自动控制第四章 根轨迹法 复习资料

第四章 根轨迹法

一、填空选择题（每题2分）

1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。

2、根轨迹对称于s 平面 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1

)

2()(++=

s s K s G ，若此时闭环极点为

－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。

6、系统的开环传函为G(s)H(s)=

)

4(3

+s s K

，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。 A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]

根轨迹填空题答案

1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。

2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1

)

2()(++=

s s K s G ，若此时系统的闭环

极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。

6、B

二、综合计算题及参考答案

a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。

解：

8’(按规则分解)

a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

c

b

a

d

解：每项三分

c

b

a

d

b1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为

1

5.0)

15.0()(2+++=

s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。并求分离点或会合点。

解：G(s)的零、极点标准形式为

)

1)(1()

2()(j s j s s K s G -++++=

因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G

所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=ds

dK

可解得：

d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。 4’

因此其根轨迹如下图所示：

6’

b2、（10分）设一单位负反馈控制系统的开环传递函数如下

)

12()

1()(++=

s s s K s G

试概略绘制出相应闭环根轨迹图（要求确定分离点或汇合点的坐标）。

解：该系统的特征方程为

0)

12()

1(1)(1=+++

=+s s s K s G ，故有

1)12(++-

=s s s K ，由0=ds

dK

可以解得分离点的坐标为

（-1.707,0）（分离点）和（-0.293,0）（汇合点），根轨迹如下所示 4’

6’

b3、（12分）

（1）（6分）设某单位负反馈系统的开环传递函数为

)

2)(1()(++=

s s s K

s G

问其根轨迹有无分离点，若有，试求出该分离点的坐标。若无，说明理由。 （2）（6分）设系统的特征方程为

0)

4)(1(1=+++

s s s K

求系统根轨迹与虚轴的交点，以及系统的稳定临界开环增益。

解:（1）解：该系统的特征方程为 0)

2)(1(1)(1=+++

=+s s s K

s G

即， )2)(1(++-=s s s K 3’ 由此可以求方程

0)263(2=++-=s s ds

dK

的根，其根为

577.1,423.02,1--=s

因为分离点必定位于0和－1之间，因此该系统的分离点为423.0-=s 。 3’ (2)解：用ωj s =代入系统的特征方程，得

0)4)(1(=+++K j j j ωωω 2’

对上式虚部和实部分别求解，可得

052=-ωK

043=-ωω 2’

由此可得，

2±=ω

20=K 2’ 故，系统根轨迹与虚轴的交点为ωj ±，系统的临界开环增益20=K 。

B4、（12分）已知系统的开环传递函数为

3

)

1()()(+=

s K

s H s G τ 要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。 解：系统的零、极点标准形式为

3

1)1()()(τ

+=

s K s H s G ，其中13

K K τ= 2’ 该系统有3重开环极点τ

1

3,2,1-

=s ，无开环零点。根轨迹有三条分支，01=K 时从开环极

点出发，∞→1K 时沿着渐近线趋向∞处。渐近线的相角为

)2,1,0(180,603

)12(180=±=+±=q q a ϕ

渐近线与实轴的交点

τ

τσ1

31

3

=-=a

实轴上的根轨迹存在于τ

1

-

至∞-的线段上。 2’

根轨迹的分离点可以根据系统的特征方程

0)

1(13

1

=++

τ

s K 求得，由

0)1

(321=+-=τ

s ds dK 可求得分离点为

τ

1

。 2’ 系统的根轨迹如下图所示，根据根轨迹图可以得到系统根轨迹与虚轴的交点为

τ

τω3)60(10j tg j j =⨯=

代入特征方程并取模可得

3

3

18

1

3

ττ

τ

=

+

=j

K

因此，系统的稳定开环增益813

==K K τ 4’