最新高中数学全参数方程知识点大全

∴应选 B.
例 10 4ρsin2 =5 表示的曲线是( ) 2
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
解：4ρsin2 =5 4ρ· cos 1 2 2 cos 5.
2
2
把ρ= x 2 y 2 ρcosθ=x，代入上式，得
2 x 2 y 2 =2x-5. 平方整理得 y2=-5x+ 25 . .它表示抛物线.
t= t1 t2 2
中点 P 到定点 P0 的距离｜PP0｜=｜t｜=｜ t1
t2 2
｜
(4)若 P0 为线段 P1P2 的中点，则
t1+t2=0.
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2.圆锥曲线的参数方程
x a r cos
(1)圆
圆心在(a,b)，半径为
r
的圆的参数方程是
y
b
r
sin
(φ是参数)
φ是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
ρ=
2[1 (
1 3 2
1 cos )] 2
1 1
1
2 sin(
)
6
(三)综合例题赏析
例3
椭圆
x y
3 cos 1 5sin
(是参数)的两个焦点坐标是
（
）
A.(-3，5)，(-3，-3)
B.(3，3)，(3，-5)
C.(1，1)，(-7，1)
D.(7，-1)，(-1，-1)
解：化为普通方程得 (x 3)2 ( y 1)2 1
则 M，N 两点位置关系是( )
A.重合
B.关于极点对称
对称
C.关于直线θ=
2
D. 关 于 极 轴
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是( )
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
6.经过点 M(1，5)且倾斜角为 的直线，以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方
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程是( )
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C.双曲线的一支，这支过(-1， 1 ) 2
1) 2
解：由参数式得 x2=1+sinθ=2y(x＞0)
即 y= 1 x2(x＞0). 2
∴应选 B.
B.抛物线的一部分，这部分过(1，1 ) 2
D.抛物线的一部分，这部分过(-1，
x sin
例5
在方程
y
cos
(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是(
角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，
射线 Ox 叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，
缺一不可.
点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段 OM 的长度，θ表示射线 Ox 到
OM 的角度 ，那么ρ叫做 M 点的极径，θ叫做 M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做 M 点的极
9
25
∴a2=25,b2=9,得 c2＝１６,c=4.
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∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选 B.
例 4 参数方程
x
cos
2
sin 2
(0
2 )表示
y
1 2
(1
sin
)
A.双曲线的一支，这支过点(1， 1 ) 2
11.若直线
x
y
4 bt
at
(
(t
为参数)与圆
x2+y2-4x+1=0
相切，则直线的倾斜角为(
)
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A.
3 或 5
3
B. 2 3
C. 或 2 33
D.
3
x 2 pt 2
12.已知曲线
y
2
pt
(t 为参数)上的点 M，N 对应的参数分别为 t 1，t2，且 t1+t2=0，
那么 M，N 间的距离为( )
一、考纲要求
高考复习之参数方程
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1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参
数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化
为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参
B. x 2 a2
y2 b2
1(x
a)
C. x 2 a2
y2 b2
1(x
a)
D. x 2 a2
y2 b2
1(x a)
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+ )，则圆心的极坐标和半径分别为( )
6
A.(1, ),r=2
3
B.(1, ),r=1
6
C.(1, ),r=1
3
D.(1,
- ),r=2
2sin 2 t
tg 2t x 2
∴应选 D.
例 7 曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( )
A.x2+(y+2)2=4
B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=4
解：将ρ= x 2 y 2 ，sinθ=
y
代入ρ=4sinθ，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2)2=4.
A.(2,-7)
B.（ 1 ， 2 ） 33
C.( 1 ， 1 ) 22
解：y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2
将 x= 1 代入，得 y= 1
2
2
∴应选 C.
) D.(1，0)
例 6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是( )
x t
x cost
A. y t
at bt
(t
不参数)
②
在一般式②中，参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义，若 a2+b2=1,②即为标准式，此
时， ｜ t｜表示直线上动点 P 到定点 P0 的距离；若 a2+b2≠1，则动点 P 到定点 P0 的距离
是
a2 b2 ｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点 P0(x0,y0),倾斜角为α的直线 l 的参数方程是
x y
x0 y0
t t
cos sin
a a
（t 为参数）
若 P1、P2 是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为 t1,t2，则
(1)P1、P2 两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
(3)线段 P1P2 的中点 P 所对应的参数为 t，则
A.ρsinθ=2
B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2
D.ρcosθ=-4
例9图
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解：如图.
⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA 为直径，｜OA｜=4,l 和圆相切，
l 交极轴于 B(2，0)点 P(ρ,θ)为 l 上任意一点，则有
cosθ= OB 2 ，得ρcosθ=2， OP
数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式 过点 Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线 l(如图)的参数方程是
x
y
x0 y0
t t
cos sin
a a
(t 为参数)
(2)一般式
过定点
P0(x0,y0)斜率
k=tgα=
b a
的直线的参数方程是
x
y
x0 y0
(2)椭圆
椭圆 x 2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)的参数方程是
x a cos
y
b
sin
(φ为参数)
椭圆
y2 a2
y2 b2
1 (a＞b＞0)的参数方程是
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x b cos
y
a
sin
(φ为参数)
3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算
分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
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x
y
2 5 cos 1 5sin
（
为参数）
则 圆 上 点 P 坐 标 为 (2+5cos ， 1+5sin ) ， 它 到 所 给 直 线 之 距 离
d= 120cos 15sin 30 42 32
故当 cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点 A 坐标为(6，4)；当 cos(φ-θ)=-1,
B.
y
cos
2
t
C.
x tgt
y
1 1
cos cos
2t 2t
D.
x y
tgt 1 1
cos cos
2t 2t
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解：普通方程 x2-y 中的 x∈R，y≥0，A.中 x=｜t｜≥0，B.中 x=cost∈〔-1,1〕，故排
除 A.和 B.
C.中 y= 2 cos2 t =ctg2t= 1 1 =，即 x2y=1，故排除 C.
3 2 cos
cos
C．
3
cos 2sin
D．
3
cos 2sin
(二)填空题
16.若直线
l
的参数方程为
x
y
3 2
4 5
t
3 5
t
(t
为参数)，则过点(4，-1)且与
l
平行的直线在
y 轴上的截距为
.
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17.参数方程
x y
cos 1 cos
sin 1 cos
曲
线：①θ=
和 sinθ= 1
；②θ=
和 tgθ=
3 ，③ρ2-9=0 和ρ= 3；④
6
2
6
3
x
y
2 3
2 2 1t 2
t 和
x
y
2 3t
2t
其中表示相同曲线的组数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.设 M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，
A．
x
1
1 2
t
B.
x
1
1 2
t
C.
y
5
3t 2
y
5
3t 2
x
1
1 2
t
y
5
3t 2
D.
y
1
3t 2
x
5
1 2
t
7.将参数方
x
y
a b
m2 2m m2 2m
2m 2 m2 2m
2 2
(m
是参数，ab≠0)化为普通方程是(
)
A. x 2 a2
y2 b2
1(x a)
3
9.参数方程
x
t
1 t
(t 为参数)所表示的曲线是(
)
y 2
A.一条射线
B.两条射线
C.一条直线
D. 两 条
直线
x 2 tg
10.双曲线
y
1
2 sec
(θ为参数)的渐近线方 程为(
)
A.y-1= 1 (x 2) 2
B.y= 1 x 2
C.y-1=
D.y+1= 2(x 2)
2(x 2)
（
为参数）化成普通方程为
.
18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是
.
x 1 3t
19.直线
y
2
3t
(t 为参数)的倾斜角为
；直线上一点 P(x ，y)与点 M(-1，
D.角速度 2ω，逆时针方向
14.抛物线 y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin2θ与 x 轴两个交点距离的最大值是( )
A.5
B.10
C.2 3
D.3
15.直线ρ=
3
与直线 l 关于直线θ= (ρ∈R)对称，则 l 的方程是( )
2 cos sin
4
A．
3 2 cos
sin
B．
A.2p(t1+t2)
B.2p(t21+t22)
C.
│
2p(t1-t2)
│
D.2p(t1-t2)2 13.若点 P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点 M(-2xy，y2-x2)也在单位
圆上运动，其运动规律是( )
A.角速度ω，顺时针方向
B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度 2ω,顺时针方向
x2 y2
∴应选 B.
例8
极坐标ρ=cos(
)表示的曲线是(
)
4
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
解：原极坐标方程化为ρ= 1 (cosθ+sinθ) 2 2 =ρcosθ+ρsinθ， 2
∴普通方程为 2 (x2+y2)=x+y，表示圆.
应选 D.
例 9 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( )
坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与 x 轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
x cos
y
sin
'
2
x2
y2
tg
y x
(x
0)
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化 例 1 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B，使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离
4
∴应选 D.
D.抛物线
例 11 极坐标方程 4sin2θ=3 表示曲线是( )
A.两条射线
B.两条相交直线
C.圆
D. 抛 物
线
解：由 4sin2θ=3,得 4· y 2 ＝3,即 y2=3 x2，y=± x2 y2
3x ,它表示两相交直线.
∴应选 B.
四、能力训练 (一)选择题
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即θ=φ-π时，d 最短，这时，点 B 坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例 2 极坐标方程ρ=
1
所确定的图形是（ ）
2 3 sin cos
A.直线
B.椭圆
C.双曲
D.抛物线
解：
1.极坐标方程ρcosθ= 4 表示( ) 3
A.一条平行于 x 轴的直线
B.一条垂直于 x 轴的直线
C.一个圆
D.一条抛物线
2.直线：3x-4y-9=0
与圆：
x
y
2 cos 2 sin
(为参数) ,
的位置关系是(
)
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不
过圆心
3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组