五节数列的综合应用课件苏教版
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11.1
2.数列{an}满足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),该数列的前n项和为Sn,则满
足Sn>1 025的n的最小值是
.
答案 11
解析
因为a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以
an+1=2an,所以
a
n
a
n
1
=2,所以
{an}是等比数列.又a1=1,所以an=2n-1,所以Sn=2n-1.令2n-1>1 025,即2n>1 02
3,a7构成等比数列得(6-d)(6+5d)=(6+d)2,解得d=2,则a1=4,故S8=32+ 8
2
×7 2
=88.
4.(2018江苏泰州月考)学校餐厅每天供500名学生用餐,每星期一有A、
B两种菜可供选择(每人只能选一种).调查表明:凡是在这星期一选A菜
的,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜的,下星期一会有30%改选A菜.
②+④-2×③得,a1q(q-1)2=c1q1(q1-1)2,⑥ 因为a1≠0,q≠1,所以由⑤得c1≠0,q1≠1. 由⑤⑥得q=q1,从而a1=c1. 代入①得b1=0. 将q=q1,a1=c1,b1=0代入②,得d=0,与d≠0矛盾. 所以c1,c2,c3,c4不能构成等比数列.
方法技巧 解决等差数列与等比数列的综合问题的关键是理清两个数列的关系.如 果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,那么要把成等差 数列和成等比数列的项分别抽出来,研究这些项与序号之间的关系;如 果两个数列是通过运算综合在一起的,那么就要从分析运算入手,把两 个数列分离开,再根据两个数列各自的特征进行求解.
所以数列c1,c2,c3不是等差数列.
(2)因为a1=1,q=2,所以an=2n-1(n∈N*,n≤4).
由题意得c
2 2
=c1c3,所以(2=(b12+)2b2-d)(4+b2+d),
即b2=d2d2+3d+2≠0,所以d≠-1且d≠-2.
又d≠0,所以b2=d2+3d,其中{d|d∈R,d≠-1且d≠-2且d≠0}.
6.又210=1 024,211=2 048,所以满足条件的n的最小值是11.
3.(2018江苏徐州铜山中学高三上学期期中)已知公差不为零的等差数
列{an}的前n项和为Sn,且a2=6,若a1,a3,a7构成等比数列,则S8的值为
.
答案 88
解析 设等差数列{an}的公差为d,d≠0,则a1=6-d,a3=6+d,a7=6+5d,由a1,a
(3)数列c1,c2,c3,c4不能构成等比数列.理由:
若c1,c2,c3,c4构成等比数列,设公比为q1,
a1 b1 c1, ①
则
a1q a1q
b1 d 2 b1 2d
c1q1, ② c1q12 ,
③
a1q3 b1 3d c1q13.④
①+③-2×②得,a1(q-1)2=c1(q1-1)2,⑤
2.解答数列应用题的基本步骤
(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学 问题,弄清数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
3.数列应用题的常见模型
(1)等差模型:当后一个量与前一个量的差是一个固定量时,该模型是等 差模型,这个固定量就是公差. (2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是 等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:当题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的 变化而变化时,应考虑是an与an+1之间的递推关系,还是Sn与Sn+1之间的递 推关系.
等差 数列
等比 数列
不同点
(1)强调从第二项起每一项与前一项的差; (2)a1和d可以为零; (3)等差中项唯一
(1)强调从第二项起每一项与前一项的比; (2)a1与q均不为零; (3)等比中项有两个值
相同点
(1)都强调从第二项起每一项与前一 项的关系; (2)结果都必须是同一个常数; (3)数列都可由a1,d或a1,q确定
1-1 (2017江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一))已知n为正整数,
考点突破
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
典例1 (2018南通高三调研)设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列 b1,b2,b3,b4的公差为d,且q≠1,d≠0.记ci=ai+bi(i=1,2,3,4). (1)求证:数列c1,c2,c3不是等差数列; (2)设a1=1,q=2.若数列c1,c2,c3是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定 义域; (3)数列c1,c2,c3,c4能否构成等比数列?请说明理由.
第五节 数列的综合应用
教 1.等比数列与等差数列的比较
材 2.解答数列应用题的基本步骤 研 读 3.数列应用题的常见模型
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
考 点 考点二 数列与函数、不等式的综合问题 突 破 考点三 数列的实际应用题
考点四 “新定义”数列问题
教材研读
1.等比数列与等差数列的比较
用an表示第n个星期一选A的人数,若a1=428,则a4的值为
.
答案 316
解析
由题意可得an+1=an
1
+15 (500-an)×
,3
10
即an+1=
1 2
an+150.又a1=428,所以
1 2
1 2
a212= ×428+150=364,a3= ×364+150=332,a4
= ×332+150=316.
1.(教材习题改编)某厂去年的产值记为1,若计划在今后五年内每年的产
值比上年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为
.
答案 11×(1.15-1)
解析 由题分析可知这个厂从今年起每年的产值构成以1.1为首项,(1+
10%)为公比的等比数列,所以S5=
1.1=(111×1(.115.1) 5-1).
解析 (1)证明:假设数列c1,c2,c3是等差数列,
则2c2=c1+c3,即2(a2+b2)=(a1+b1)+(a3+b3).
因为b1,b2,b3是等差数列,所以2b2=b1+b3.
从而2a2=a1+a3.
又因为a1,a2,a3,a4是等比数列,所以 a
2 2
=a1a3.
所以a1=a2=a3,这与q≠1矛盾,从而假设不成立.
2.数列{an}满足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),该数列的前n项和为Sn,则满
足Sn>1 025的n的最小值是
.
答案 11
解析
因为a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以
an+1=2an,所以
a
n
a
n
1
=2,所以
{an}是等比数列.又a1=1,所以an=2n-1,所以Sn=2n-1.令2n-1>1 025,即2n>1 02
3,a7构成等比数列得(6-d)(6+5d)=(6+d)2,解得d=2,则a1=4,故S8=32+ 8
2
×7 2
=88.
4.(2018江苏泰州月考)学校餐厅每天供500名学生用餐,每星期一有A、
B两种菜可供选择(每人只能选一种).调查表明:凡是在这星期一选A菜
的,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜的,下星期一会有30%改选A菜.
②+④-2×③得,a1q(q-1)2=c1q1(q1-1)2,⑥ 因为a1≠0,q≠1,所以由⑤得c1≠0,q1≠1. 由⑤⑥得q=q1,从而a1=c1. 代入①得b1=0. 将q=q1,a1=c1,b1=0代入②,得d=0,与d≠0矛盾. 所以c1,c2,c3,c4不能构成等比数列.
方法技巧 解决等差数列与等比数列的综合问题的关键是理清两个数列的关系.如 果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,那么要把成等差 数列和成等比数列的项分别抽出来,研究这些项与序号之间的关系;如 果两个数列是通过运算综合在一起的,那么就要从分析运算入手,把两 个数列分离开,再根据两个数列各自的特征进行求解.
所以数列c1,c2,c3不是等差数列.
(2)因为a1=1,q=2,所以an=2n-1(n∈N*,n≤4).
由题意得c
2 2
=c1c3,所以(2=(b12+)2b2-d)(4+b2+d),
即b2=d2d2+3d+2≠0,所以d≠-1且d≠-2.
又d≠0,所以b2=d2+3d,其中{d|d∈R,d≠-1且d≠-2且d≠0}.
6.又210=1 024,211=2 048,所以满足条件的n的最小值是11.
3.(2018江苏徐州铜山中学高三上学期期中)已知公差不为零的等差数
列{an}的前n项和为Sn,且a2=6,若a1,a3,a7构成等比数列,则S8的值为
.
答案 88
解析 设等差数列{an}的公差为d,d≠0,则a1=6-d,a3=6+d,a7=6+5d,由a1,a
(3)数列c1,c2,c3,c4不能构成等比数列.理由:
若c1,c2,c3,c4构成等比数列,设公比为q1,
a1 b1 c1, ①
则
a1q a1q
b1 d 2 b1 2d
c1q1, ② c1q12 ,
③
a1q3 b1 3d c1q13.④
①+③-2×②得,a1(q-1)2=c1(q1-1)2,⑤
2.解答数列应用题的基本步骤
(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学 问题,弄清数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
3.数列应用题的常见模型
(1)等差模型:当后一个量与前一个量的差是一个固定量时,该模型是等 差模型,这个固定量就是公差. (2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是 等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型:当题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的 变化而变化时,应考虑是an与an+1之间的递推关系,还是Sn与Sn+1之间的递 推关系.
等差 数列
等比 数列
不同点
(1)强调从第二项起每一项与前一项的差; (2)a1和d可以为零; (3)等差中项唯一
(1)强调从第二项起每一项与前一项的比; (2)a1与q均不为零; (3)等比中项有两个值
相同点
(1)都强调从第二项起每一项与前一 项的关系; (2)结果都必须是同一个常数; (3)数列都可由a1,d或a1,q确定
1-1 (2017江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一))已知n为正整数,
考点突破
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
典例1 (2018南通高三调研)设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列 b1,b2,b3,b4的公差为d,且q≠1,d≠0.记ci=ai+bi(i=1,2,3,4). (1)求证:数列c1,c2,c3不是等差数列; (2)设a1=1,q=2.若数列c1,c2,c3是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定 义域; (3)数列c1,c2,c3,c4能否构成等比数列?请说明理由.
第五节 数列的综合应用
教 1.等比数列与等差数列的比较
材 2.解答数列应用题的基本步骤 研 读 3.数列应用题的常见模型
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
考 点 考点二 数列与函数、不等式的综合问题 突 破 考点三 数列的实际应用题
考点四 “新定义”数列问题
教材研读
1.等比数列与等差数列的比较
用an表示第n个星期一选A的人数,若a1=428,则a4的值为
.
答案 316
解析
由题意可得an+1=an
1
+15 (500-an)×
,3
10
即an+1=
1 2
an+150.又a1=428,所以
1 2
1 2
a212= ×428+150=364,a3= ×364+150=332,a4
= ×332+150=316.
1.(教材习题改编)某厂去年的产值记为1,若计划在今后五年内每年的产
值比上年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为
.
答案 11×(1.15-1)
解析 由题分析可知这个厂从今年起每年的产值构成以1.1为首项,(1+
10%)为公比的等比数列,所以S5=
1.1=(111×1(.115.1) 5-1).
解析 (1)证明:假设数列c1,c2,c3是等差数列,
则2c2=c1+c3,即2(a2+b2)=(a1+b1)+(a3+b3).
因为b1,b2,b3是等差数列,所以2b2=b1+b3.
从而2a2=a1+a3.
又因为a1,a2,a3,a4是等比数列,所以 a
2 2
=a1a3.
所以a1=a2=a3,这与q≠1矛盾,从而假设不成立.